ďťż

Algebra Kubusia - Nowa Teoria Implikacji v.Beta z 2011r

Baza znalezionych fraz

polsk riksdag

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12



Algebra Kubusia
Nowa teoria implikacji

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

Zastosowanie algebry Kubusia:
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Barah (sfinia), Barycki (śfinia), Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Krowa (śfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl), zbigniewmiller (sfinia) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję, Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji algebry Kubusia oraz Sogorsowi za postawienie kropki nad „i”.

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.

Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Implikacja i równoważność w kilku zdaniach

2.0 Twierdzenie ŚFINII
2.1 Rozstrzygnięcia o implikacji odwrotnej
2.2 Rozstrzygnięcia o implikacji prostej
2.3 Rozstrzygnięcia o równoważności

3.0 Operatory logiczne
3.1 Definicja implikacji prostej
3.2 Definicja implikacji odwrotnej
3.3 Prawa Kubusia, logika dodatnia i ujemna w implikacji
3.4 Równanie ogólne implikacji
3.5 Równoważność
3.6 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice

4.0 Algebra Kubusia - OR i AND
4.1 Spójnik OR(+) i operator OR (+)
4.2 Spójnik AND(*) i operator AND(*)
4.3 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND
4.4 Prawo prosiaczka
4.5 Związek operatorów OR i AND z operatorami implikacji

5.0 Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
5.1 Obietnica
5.2 Groźba

6.0 Dowody formalne
6.1 Podstawowe prawa algebry Boole’a
6.2 Dowody formalne praw de’Morgana
6.3 Dowody formalne praw Kubusia
6.4 Prawo braku przemienności argumentów w implikacji
6.5 Metody dowodzenia twierdzeń matematycznych

7.0 Fundamenty algebry Kubusia
7.1 Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych
7.2 Abstrakcyjny model operatora logicznego
7.3 Operatory logiczne FILL i NOP
7.4 Operatory P i Q
7.5 Operatory negacji NP i NQ

8.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
8.1 Operatory implikacja i równoważności
8.2 Operatory OR i AND

9.0 Algebra Kubusia w zbiorach
9.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w NTI
9.2 Implikacja prosta w zbiorach
9.3 implikacja odwrotna w zbiorach
9.4 Równoważność w zbiorach
9.5 Naturalny spójnik „może’ ~~> w zbiorach

10.0 Algebra Kubusia w pigułce

Wstęp.

Algebra Kubusia jest jednocześnie trywialna, bo posługują się nią w praktyce wszyscy od 5-cio latka po starca i trudno zrozumiała jeśli patrzy się na nią poprzez pryzmat zer i jedynek.

W algebrze Kubusia występują zaledwie dwie cyferki o znaczeniu jak niżej:
1 = prawda
0 = fałsz
nie mające nic wspólnego z liczbami całkowitymi 0 i 1 które wszyscy doskonale znamy.

Człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia, a nie ja tworzy. Gdyby mózg człowieka nie podlegał pod algebrę Kubusia, nie byłoby komputerów ... nie byłoby nas, nie byłoby naszego Wszechświata.

Wbrew powszechnemu wśród matematyków przekonaniu, to naturalna logika człowieka generuje tabele zero-jedynkowe odpowiednich operatorów logicznych. Z tego powodu podejdziemy do logiki z zupełnie innej strony, pokażemy jak naturalny język człowieka generuje tabele zero-jedynkowe operatorów logicznych, zapisując je na końcu w postaci tabel zero-jedynkowych.

Wykład algebry Kubusia zaczynamy od implikacji i równoważności. Dla ułatwienia pominiemy tu operatory AND(*) i OR(+) jako zbędne, mogące jedynie zaciemnić obraz trywialnej logiki 5-cio latka. W praktyce języka mówionego człowiek miesza wszystkie operatory, jednak w 95% w implikacji i równoważności nikt nie używa operatorów AND(*) i OR(+).

W algebrze Kubusia, po raz pierwszy w historii ludzkości zostały poprawnie zinterpretowane wszystkie możliwe definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
... a to oznacza, że algebra Kubusia jest kompletna, zupełna i niesprzeczna.

Algebra Kubusia to matematyka naszego Wszechświata, zarówno żywego jak i martwego.

W podręczniku będziemy używać zamiennie:
Algebra Kubusia = Nowa teoria implikacji

1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
~ - symbol przeczenia NIE(~)
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>

=> - spójnik „musi” między p i q, warunek wystarczający
~> - spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy jedna prawda

# - różne w znaczeniu jak niżej
Fundament logiki:
1 = prawda
0 = fałsz
1# 0
prawda # fałsz
0 # 1
fałsz # prawda
A – zmienna binarna mogąca przyjmować wartości wyłącznie 0 albo 1
A#~A
Jeśli A=1 to ~A=0
Jeśli ~A=1 to A=0

## - różne funkcje logiczne
Równanie ogólne dla operatorów AND i OR:
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q) – prawa de’Morgana
Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q – prawa Kubusia

Jedno z kluczowych praw algebry Boole’a:
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U

1.1 Implikacja i równoważność w kilku zdaniach

Algebra Kubusia w pigułce – pkt.10.0

Symboliczna definicja implikacji prostej:
[linki]
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia to definicja implikacji prostej p=>q w równaniu algebry Kubusia.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
[linki]
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia to definicja implikacji odwrotnej p~>q w równaniu algebry Kubusia.

Symboliczna definicja równoważności:
[linki]
Dziewicza definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Prawa Kubusia zachodzą zarówno na poziomie spójników, jak i na poziomie operatorów logicznych.

Prawa Kubusia na poziomie spójników:
Prawo zamiany warunku wystarczającego => na warunek konieczny ~>
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany spójnika „musi” => na spójnik „może” ~>
Prawo zamiany warunku koniecznego ~> na warunek wystarczający =>
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany spójnika „może” ~> na spójnik „musi” =>

Prawa Kubusia na poziomie operatorów logicznych:
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany implikacji prostej => na równoważną implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na równoważną implikację prostą =>

Definicja ogólna spójnika „Jeśli … to …”
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik

O tym czym jest wypowiedziane zdanie ujęte w spójnik „Jeśli…to…” decyduje zarówno użyty spójnik, jak i treść zawarta w spójniku.

Warunek wystarczający =>:
Warunek wystarczający między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego p zachodzi q

Definicja warunku wystarczającego to zaledwie dwie linie tabeli symbolicznej:
[linki]
Definicja słowna:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
gdzie:
=> - spójnik „na pewno” między p i q

Jeśli dla każdego p zachodzi q
to zajście p i zajście ~q jest niemożliwe, co widać w powyższej tabeli (druga linia).

Warunek wystarczający w logice dodatniej występuje wyłącznie w implikacji prostej i równoważności.

Twierdzenie ŚFINII

W zdaniu:
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.

Gdzie:
~> - spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym

Twierdzenie ŚFINII wynika z prawa Kubusia:
A.
P~>q = ~p=>~q

Prawo Kubusia mówi, że warunek konieczny w logice dodatniej p~>q (bo q niezanegowane) jest równoważny warunkowi wystarczającemu ~p=>~q w logice ujemnej (bo q zanegowane)

Warunek wystarczający w logice ujemnej to tylko i wyłącznie dwie linie tabeli symbolicznej:
[linki]
Warunek ten występuje wyłącznie w implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=>.

Z powyższego wynika, że zamiast badać warunek konieczny w logice dodatniej p~>q (bo q niezanegowane) możemy badać warunek wystarczający w logice ujemnej ~p=>~q (bo q zanegowane), co jest nieporównywalnie prostsze.
Jeśli udowodnimy warunek wystarczający w logice ujemnej ~p=>~q to automatycznie udowodnimy warunek konieczny w logice dodatniej p~>q.

Negujemy teraz wszystkie zmienne w równaniu A

B.
~p~>~q = p=>q
Z czego wynika, że warunek konieczny w logice ujemnej ~p~>~q (bo q zanegowane) jest równoważny warunkowi wystarczającemu w logice dodatniej p=>q (bo q niezanegowane)
czyli:
Zamiast badać warunek konieczny w logice ujemnej ~p~>~q możemy badać warunek wystarczający w logice dodatniej p=>q co jest nieporównywalnie prostsze.
Jeśli udowodnimy warunek wystarczający w logice dodatniej p=>q to automatycznie udowodnimy warunek konieczny w logice ujemnej ~p~>~q.

Oczywiście równanie A nie jest równoważne z B, bowiem wprowadziliśmy do zmiennych wyłącznie jedną negację.
p~>q = ~p=>~q ## ~p~>~q = p=>q
Gdzie:
## – różne funkcje logiczne

Jeśli ponownie zanegujemy zmienne w równaniu B to musimy otrzymać A na mocy prawa podwójnego przeczenia:
A = ~(~A)
Negujemy zmienne w B i mamy:
C.
p~>q = ~p=>~q
czyli:
A=C
CND

Dziewicza definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia wynikła z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
stąd:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
… i poniższe definicje implikacji i równoważności, zgodne z intuicją człowieka.

Alternatywne definicje implikacji i równoważności w NTI
A.
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
B.
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi
C.
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi

Na mocy powyższych definicji mamy:
p=>q=1 ## p~>q=1
gdzie:
## - różne funkcje logiczne

Powyższe definicje można wykorzystywać do rozstrzygnięć czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą =>, implikacją odwrotną ~> czy też równoważnością <=>.

2.0 Twierdzenie ŚFINII

Twierdzenie ŚFINII to najważniejsze twierdzenie w logice, fundament NTI.
ŚFINIA, forum dyskusyjne Wuja Zbója, Ojczyzna Kubusia, to Hlefik w którym się urodził i gdzie od 5-ciu lat dokumentuje historię powstawania NTI krok po kroku.

Gdyby nie ŚFINIA algebra Kubusia nigdy by nie powstała, stąd najważniejsze twierdzenie nosi nazwę twierdzenia ŚFINII.

Pani do dzieci w przedszkolu:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
p~>q=1
Czy chmury są konieczne aby jutro padało ?

Jas (lat 5):
Tak proszę Pani.
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało, bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać.
CH~>P = ~CH=>~P
W sposób naturalny odkryliśmy tu jedno z najważniejszych praw logiki, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - spójnik „może” ~> między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym, czyli spełnionym prawem Kubusia !
=> - spójnik „na pewno” => miedzy p i q

Stąd definicja warunku koniecznego każdego 5-cio latka:
Zabieramy p i musi zniknąć q, wtedy i tylko wtedy zachodzi warunek konieczny między p i q

Matematycznie oznacza to …

Twierdzenie ŚFINII:

W zdaniu:
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.
Czyli:
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Dowód twierdzenia ŚFINII w punkcie 10.0

Działanie twierdzenia ŚFINII pokażemy na przykładach:

A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1 – sytuacja możliwa
Warunek konieczny zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1
Oczywista prawda, zatem w zdani A zachodzi warunek konieczny.

B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa
Z zanegowanego poprzednika musi wynikać zanegowany następnik czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno będzie padać
~CH=>P=0
Oczywisty fałsz, stąd w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny:
CH~>~P=0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda

C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16,24…
Z zanegowanego poprzednika musi wynikać zanegowany następnik, wtedy i tylko wtedy w zdaniu C zachodzi warunek konieczny, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 3,5,7…
Oczywista prawda, zatem w zdaniu C zachodzi warunek konieczny

D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4,6…
Warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0 bo 3
Wniosek:
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny między p i q:
P2~>~P8=0
Zdanie to jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda

E.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4,6…
Warunek konieczny zachodzi, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0 bo 8
Wniosek:
W zdaniu E nie zachodzi warunek konieczny
~P8~>P2=0

F.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3,5,7…
Warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16,24…
Wniosek:
W zdaniu F zachodzi warunek konieczny miedzy p i q

G.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
Warunek konieczny zachodzi, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2=0 bo 2
Wniosek:
W zdaniu G nie zachodzi warunek konieczny
P8~>P2=0
Zdanie G jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnik „może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.

H.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Warunek konieczny zachodzi, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 3 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P3=>~P8=0 bo 8
Wniosek:
W zdaniu H nie zachodzi warunek konieczny:
P3~>P8=0
Zdanie G jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnik „może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.

Jak widzimy, twierdzenie ŚFINII, fundament NTI, działa doskonale.

2.1 Rozstrzygnięcia o implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1
Na mocy twierdzenia śfinii warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
A1.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1
Dla dowolnej liczby, jej niepodzielność przez 2 wystarcza dla niepodzielności przez 8
~P2 wystarcza dla ~P8
Zatem w zdaniu A warunek konieczny zachodzi.

Sprawdzamy teraz zachodzenie warunku p=>q dla zdania A:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 2
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej bo:
P2~>P8=1
P2=>P8=0
CND

2.2 Rozstrzygnięcia o implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Dla dowolnej liczby podzielnej przez 8 na pewno zachodzi jej podzielność przez 2
Zatem P8 wystarcza dla P2
CND
Sprawdzamy czy zachodzi warunek konieczny w kierunku P8~>P2:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~>P2
Na mocy twierdzenia śfinii warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
A2.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2 =0 bo 2
zatem w zdaniu A1 nie zachodzi warunek konieczny:
P8~>P2=0
Zdanie A1 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda
P8~~>P2=1 bo 8

Dla zdania A mamy zatem:
P8=>P2=1
P8~>P2=0
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicje implikacji prostej.

2.3 Rozstrzygnięcia o równoważności

Definicja równoważności:
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno ma kąty równe
TR=>KR=1
Oczywiście dla dowolnego trójkąta równobocznego na pewno zachodzą równe kąty
Zatem TR wystarcza dla KR
CND
Sprawdzamy teraz czy zachodzi warunek konieczny w kierunku TR~>KR:
A1
Jeśli trójkąt jest równoboczny to może mieć kąty równe
TR~>KR
Na mocy twierdzenia śfinii warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma katów równych
~TR=>~KR=1
Twarda prawda zatem warunek konieczny w kierunku TR~>KR zachodzi

Zatem dla zdania A mamy:
TR=>KR=1
TR~>KR=1
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję równoważności

Oczywiście zdanie A możemy tez wypowiedzieć w następujący sposób:

Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(TR~>KR) = 1*1=1
gdzie:
TR=>KR=1 – spełniony warunek wystarczający w kierunku p=>q
TR~>KR=1 – spełniony warunek konieczny w kierunku p~>q

3.0 Operatory logiczne

Matematycy od około 150 lat znają zero-jedynkowo definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych. Niestety, aktualna interpretacja tych operatorów jest błędna z punktu odniesienia człowieka.

Człowiek to nie komputer

Pełna lista dwuargumentowych operatorów logicznych.
[linki]
Powyższą tabelę należy traktować jako ciekawostkę. bowiem to człowiek w swojej naturalnej logice generuje powyższe tabele zero-jedynkowe, nie będąc tego świadomym. Nigdy odwrotnie, czyli nie jest tak, że człowiek wypowiada dowolne śmieci dopasowując do nich tabele zero-jedynkowe.

3.1 Definicja implikacji prostej

Twierdzenie ŚFINII pozwala łatwo rozstrzygnąć czy dowolne zdanie jest implikacja prostą, odwrotną, czy tez równoważnością.

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi

Równoważne definicje zero-jedynkowe uzyskamy analizując w sposób uporządkowany dowolną implikacje prostą lub odwrotną znalezioną na mocy twierdzenia ŚFINII, przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda
Padanie deszczu wystarcza dla istnienia chmur, warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi.

Sprawdzamy zachodzenie warunku koniecznego w kierunku P~>CH:
A1:
Jeśli jutro będzie padać to może będzie pochmurno
P~>CH
Na mocy twierdzenia ŚFINII warunek konieczny zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
~P=>~CH=0
Brak deszczu nie wymusza braku chmur, zatem warunek konieczny w zdaniu A1 nie zachodzi:
A1: P~>CH=0
Zdanie A1 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.
A1: P~~>CH=1 – przypadek możliwy

Wniosek:
Zdanie wypowiedziane A jest implikacja prostą na mocy definicji:
Implikacja prosta P=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między P i CH
P=>CH=1 – warunek wystarczający w kierunku P=>CH zachodzi
P~>CH=0 – warunek konieczny w kierunku p~>CH nie zachodzi

Uporządkowana analiza zdania wypowiedzianego A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wygląda następująco.

Analiza I
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda, zachodzi zawsze, gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
1 0 =0
… a jeśli nie będzie padać ?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
czyli:
C.
Jeśli jutro nie będzie padać to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli jutro nie będzie padać to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 1 =1
Doskonale widać zero-jedynkową definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
CH=1, ~CH=0

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
[linki]

Na bazie powyższego przykładu zapisujemy symboliczną definicję implikacji prostej:
[linki]
Wnioski:
1.
Prawo Kubusia to zero-jedynkowa definicja implikacji prostej =>, zapisana w równaniu algebry Kubusia.
p=>q = ~p~>~q
2.
Operator implikacji prostej => (kompletna tabela wyżej) to fundamentalnie co innego niż spójnik „musi” => definiowany wyłącznie dwoma pierwszymi liniami powyższej tabeli.

Definicja spójnika „musi” =>, warunku wystarczającego:
[linki]
Definicja słowna warunku wystarczającego:
p=>q=1
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
stąd:
p musi być wystarczające dla q
Z powyższego wynika że druga linia w definicji musi być twardym fałszem:
p=>~q=0

Rozstrzygnięcie o warunku wystarczającym na mocy definicji warunku wystarczającego nie rozstrzyga czym jest wypowiedziane zdanie w znaczeniu operatorowym, bowiem identyczny warunek wystarczający występuje w równoważności.

Jednoznaczne rozstrzygnięcie iż zdanie jest implikacją prostą uzyskamy analizując zdanie przez wszystkie możliwe przeczenia p i q jak w przykładzie wyżej, albo udowadniając brak zachodzenia warunku koniecznego w kierunku p~>q przy pomocy twierdzenia śfinii.

Z prawa Kubusia wynika że zdania:
P=>CH = ~P~>~CH
są matematycznie tożsame, czyli lewa strona znaczy dokładnie to samo co prawa strona.

O co tu chodzi, jak udowodnić tą tożsamość ?

Bardzo prosto …

Zdanie wypowiedziane:
C.
Jeśli jutro nie będzie padać to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 – sytuacja możliwa
Na mocy definicji zdanie jest implikacją odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy miedzy p i q zachodzi warunek konieczny i nie zachodzi warunek wystarczający. Sprawdzamy czy zdanie wypowiedziane jest implikacja odwrotną.
Na mocy twierdzenia ŚFINII w zdaniu zachodzi warunek konieczny wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
C1.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Oczywista twarda prawda, zatem w zdaniu C zachodzi warunek konieczny.

Sprawdzamy czy w zdaniu C między p i q zachodzi warunek wystarczający.
C2.
Jeśli jutro nie będzie padać to na pewno nie będzie pochmurno
~P=>~CH=0 – oczywisty fałsz
Mamy zatem:
~P~>~CH=1
~P=>~CH=0
Na mocy definicji zdanie C jest implikacją odwrotna prawdziwą, spełniony jest wyłącznie warunek konieczny w kierunku p~>q.

Szczegółowa analiza matematyczna.

Analiza II
C.
Jeśli jutro nie będzie padać to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli jutro nie będzie padać to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 1 =1
… a jeśli będzie padało ?
Prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
czyli:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda, zachodzi zawsze, gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
1 0 =0
Doskonale widać definicję zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~P=1, P=0
~CH=1, CH=0

Doskonale widać, że zdania w analizie matematycznej I i II przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka co jest dowodem tożsamości Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
Przestawieniu uległy wyłącznie linie A-B i C-D co w algebrze Kubusia jest bez znaczenia. Analizowane linie możemy dowolnie przestawiać. Co więcej, możemy wymówić dowolną linię i na podstawie twierdzenia ŚFINII łatwo rozstrzygnąć czym jest wypowiedziane zdanie.

Zauważmy, że symbol => nie jest 100% jednoznaczny, oznacza albo spójnik „musi” p=>q (pierwsze dwie linie z analizy), albo też operator implikacji prostej p=>q (wszystkie cztery linie).
Nie ma tu problemu ponieważ w naturalnym języku mówionym symbol => oznacza zawsze spójnik „musi” p=>q, warunek wystarczający.
O tym czy wypowiedziane zdanie jest dodatkowo operatorem implikacji prostej decyduje dopiero analiza matematyczna. Jeśli udowodnimy że zdanie spełnia definicję implikacji prostej => to możemy dodatkowo powiedzieć, że zdanie p=>q jest implikacją prostą =>.

3.2 Definicja implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi

Równoważną definicję zero-jedynkową implikacji odwrotnej uzyskamy analizując zdanie przez wszystkie możliwe przeczenia.

Zdanie wypowiedziane:
A
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P =1
Na mocy twierdzenie ŚFINII w zdaniu A warunek konieczny zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
A1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P =1 – twarda prawda
Zatem w zdaniu A spełniony jest warunek konieczny.

Sprawdzamy czy zdanie A spełnia warunek wystarczający:
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P =0
Fałsz, bo może być pochmurno i nie musi padać
Mamy zatem:
CH~>P=1
CH=>P=0
Na mocy definicji zdanie A jest implikacja odwrotną prawdziwą, spełniony jest wyłącznie warunek konieczny w kierunku p~>q.

Równoważną odpowiedź daje tu analiza zdania CH~>P przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Analiza matematyczna I:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 0 =1
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 1 =1
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno ?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
czyli:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, zachodzi zawsze, gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – sytuacja niemożliwa, twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
1 0 =0
Doskonale widać tabele zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ~> dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
CH=1, ~CH=0
P=1, ~P=0

Dodatkowe znaczenie symboli => i ~> widać tu jak na dłoni.

I.
Spójnik „może” ~> ze spełnionym warunkiem koniecznym:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
~> - miękka prawda, może zajść ale nie musi
Jeśli jutro będzie pochmurno to możemy sobie rzucać monetą:
orzełek = będzie padało
reszka = nie będzie padało
czyli „wiem że nic nie wiem”, 100% losowość, matematyczna „wolna wola” człowieka we wszelkich obietnicach i groźbach, co zobaczymy w przyszłości.

II.
Spójnik „musi” =>:
=> - twarda prawda, zachodzi zawsze bez żadnych wyjątków, 100% matematyczna pewność
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1 – twarda prawda, zachodzi zawsze bez żadnych wyjątków

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
[linki]

Na podstawie powyższego przykładu możemy zapisać symboliczną definicję implikacji odwrotnej z podkładem zero-jedynkowym.
[linki]
Kodowanie zero-jedynkowe zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym p=>q czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Wnioski:
1.
Prawo Kubusia to zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej ~>, zapisana w równaniu algebry Kubusia.
p~>q = ~p=>~q
2.
Proste rozumowanie logiczne:
Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wymusza zajście ~q czyli:
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia

Prawo Kubusia mówi, że warunek konieczny p~>q w logice dodatniej (bo q niezanegowane) jest równoważny warunkowi wystarczającemu ~p=>~q w logice ujemnej (bo q zanegowane).

Wynika z tego, że zamiast badać warunek konieczny p~>q możemy badać warunek wystarczający ~p=>~q.
Ustalenie warunku wystarczającego w kierunku ~p=>~q nie wystarcza do rozstrzygnięcia iż zdanie jest implikacją odwrotną, bowiem identyczny warunek ~p=>~q występuje w równoważności.

Zawsze rozstrzygająca jest analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q jak w przykładzie wyżej. Uzyskana w ten sposób tabela zero-jedynkowa jednoznacznie rozstrzyga czym jest wypowiedziane zdanie.

Warunek wystarczający w logice ujemnej to tylko i wyłącznie dwie linie tabeli zero-jedynkowej:
[linki]
Warunek ten występuje wyłącznie w implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=>.

Dla kompletu definicja symboliczna naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy jedna prawda:
[linki]

Na mocy prawa Kubusia dla zdania wypowiedzianego A mamy:
CH~>P = ~CH=>~P
Udowodnijmy powyższą tożsamość matematyczną, analizując zdanie z prawej strony tożsamości.

Zdanie wypowiedziane:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
Warunek wystarczający ~CH=>~P spełniony
Na mocy definicji zdanie p=>q jest implikacją prostą wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo nie zachodzi warunek konieczny w kierunku p~>q czyli:
C1:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może nie będzie padać
~CH~>~P
Na mocy twierdzenia SFINII w zdaniu ze spójnikiem „może” ~> spełniony jest warunek konieczny wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany poprzednik czyli:
C2
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P=0
oczywisty fałsz, zatem w zdaniu C1 nie zachodzi warunek konieczny czyli:
~CH~>~P=0 – warunek konieczny nie spełniony
Dodatkowo mamy:
~CH=>~P=1 – warunek wystarczający spełniony
Zatem na mocy definicji zdanie C jest implikacją prostą prawdziwą.

To samo musimy uzyskać analizując zdanie wypowiedziane C przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Analiza matematyczna II:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, zachodzi zawsze, gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – sytuacja niemożliwa, twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
1 0 =0
… a jeśli jutro będzie pochmurno ?
Prawo Kubusia:
~CH=>~P = CH~>P
czyli:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 0 =1
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~CH=1, CH=0
~P=1, P=0

Zauważmy, że analizy matematyczne I i II generują identyczne zdania A,B,C i D z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka co dowodzi poprawności prawa Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P

3.3 Prawa Kubusia, logika dodatnia i ujemna w implikacji

Prawa Kubusia zachodzą zarówno na poziomie spójników, jak i na poziomie operatorów logicznych.

Prawa Kubusia na poziomie spójników:
Prawo zamiany warunku wystarczającego => na warunek konieczny ~>
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany spójnika „musi” => na spójnik „może” ~>
Prawo zamiany warunku koniecznego ~> na warunek wystarczający =>
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany spójnika „może” ~> na spójnik „musi” =>

Prawa Kubusia na poziomie operatorów logicznych:
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany implikacji prostej => na równoważną implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na równoważną implikację prostą =>

Definicja:
Implikacja jest w logice dodatniej, jeśli następnik q nie jest zanegowany (q)
Implikacja jest w logice ujemnej, jeśli następnik q jest zanegowany (~q)

Z prawa Kubusia wynika, że implikacja prosta w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej w logice ujemnej
p=>q = ~p~>~q
oraz:
Implikacja odwrotna w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej w logice ujemnej
p~>q = ~p=>~q

3.4 Równanie ogólne implikacji

Definicje implikacji prostej i odwrotnej:
B.
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi
Na mocy prawa Kubusia dla implikacji prostej możemy zapisać:
p=>q = ~p~>~q =1
C.
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi
Na mocy prawa Kubusia dla implikacji odwrotnej możemy zapisać:
p~>q = ~p=>~q =1

Na mocy definicji otrzymujemy równanie ogólne dla implikacji:
p=>q = ~p~>~q =1 ## p~>q = ~p=>~q =1

Dla naszego przykładu równanie ogólne implikacji przyjmie postać:
P=>CH = ~P~>~CH =1 ## CH~>P = ~CH=>~P =1

Po lewej i prawej stronie symbolu ## mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne. Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać cokolwiek, w szczególności nasz przykład jak wyżej.

Oczywiście na mocy definicji dla naszego przykładu mamy.
Implikacja prosta:
P=>CH=1
P~>CH=0
Implikacja odwrotna:
CH~>P=1
CH=>P=0
stąd:
P=>CH=1 ## CH~>P=1

3.5 Równoważność

Definicja równoważności:
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego i koniecznego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

Przykład równoważności:
A.
Jeśli trójkąt ma boki równe to jest równoboczny
BR=>TR=1

Oczywiście trzy odcinki o równych długościach są wystarczające dla zbudowania trójkąta równobocznego
Wniosek:
Warunek wystarczający spełniony

Jeśli zamienimy jeden z trzech odcinków na odcinek o innej długości to zbudowania trójkąta równobocznego nie będzie możliwe.
Wniosek:
Trzy równe odcinki są warunkiem koniecznym dla trójkąta równobocznego

To samo możemy uzyskać na drodze czysto matematycznej.

Badamy czy w zdaniu A zachodzi warunek konieczny w kierunku p~>q:
A1.
Jeśli trójkąt ma boki równe to może być równoboczny
BR~>TR
W zdaniu A1 ze spójnikiem „może” warunek konieczny zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
A2.
Jeśli trójkąt nie ma boków równych to na pewno => nie jest równoboczny
~BR=>~TR=1
Oczywista twarda prawda, zatem w zdaniu A1 zachodzi warunek konieczny:
BR~>TR=1
Dla zdania A zachodzi zatem:
BR=>TR=1 – warunek wystarczający spełniony
BR~>TR=1 – warunek konieczny spełniony
Zdanie wypowiedziane A spełnia definicję równoważności, czyli jest równoważnością.

Oczywiście powyższą równoważność można wyrazić słownie w taki sposób:

Trójkąt ma boki równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
BR<=>TR = (BR=>TR)* (BR~>TR)
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

Na mocy prawa Kubusia możemy zapisać:
p~>q = ~p=>~q

Stąd otrzymujemy dziewiczą definicję równoważności wynikającą bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Definicja zero-jedynkowa równoważności z jedyną poprawną interpretacją zer i jedynek:
[linki]
Z powyższej tabeli mamy:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q, ~p=>~q to tylko i wyłącznie warunki wystarczające między p i q o definicjach jak wyżej.

W równoważności (i tylko tu) poprawne jest prawo kontrapozycji w tej formie:
~p=>~q = q=>p
stąd mamy odprysk definicji równoważności uwielbiany przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność, to warunki wystarczające zachodzące w stronę p=>q i q=>p

Twierdzenie Rexerexa:
Jeśli równoważność p<=>q jest udowodniona to zachodzi wszystko co tylko możliwe:
p=>q = p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = ~p<=>~q = ~p=>~q = (p=>q)*(q=>p) = q=>p itd

Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR=1
p=>q=1

Po zamianie poprzednika z następnikiem mamy:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
KR=>TR=1
q=>p=1

Zatem na mocy definicji równoważności mamy:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1 =1
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności o zdaniu:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR

Możemy powiedzieć że:
1.
TR=>KR – to tylko warunek wystarczający o definicji:
[linki]
tu nie wiemy lub nie deklarujemy co zachodzi w kierunku q=>p.
2.
TR=>KR – to tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności (precyzyjnie)
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR)
3.
TR=>KR – to równoważność
W tym przypadku deklarujemy domyślną pewność zachodzenia warunku wystarczającego w kierunku q=>p (KR=>TR=1) – patrz twierdzenie Rexerexa wyżej.

O zdaniu A absolutnie nie możemy powiedzieć, ze jest to implikacja prosta, bo to zdanie nie spełnia prawa Kubusia – definicji implikacji prostej.

Dziewicza definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Przeanalizujmy przykładową równoważność przez dziewiczą definicję równoważności:
A.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) =1*1=1

Analiza matematyczna:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Rozpisujemy prawą stronę:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma katów równych
TR=>~KR=0
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
czyli:
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0
0 1 =0
Doskonale widać tabele zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem A czyli:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0
Stąd mamy definicje zero-jedynkowa równoważności:
[linki]
Na zakończenie definicja symboliczna równoważności, na podstawie powyższego przykładu:
[linki]

3.6 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice

Zdanie „Jeśli …to…” może mieć w logice tylko i wyłącznie pięć różnych znaczeń:

1.
Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być wystarczające dla q
Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia = definicja implikacji prostej
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 = ~P8~>~P2=1
Skrócona analiza przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
P8=>P2=1 bo 8,16,24… - twarda prawda, gwarancja matematyczna
P8=>~P2=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
~P8~>~P2=1 bo 3,,5,7… - miękka prawda, może zajść ale nie musi
LUB
~P8~~>P2=1 bo 2,4,6… - miękka prawda, może zajść ale nie musi

2.
Implikacja odwrotna:
p~>q
jeśli zajdzie p to może zajść q
Plus musi być spełnione prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
z czego wynika że p musi być warunkiem koniecznym dla q
Definicja warunku koniecznego wynikła z prostego rozumowania logicznego:
Jeśli p jest konieczne ~> dla q to zajście ~p wymusza => zajście ~q
stąd:
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Prawo Kubusia = definicja implikacji odwrotnej
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
Skrócona analiza przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
P2~>P8=1 bo 8,16,24… – miękka prawda, może zajść ale nie musi
LUB
P2~~>~P8=1 bo 2,4,6… - miękka prawda, może zajść ale nie musi
~P2=>~P8=1 bo 3,5,7… twarda prawda, gwarancja matematyczna
~P2=>P8=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej, twardej prawdy

3.
Zdaniem prawdziwym na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24
Zdanie prawdziwe, bo znaleźliśmy jeden przypadek czyniący to zdanie prawdziwym.
P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, zatem implikacja odwrotna P3~>P8 jest tu fałszywa
Dowód:
Na mocy twierdzenie śfinii warunek konieczny miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
P3~>P8 = ~P3=>~P8=0 bo 8
stad:
P3~>P8=0 – warunek konieczny tu nie zachodzi.

4.
Tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w równoważności p=>q jest identyczny jak w implikacji prostej wyżej p=>q, to jest nie do rozpoznania.
Prawa strona definicji równoważności to tylko i wyłącznie warunki wystarczające, nie są to implikacje proste bo nie spełniają definicji zero-jedynkowej implikacji prostej =>.
Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
To jest tylko i wyłącznie warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

5.
Zdaniem fałszywym, nie spełniającym któregokolwiek z powyższych przypadków.

4.0 Algebra Kubusia - OR i AND

Matematyczne fundamenty algebry Kubusia w spójnikach AND(*) i OR(+).
+ - spójnik “lub” z naturalnego języka mówionego (ang. OR)
* - spójnik “I” z naturalnego języka mówionego (ang. AND)
~- przeczenie NIE
1 – prawda
0 - fałsz
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
Nawiasy, AND, OR

Zmienna binarna
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Nazwa zmiennej binarnej to dowolny symbol (litera alfabetu lub słowo) z wyjątkiem litery Y zwyczajowo zarezerwowanej dla funkcji logicznej.

Funkcja logiczna
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „lub” i „i”
Przykład:
Y = A*(B+C)

Definicja spójnika OR(+) (pol. „lub”)
Suma logiczna OR jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=A+B+C …
Y=1 <=> A=1 lub B=1 lub C=1 …

Definicja spójnika AND(*) (pol. „i”)
Iloczyn logiczny AND(*) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=A*B*C …
Y=1 <=> A=1 i B=1 i C=1 …

Symboliczna definicja negacji:
Y=~A
gdzie:
A - zmienna binarna
Y - funkcja logiczna

Prawo podwójnego przeczenia
A=~(~A)
Prawo podwójnego przeczenia to jedno z najważniejszych praw w logice.

Przykład:
Jestem uczciwy = Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla spójników OR(+) i AND(*):
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a ze spójnikami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem A do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Świętość algebry Kubusia:
1=prawda
0 = fałsz
zawsze i wszędzie

Na mocy tej świętości jedyne poprawne kodowanie zdań z języka naturalnego jest następujące:
A.
Wczoraj byłem w kinie
Y=K
Prawdą jest (Y=1) że wczoraj byłem w kinie (K=1)
B.
Wczoraj nie byłem w kinie
Y=~K
Prawdą jest (Y=1), że wczoraj nie byłem w kinie (~K=1)

Zauważmy, że kodowanie zdania B w postaci:
B.
Wczoraj nie byłem w kinie
Y=K
czyli matematycznie:
Prawdą jest (Y=1) że wczoraj nie byłem w kinie (K=0)

Jest błędne z wielu powodów:
I.
W tym przypadku mamy:
K=0 – nie byłem w kinie, prawda
Świętość algebry Kubusia leży w gruzach bo mamy K=0 (0=prawda).
II.
Sprzeczność kodowania ze zdaniem A
III.
Brak zgodności z naturalnym językiem mówionym (maskowanie przeczenia NIE)
IV.
Brak możliwości poprawnego zapisywania równań algebry Kubusia (także algebry Boole’a !)

W dowolnym równaniu algebry Kubusia (także algebry Boole’a !) wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.

Przykładowa funkcja logiczna:
A.
Y=A*(~B+C)
Matematycznie oznacza to:
Y=1 <=> A=1 i (~B=1 lub C=1)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
B.
~Y = ~A+(B*~C)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 lub (B=1 i ~C=1)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
A*(~B+C) = ~[~A+(B*~C)]

4.1 Spójnik OR(+) i operator OR (+)

Udajmy się do ekspertów algebry Kubusia, do przedszkola.

Pani:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Dzieci czy wiecie kiedy czy wiecie kiedy dotrzymam słowa ?

Jaś (lat 5):
Pani dotrzyma słowa (Y=1), kiedy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
Matematycznie:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Pani:
Dobrze Jasiu, a czy mógłbyś szczegółowo odpowiedzieć kiedy dotrzymam słowa ?
Dzielny Jaś.
Pani dotrzyma słowa jeśli:
K*T=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Matematycznie oznacza to::
(K=1)*(T=1)=1
lub
K*~T=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Matematycznie oznacza to:
(K=1)*(~T=1)=1
lub
~K*T=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Matematycznie oznacza to:
(~K=1)*(~T=1)=1

Pani:
Doskonale Jasiu, jak jeszcze odpowiesz na pytanie kiedy skłamię dostaniesz pluszowego Misia:
Jaś:
… to proste proszę Pani.
B.
Pani skłamie (~Y=1), jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Matematycznie:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Pani:
Wspaniale Jasiu, w nagrodę otrzymujesz Misia i samochodzik.

Zuzia:
… a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru ?
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K+T = ~(~K*~T)
Jaś:
C.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina ~K=1 i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~(~K*~T)
Oczywiście każdy człowiek mając do wyboru dwa równoważne matematycznie zdania A i C wybierze A bo jest zdecydowanie prostsze, stąd w praktyce języka mówionego bardzo rzadko korzystamy z prawa de’Morgana.

Pani:
Za zadanie ciekawego pytania Zuzia otrzymuje lalkę Barbi.

Matematykę pod rozmowę Pani z Jasiem i Zuzią podłożył Kubuś.

Podsumujmy:
A.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
Matematycznie oznacza to:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
lub zapis matematycznie równoważny:
Y=1 <=> (K*T=1*1=1) lub (K*~T=1*1=1) lub (~K*T=1*1=1)
B.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Matematycznie oznacza to:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Zapiszmy to w postaci tabeli:
[linki]
Kodując powyższą tabelę zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym czyli:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0
Otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora logicznego OR:
[linki]
Przechodzimy teraz na zapis ogólny otrzymując symboliczną definicję operatora OR.
Dodatkowo dołożymy podkład zero-jedynkowy.
[linki]
Jak widzimy, otrzymaliśmy zero-jedynkową definicje operatora OR kodując wszystkie zmienne zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym (punktem odniesienia) czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Wnioski:
1.
Prawo de’Morgana zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej operatora OR
Mamy:
A.
Y=p+q
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
B.
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
2.
Operator logiczny OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej ze spójnikiem „i” w logice ujemnej, zatem operator OR to fundamentalnie co innego niż spójnik OR(+) (pol. „lub”). Wypowiadając zdanie mamy dostęp wyłącznie do spójników. O tym czy zdanie spełnia dodatkowo definicję operatora OR decyduje analiza matematyczna.
W świecie niezdeterminowanym jak wyżej, zdanie zawsze spełnia definicję operatora OR.
W świecie zdeterminowanym nigdy jej nie spełnia.

Definicja:
Świat niezdeterminowany – wartości logiczne parametrów nie są z góry znane (przykład wyżej)
Świat zdeterminowany – wartości logiczne wszystkich parametrów są z góry znane

Przykład:
A.
Każdy człowiek jest mężczyzną lub kobietą
Y=M+K = (M*K)+(M*~K)+(~M*K)
Co matematycznie oznacza:
Prawda jest (Y=1), że każdy człowiek jest mężczyzna (M=1) lub kobietą (K=1)
Y=M+K = (M*K)+(M*~K)+(~M*K)
czyli:
Y=1 <=>M=1+K=1 = (M*K=0)+(M*~K=1)+(~M*K=1)

Oczywiście nie można być jednocześnie mężczyzną i kobietą, stąd po minimalizacji dla naszego przykładu mamy:
Y=M+K = M*~K+~M*K
czyli to zdanie nie spełnia definicji operatora OR.

Kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~M*~K
B.
Zdanie będzie fałszywe (~Y=1) gdy powiemy:
Każdy człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
~Y=~M*~K
~Y=1 <=> (~M=1) i (~K=1)

4.2 Spójnik AND(*) i operator AND(*)

Oczywiście matematyczna symetria do omówionego wyżej operatora OR jest absolutna.

Udajmy się do ekspertów algebry Kubusia, do przedszkola.

Pani:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
Matematycznie:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 i T=1
… a kiedy Pani skłamie ?
Przechodzimy do logiki ujemnej negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne:
~Y=~K+~T
B.
Panie skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Zuzia:
… a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru ?
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K*T = ~(~K+~T)
Jaś:
C.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina ~K=1 lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~(~K+~T)
Oczywiście każdy człowiek mając do wyboru dwa równoważne matematycznie zdania A i C wybierze A bo jest zdecydowanie prostsze, stąd w praktyce języka mówionego bardzo rzadko korzystamy z prawa de’Morgana.

Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Definicje spójnika „lub” w logice ujemnej otrzymamy negując wszystkie zmienne bez zmiany operatorów:
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
Stad powyższe zdanie możemy rozpisać szczegółowo.
Pani skłamie gdy:
~Y=~p*~q = ~K*~T – Pani skłamie gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~Y=~p*q = ~K*T – Pani skłamie gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
~Y=p*~q = K*~T – Pani skłamie gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Powyższe trzy zdania traktujemy jako wypowiedziane niezależnie.

Porządkując to w tabeli, otrzymujemy symboliczną definicję operatora AND.
[linki]
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym:
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
czyli:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0
Otrzymujemy tabele zero-jedynkową operatora AND.
[linki]
Stąd mamy definicje operatora AND w zapisie ogólnym:
[linki]
Jak widzimy, otrzymaliśmy zero-jedynkową definicję operatora AND kodując wszystkie zmienne zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym (punktem odniesienia) czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Wnioski:
1.
Prawo de’Morgana zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej.
A.
Y=p*q
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów:
B.
~Y=~p+~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B otrzymujemy prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
2.
Operator logiczny AND (wszystkie cztery linie) to fundamentalnie co innego niż spójnik AND (Pol.„i”) dnia Czw 16:31, 11 Kwi 2013, w całości zmieniany 1 raz