polsk riksdag
4.002 Człowiek posiada zdolność budowania języków, które pozwalają wyrazić każdy sens - nie mając przy tym pojęcia, co i jak każde słowo oznacza. - Podobnie też mówimy, nie wiedząc, jak wytwarzane są poszczególne głoski.
Język potoczny stanowi część organizmu ludzkiego i jest nie mniej niż on skomplikowany.
Wydobycie logiki języka wprost z języka potocznego jest niepodobieństwem.
Język przesłania myśl. Tak mianowicie, że z zewnętrznej formy szaty nie można wnosić o formie przybranej w nią myśli. Kształtowaniu szaty przyświecają bowiem zgoła inne cele, niż ujawnianie formy ciała.
Ciche umowy co do rozumienia języka potocznego są niebywale skomplikowane.
Język potoczny musi mieć kręgosłup matematyczny inaczej człowiek z człowiekiem nigdy by się nie dogadał. Ten kręgosłup to Algebra Kubusia.
Algebra Kubusia to matematyka każdego 5-cio latka, więc gdzie tu jest to „niebywałe skomplikowanie”?
Ziemscy matematycy nie znają poprawnej interpretacji równań algebry Boole’a. Dowolną tabelę zero-jedynkową opisuje osiem i tylko osiem równań algebry Boole’a w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), cztery równoważne w logice dodatniej i cztery równoważne w logice ujemnej (pkt.4.3.1). Zrozumienie tego matematycznego elementarza to masakra całej współczesnej logiki matematycznej zwanej KRZiP.
Dlaczego?
Równania te są dowodem, iż spójniki logiczne z naturalnej logiki człowieka nie są kompletnymi operatorami logicznymi!
Operator logiczny to zawsze złożenie spójnika w logice dodatniej (np. „lub”(+)) ze spójnikiem przeciwnym (np. „i”(*)) w logice ujemnej.
Przykład:
Definicja operatora OR
[linki]
Definicję symboliczną otrzymujemy korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Trzy pierwsze linie opisuje równanie algebry Boole’a (szczegóły pkt.4.3)
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Ostatnią linię opisuje równanie:
~Y=~p*~q
stąd:
Kompletny operator logiczny OR w równaniach algebry Boole’a:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator AND:
~Y=~p+~q
Y=p*q
To co wyżej to kompletny operator AND w równaniach algebry Boole’a
Sam znaczek „+” nigdy nie będzie operatorem OR jak to się ziemskim matematykom zdaje!
Dowód:
Y=p+q
Jeśli znaczek „+” jest kompletnym opisem operatora OR to neguję wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana muszę otrzymać definicję operatora AND w równaniu algebry Boole’a:
~Y=~p+~q
Zapytuję teraz ziemskich matematyków:
Czy to jest definicja operatora AND?
Oczywiście to co wyżej to tylko „połówka” definicji operatora AND w równaniu algebry Boole’a.
Równoważna definicja operatora OR to po prostu prawo de’Morgana.
Dowód:
Równania algebry Boole’a opisujące definicję operatora OR:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Dowód iż prawo de’Morgana jest kompletnym opisem operatora OR:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator AND.
A.
Negujemy wyłącznie wejścia p i q:
Y = ~p+~q = ~(p*q)
B.
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p+~q) = p*q
To jest oczywiście definicja operatora AND!
cnd
Gdyby bramka OR (operator OR) nie zawierała w sobie definicji bramki AND (operatora AND) w logice ujemnej to moglibyśmy sobie negować wejście p i q oraz wyjście Y do końca świata i na pewno nie uzyskalibyśmy bramki AND.
Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
Y = ~p+~q = ~(p*q) ## ~y = ~(~p+~q) = p*q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przy okazji mamy dowód iż operator AND jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora OR (Y), albo odwrotnie.
Po obu stronach znaku ## mamy dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.
Panowie ziemscy matematycy, dopóki nie zrozumiecie iż znaczek „+” nie jest kompletnym operatorem OR, dopóty możecie sobie szukać matematyki opisującej logikę człowieka do końca świata - nigdy jej znajdziecie!
Jednym z najciekawszych rozdziałów podręcznika jest pkt.6.1 i równanie ogólne dla operatorów implikacji analogiczne do powyższego:
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = p~>q = ~p=>~q
Operator implikacji prostej ## Operator implikacji odwrotnej
Po ustawieniu punktu odniesienia na lewej stronie znaku ## otrzymujemy:
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = q~>p = ~q=>~p
Oznacza to, iż w zero-jedynkowych dowodach formalnych nie wolno porównywać kolumn wynikowych po obu stronach znaku ## bo operator implikacji odwrotnej jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora implikacji prostej (Y), albo odwrotnie.
2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
2.0.1
Aksjomatyka algebry Kubusia to wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.
Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
[linki]
Równania algebry Boole’a to równoważny, lecz zdecydowanie lepszy opis operatorów logicznych bowiem jest on zgodny z naturalną logiką człowieka. Logika człowieka to równania algebry Boole’a, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Boole’a i odwrotnie.
2.0.2
Techniczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
2.0.3
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.
2.0.4
Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q.
Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.
2.0.5
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to algebra równań logicznych zgodna z techniczną algebrą Boole’a o definicji operatora logicznego jak wyżej.
3.0 Nowa teoria zbiorów
Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.
Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana
Uwaga!
Zgodnie z powyższym, zera i jedynki po stronie wejścia p i q w tabeli zero-jedynkowej zamieniamy na postać symboliczną (podstawa matematyczna pkt.4.3).
Po takim manewrze znaczenie 0 i 1 będzie już jednolite w całym obszarze algebry Kubusia:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Definicja zbioru:
Zbiór w sensie matematycznym to zbiór opisywalny aksjomatycznymi definicjami operatorów logicznych.
3.1 Podstawowe działania na zbiorach
Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
3.1.1
Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
3.1.2
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p*q=[1,2]
3.1.3
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]
3.1.4
Różnica zbiorów:
Różnica zbiorów p-q to elementy zbioru p pomniejszone o część wspólną zbiorów p i q
Y=p-q
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y= p-q = [3,4]
Y= q-p = [5,6]
3.1.5
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero elementów
Stąd:
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
Zbiór pusty to brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
3.1.6
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
@ - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p+@ = p+0 = p
p*@ = p*0 = 0
W algebrze Kubusia zbiór pusty @ to po prostu logiczne zero.
Nie jest nam potrzebny specjalny znaczek zbioru pustego @.
Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Przykład 1.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce jest czarne
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońce czarne”, zdanie fałszywe
Przykład 2:
A.
Mickiewicz był polakiem lub napisał Pana Tadeusza
Y=MP+PT
Mamy tu świat totalnie zdeterminowany gdzie wartości logiczne p i q znamy z góry
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
MP+PT = (MP*PT=1*1=1) + (MP*~PT=1*0=0) + (~MP*PT=0*1=0) := MP*PT
gdzie:
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy definicji spójnika „lub”(+)
Na mocy prawa Sowy, jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
B.
Mickiewicz był polakiem i napisał Pana Tadeusza
Y=MP*PT
Za każde inne zdanie różne od B, ekspert algebry Kubusia, ten straszny polonista, postawi pałę.
Interpretacja:
Mickiewicz był polakiem
MP=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie był polakiem
~MP=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
Mickiewicz napisał Pana Tadeusza
PT=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie napisał Pana Tadeusza
~PT=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
3.2 Dziedzina i zbiór aktualny
Pojęcie zbioru jako zbioru przypadkowych elementów jest matematycznie bez sensu, bo mamy wówczas matematykę życzeniową, zależną od chciejstwa człowieka, bez związku z otaczającą nas rzeczywistością (dowód pkt.8.2).
3.2.1
Jednorodność zbioru:
Zbiór musi być jednorodny w określonej dziedzinie
Oznacza to, że musi być spełniony fundament algebry Boole’a:
p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem zbioru p do dziedziny D
p*~p=0 - żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p
Wynika z tego, że nie wolno do jednego zbioru wkładać psa, krzesła, samochodu, wąsów dziadka itp. bo nie da się na takim zbiorze pracować matematycznie.
Przykład poprawnego matematycznie zbioru:
Definiujemy zbiór jednoelementowy: pies
Naturalną dziedziną D jest tu: zbiór wszystkich zwierząt
Zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny D to: zbiór wszystkich zwierząt różnych od psa
Oczywiście spełniony jest fundament algebry Boole’a:
P+~P =1
P*~P =0
Przykład zbioru matematycznie błędnego:
Definiujemy zbiór dwuelementowy: pies, wąsy dziadka
Dziedzina D: Uniwersum, czyli wszelkie możliwe pojęcia
Dopełnienie naszego zbioru do dziedziny D: wszelkie możliwe pojęcia z wykluczeniem psa i wąsów dziadka
Oczywiście, nie da się na czymś takim pracować matematycznie sensownie.
Implikacja:
p=>q
Jeśli p to q
p - poprzednik
q - następnik
Równoważność
p<=>q
p wtedy i tylko wtedy gdy q
3.2.2
Definicja dziedziny:
Dziedzina to kompletny zbiór na którym operuje implikacja lub równoważność
W algebrze Kubusia musi być spełnione:
p+~p=1 - zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p=0 - żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p
q+~q=1 - zbiór ~q jest dopełnieniem zbioru q do wspólnej dziedziny D
q*~q=0 - żaden element zbioru ~q nie należy do zbioru q
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Dziedzina po stronie p:
P +~P=1
P*~P=0
P - zbiór wszystkich psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Dziedzina po stronie q:
4L+~4L=1
4L*~4L=0
4L - zbiór zwierząt mających 4 łapy
~4L - zbiór zwierząt nie mających 4 łap
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Doskonale widać, że wszystkie powyższe zbiory operują w tej samej dziedzinie.
3.2.3
Zbiór aktualny (bieżący):
Zbiór aktualny (bieżący) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli p to q”
Uwaga:
W zdaniach najczęściej wypowiadanych zbiory p i q nie są rozłączne i należą do tej samej dziedziny jak to pokazano na przykładzie wyżej.
3.2.4
W ogólnym przypadku nie jest to wymagane, prawdziwe są takie zdania:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1
P*~K = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~K, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór kotów to zbiory rozłączne, należące do tej samej dziedziny: zbiór zwierząt
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
P*~S = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~S, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór samochodów to zbiory rozłączne, należące do różnych dziedzin.
3.3 Nowa teoria zbiorów w operatorach logicznych
Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora operuje na zbiorach opisywalnych aksjomatycznymi operatorami logicznymi.
Znaczenie 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
3.3.1
1.
Definicja operatora OR w równaniach algebry Kubusia:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd definicja równoważna:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
D: ~Y=~p*~q
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR.
[linki]
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru:
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) lub pójdę do teatru (T)
Zdanie matematycznie równoważne:
Y = K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i pójdę do teatru (T)
lub(+)
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub(+)
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
3.3.2
2.
Definicja operatora AND w równaniach algebry Kubusia:
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + p*~q + ~p*q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd definicja równoważna:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana
Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p*q
Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Zbiory ~p i ~q mają część wspólną (~p*~q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim
U: ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora AND.
[linki]
Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru:
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) i pójdę do teatru (T)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
Zdanie matematycznie równoważne:
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub(+)
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub(+)
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
3.3.3
3.
Definicja operatora XOR w równaniu algebry Kubusia:
p XOR q = p*~q + ~p*q
Zbiory rozłączne.
p XOR q = p*~q + ~p*q
Podstawowe właściwości
A.
p+~q=~q
~p+q=~p
B.
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
p*~q=p
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, stąd iloczyn logiczny to zbiór p.
~p*q=q
Zbiór q zawiera się w całości w zbiorze ~p, stąd iloczyn logiczny to zbiór q.
stąd:
p XOR q = p*~q + ~p*q := p+q
gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów
Definicja zero-jedynkowa:
[linki]
Przykład:
Każdy człowiek jest mężczyzną albo kobietą
Y = M XOR K = M*~K + ~M*K
3.3.4
4.
Definicja operatora implikacji prostej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w liniach A i B niżej
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
~p~>~q = p=>q
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Z wykresu odczytujemy:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Oba zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
p*~q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q!
W implikacji zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q, natomiast w równoważności zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Jak zajdzie p to q też musi.
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Zobaczmy ten przypadek na diagramie.
Z wykresu odczytujemy definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p*~q=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i maja część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zbiory:
~p*q=1
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) i maja część wspólną co wymusza w wyniku jeden
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Zdanie B jest fałszywe zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Definicję zero-jedynkową operatora implikacji prostej otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A.
[linki]
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Padanie deszczu jest wystarczające => dla istnienia chmur
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
... a jak nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli juro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym aby jutro nie było pochmurno
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1
3.3.5
5.
Definicja operatora implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w liniach C i D niżej
Warunek konieczny w zbiorach wygląda następująco:
p~>q
Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie B
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
Zbiór p musi zawierać w całości zbiór q, wtedy i tylko wtedy p jest konieczne dla q, czyli zachodzi prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie A
Zbiory:
p*~q=1
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zobaczmy to na diagramie logicznym:
~p=>~q
Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze, bez wyjątków
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
~p*q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zwieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q
W implikacji zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, natomiast w równoważności zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.
Zauważmy, że w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Jeśli zajdzie ~p to ~q też musi.
Definicję zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A.
[linki]
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Pochmurne niebo jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało
lub
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
... a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur wystarcza aby jutro nie padało
Stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
~CH=>P=0
3.3.6
6.
Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
.. albo odwrotnie.
W równoważności zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q i jest tożsamy ze zbiorem ~q, co wymusza tożsamość zbiorów p i q.
Analiza ogólna równoważności:
W: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q - pierwszy człon po prawej stronie
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
p*~q=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q.
… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q - pierwszy człon po prawej stronie
C.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
D.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
~p*q=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q.
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności.
[linki]
Oczywiście matematycznie zachodzi:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1
stąd w równoważności (nigdy w implikacji):
p=>q = ~p=>~q
W równoważności (i tylko tu!) obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
Stąd równoważna definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1=1
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Analiza matematyczna:
W: TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK)
TP=>SK - pierwszy człon po prawej stronie
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
TP*SK=1*1=1
Zbiory TP i SK istnieją (TP=1 i SK=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to pewno => nie zachodzi suma kwadratów
TP=>~SK=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
TP*~SK=1*1=0
Zbiory TP i ~SK istnieją (TP=1 i ~SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
TP*~SK=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru TP w zbiorze SK.
… a jeśli zajdzie ~TP?
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~SK
~TP=>~SK - pierwszy człon po prawej stronie
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~TP*~SK=1*1=1
Zbiory ~TP i ~SK istnieją (~TP=1 i ~SK=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to pewno => zachodzi suma kwadratów
~TP=>SK=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~TP*SK=1*1=0
Zbiory ~TP i SK istnieją (~TP=1 i SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
~TP*SK=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~TP w zbiorze ~SK.
4.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia
Każdy człowiek w swoim naturalnym języku mówionym posługuje się równaniami algebry Kubusia, nigdy tabelami zero-jedynkowymi.
Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równoważnymi równaniami algebry Kubusia.
Z dowolnego równania algebry Kubusia można wygenerować odpowiadającą mu, jednoznaczną tabelę zero-jedynkową.
Dowolną tabelę zero-jedynkową opisuje osiem i tylko osiem równań algebry Kubusia w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), cztery równoważne w logice dodatniej i cztery równoważne w logice ujemnej.
W tym rozdziale poznamy banalną technikę tworzenia tych równań.
4.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
4.1.1
Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.
4.1.2
Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.
4.1.3
Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji
Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0
Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p = 1
Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
4.1.4
Przydatne prawa dodatkowe
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r
Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r
Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s
Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)
Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.
4.1.5
Zmienna binarna:
Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q
4.1.6
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
4.1.7
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)
4.1.8
Prawo przejścia do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
Przykład:
Y=p+[q*(r+s)] - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*[~q+(~r*~s)] - logika ujemna bo ~Y
Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=1
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spojników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR.
4.2 Metody minimalizacji funkcji logicznej
W tym rozdziale udowodnimy, iż nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji i wszelkich innych praw logicznych poza wyżej poznanymi.
Absorpcja:
p*(p+q)=p
4.2.1
1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomianu przez zmienną p
p*p=p
p*1=p
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=1
p*1=p
cnd
4.2.2
2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p
[linki]
Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p*(p+q) = p
4.2.3
3.
Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p*(p+q)
Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1
Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0
niezależnie od wartości q.
stąd:
Y=p*(p+q)=p
cnd
4.3 Równania logiczne dla operatora OR
Matematyczne fundamenty tworzenia równań algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
4..3.1
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
[linki]
Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.
4.3.2
Najprostsze równanie dla powyższej tabeli otrzymamy dla linii D123 bowiem mamy tu samotne zero.
D.
Y=0 <=> p=0 i q=0
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
D.
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie:
D.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
To równanie opisuje wyłącznie obszar D123.
4.3.3
Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
Przechodzimy z równaniem D do logiki przeciwnej otrzymując:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
To równanie opisuje wyłącznie obszar ABC123.
Zauważmy, że mamy tu 100% zgodność z definicją spójnika „lub”(+).
Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
4..3.4
Równoważną definicję spójnika „lub”(+) otrzymamy opisując same jedynki w definicji zero-jedynkowej.
Mamy spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Stąd mamy równoważną definicję spójnika „lub”(+):
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 w powyższej tabeli.
4.3.5
Oczywiście zachodzi tożsamość matematyczna:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)
Stąd:
4.3.6
Symboliczna definicja operatora OR:
[linki]
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i D mam prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
4.3.1 Osiem równań opisujących operator OR
Korzystamy z definicji symbolicznej operatora OR wyprowadzonej w poprzednim punkcie.
Równania minimalne:
1.
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p*~q
Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p+q)
4.
Y=~(~p*~q)
Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
5.
Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
~Y = ~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8.
Y = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]
Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR:
[linki]
Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p+q = ~(~p*~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.
Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiale dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.
Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) i nie pójdziesz do teatru (~T)?
Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K*~T)
Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.
Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka.
Oznacza to, że matematyka dostarcza więcej zdań prawdziwych, niż człowiek jest w stanie zrozumieć, co jest dowodem, że język człowieka to twór z obszaru fizyki a nie matematyki.
W sumie mamy fantastyczną możliwość wyrażenia tego samego na wiele różnych sposobów.
4.4 Równania logiczne dla operatora AND
4.4.1
Zero-jedynkowa definicja operatora AND:
[linki]
Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.
4.4.2
Najprostsze równanie dla powyższej tabeli otrzymamy dla linii A bowiem mamy tu samotną jedynkę.
A.
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Jak widzimy, na mocy definicji spójnika „i”(*) w równaniu A możemy usunąć bezwzględne jedynki otrzymując równanie algebry Kubusia opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową.
Mamy zatem:
A.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
To równanie opisuje wyłącznie linię A123 w powyższej tabeli
4.4.3
Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
W tym przypadku „i”(*) na „lub”(+).
Przechodzimy z równaniem A do logiki przeciwnej otrzymując:
B1.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
To równanie opisuje obszar BCD123 w powyższej tabeli
4.4.4
Równanie równoważne do B1 otrzymamy z linii BCD123 gdzie mamy zera w wyniku:
Mamy spis z natury:
1.
B: Y=0 <=> p=0 i q=0
lub
C: Y=0 <=> p=0 i q=1
lub
D: Y=0 <=> p=1 i q=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
2.
B: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub
C: ~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
lub
D: ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „i”(*)
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Na mocy tej definicji w liniach możemy zapisać równania Kubusia:
3.
B:
~Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub
C:
~Y = ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
lub
D:
~Y=p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Na mocy tej definicji linie BCD123 możemy zapisać w jednym równaniu logicznym:
4.
~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)
4.4.5
Oczywiście matematycznie zachodzi:
~Y=~Y
stąd pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
To równanie opisuje wyłącznie obszar BCD123 w tabeli zero-jedynkowej
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR I AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)
Stąd:
4.4.6
Symboliczna definicja operatora AND:
[linki]
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i U mam prawo de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
4.4.1 Osiem równań opisujących operator AND
Korzystamy z definicji symbolicznej operatora AND wyprowadzonej w poprzednim punkcie.
Równania minimalne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p+~q
Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p*q)
4.
Y=~(~p+~q)
Równoważna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
5.
~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
Y = (p+q)*(p+~q)*(~p+q)
Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
Y = ~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]
8.
Y = ~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]
Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND:
[linki]
Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p*q = ~(~p+~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p*q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p+~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.
Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiałe dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.
Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) lub nie pójdziesz do teatru (~T)?
Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K+~T)
Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
~Y = ~(K*T) = ~K+~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.
Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
6.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka. Mają one związek z logiką zero, totalnie sprzeczną z naturalną logiką człowieka.
2012-03-31 Przed premierą ...[
dnia Pią 19:32, 06 Kwi 2012, w całości zmieniany 63 razy
4.4 Operator implikacji prostej w zbiorach
Definicja operatora implikacji prostej:
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że p musi być wystarczające dla q.
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Stąd mamy definicję warunku wystarczającego w zbiorach:
Z wykresu odczytujemy definicję symboliczną warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1 - zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p*~q=0
Zbiory p i ~q są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0, co doskonale widać na diagramie.
Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny zbiorów p*q jest zbiorem niepustym oraz iloczyn logiczny zbiorów p*~q jest zbiorem pustym.
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Zobaczmy ten przypadek na diagramie.
Z wykresu odczytujemy definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p*~q=1 - istnieje cześć wspólna
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zbiory:
~p*q=1 - istnieje część wspólna
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Zdanie B jest fałszywe zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Symboliczna definicja implikacji prostej:
[linki]
p=>q = ~p~>~q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” (nie w równoważności!)
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Z definicji tej wynika, że całą logikę matematyczną możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających =>.
Definicja operatora implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
[linki]
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD123.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p~>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD456.
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji prostej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy w warunku wystarczającym AB123:
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
oraz:
Po stronie wyjścia mamy w warunku koniecznym CD456:
[linki]
~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia
Wnioski:
1.
Mózg człowieka operuje wyłącznie na zbiorach, poszukując części wspólnej zbiorów, wtedy i tylko wtedy zdanie jest prawdziwe.
2.
Matematycznie, z punktu widzenia świata zewnętrznego widzimy zero-jedynkową definicje operatora implikacji prostej (ABCD123) albo implikacji odwrotnej (ABCD456) w zależności od przyjętego punktu odniesienia.
3.
Sposób kodowania zero-jedynkowego nie wpływa na treść samych zdań, stąd oba kodowania zero-jedynkowe są równoważne.
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16… - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze bez wyjątków
Zbiory:
P8=[8,16…]
P2=[2,4,8,16..]
P8*P2=1 bo 8,16…
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
P8=[8,16..]
~P2=[1,3,5…]
P8*~P2=0 – zbiory P8 i ~P2 istnieją, ale są rozłączne, stąd 0 w wyniku
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3,5.. – miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
Zbiory:
~P8=[2,3,5…]
~P2=[3,5,7…]
~P8*~P2=1 bo 3,5…
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
Zbiory:
~P8=[2,4,5…]
P2=[2,4,6…]
~P8*P2=1 bo 2,4…
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
D: ~P8~>P2 = B: P8=>~P2=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
[linki]
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.
Twierdzenie Sowy:
W świecie zdeterminowanym (gdy znamy rozwiązanie) zdanie prawdziwe wchodzące w skład dowolnego operatora ulega redukcji do spójnika „i”(*).
Definicja implikacji w zbiorach:
[linki]
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 8 (P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L3=>P8*P2
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P8=1 i P2=1
stąd dla liczby 8 mamy:
~P8=0, ~P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
[linki]
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i nie jest podzielna przez 2 (~P2=1)
L3=>~P8*~P2
Co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P8=1 i ~P2=1
stąd dla liczby 3 mamy:
P8=0, P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
[linki]
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie D będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L2=>~P8*P2
co matematycznie oznacza:
L2=1 => ~P8=1 i P2=1
Stąd dla liczby 2 mamy:
P8=0, ~P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
[linki]
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
4.5 Definicja implikacji odwrotnej
Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
[linki]
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
[linki]
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD123.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456.
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji odwrotnej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy w warunku koniecznym AB123 mamy:
[linki]
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
oraz:
Po stronie wyjścia mamy w warunku wystarczającym CD456 mamy:
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi => zajść ~q
Narysujmy schemat ideowy implikacji odwrotnej:
Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
p~>q = ~p=>~q
Odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „może” ~> bowiem tylko tu widzimy niezanegowane wejście p (p).
Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „musi” => bowiem tylko tu mamy zanegowane wejście (~p).
Doświadczenie 4.
Zbudować powyższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora implikacji odwrotnej wyżej.
Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Mamy w liniach AB123:
[linki]
Bramki „może” ~>
Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jak zajdzie ~p?
Mamy w liniach CD456:
[linki]
Bramki „musi” =>
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 1 =1
Chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu.
LUB
B.
Jeśli będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 0 =1
… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
0 0 =1
Brak chmur wystarcza aby nie padało.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
0 1 =0
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
CH=1, ~CH=0
P=1, ~P=0
Zauważmy że:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P =1
Zdanie C jest prawdziwe, zatem w zdaniu A musi zachodzić warunek konieczny ~>.
Znaczenie warunku koniecznego w logice dodatniej (bo P):
Zabieramy chmury wykluczając możliwość padania.
Zauważmy, że jak jutro będzie pochmurno to mamy rzucanie monetą, może padać (zdanie A) albo może nie padać (zdanie B).
stąd:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q, w implikacji to po prostu „rzucanie monetą”
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny bo nie zachodzi tu prawo Kubusia:
B: CH~>~P = D: ~CH=>P=0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
4.6 Operator implikacji odwrotnej w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” miedzy p i q
=> - warunek wystarczający, w implikacji spójnik „musi” między p i q
Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Warunek konieczny w diagramie logiki wygląda następująco:
p~>q
Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie B
Zbiory:
p*q=1 - istnieje cześć wspólna zbiorów p i q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie A
Zbiory:
p*~q=1 - istnieje część wspólna zbiorów p i ~q
… a jeśli nie zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zobaczmy to na diagramie logicznym:
~p=>~q
Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze, bez wyjątków
Zbiory:
~p*~q=1 - zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q!
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p*q=0
Zbiory ~p i q istnieją, ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0, co doskonale widać na diagramie.
Zauważmy, że w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo q):
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny zbiorów ~p*~q jest zbiorem niepustym oraz iloczyn logiczny zbiorów ~p*q jest zbiorem pustym.
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
[linki]
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
bo druga linia p~~>~q też ma prawo wystąpić
Gdzie:
~> - warunek konieczny
=> - warunek wystarczający
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Z definicji tej wynika, że całą logikę matematyczną możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających =>.
Definicja operatora implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
[linki]
Tożsamość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD123.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456.
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji odwrotnej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy w warunku koniecznym AB123:
[linki]
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
oraz:
Po stronie wyjścia mamy w warunku wystarczającym CD456:
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi => zajść ~q
Jak widzimy, mózg człowieka operuje wyłącznie na zbiorach, poszukując części wspólnej zbiorów, wtedy i tylko wtedy zdanie jest prawdziwe.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Analiza matematyczna:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Zbiory:
P2=[2,4,8,16..]
P8=[8,16…]
P2*P8=1 bo 8,16…
LUB
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
P2=[2,4,6…]
~P8=[2,4,5…]
P2*~P8=1 bo 2,4…
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ?
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 3,5… - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~P2=[3,5,7…]
~P8=[2,3,5…]
~P2*~P8=1 bo 3,5…
stad:
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~P2=[1,3,5…]
P8=[8,16..]
~P2*P8=0 - zbiory rozłączne, wynik =0
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
B: ~P2~>P8 = D: P2=>~P8=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu B nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0
[linki]
Po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.
Twierdzenie Sowy:
W świecie zdeterminowanym (gdy znamy rozwiązanie) zdanie prawdziwe wchodzące w skład dowolnego operatora ulega redukcji do spójnika „i”(*),
Definicja implikacji w zbiorach:
[linki]
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 2 (P2=1) i jest podzielna przez 8 (P8=1)
L8=>P2*P8
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P2=1 i P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P2=1, ~P2=0
P8=1. ~P8=0
[linki]
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie B będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to jest ona podzielna przez 2 (P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
L2=>P2*~P8
Co matematycznie oznacza:
L2=1 => P2=1 i ~P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P2=1, ~P2=0
~P8=1. P8=0
[linki]
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 2 (~P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
L3=>~P2*~P8
co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P2=1 i ~P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
~P2=1, P2=0
~P8=1. P8=0
[linki]
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.
4.7 Operator równoważności
Zero-jedynkowa definicja równoważności:
[linki]
Gdzie:
<=> - operator równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” w naturalnej logice człowieka
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy zmienne po stronie p i q do postaci symbolicznej.
[linki]
Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do dziedziny X
p*~p=0 - żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p
W obszarze AB456 widzimy, że jeśli zajdzie p to na pewno => zadzie q, bowiem przypadek zajdzie p i zajdzie ~q nie ma prawa wystąpić (zero w wyniku).
Obszar AB456 możemy symbolicznie opisać jako!
Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p=>~q=0
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki, o definicji jak wyżej
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Bo linia B jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
W obszarze CD456 widzimy, że jeśli zajdzie ~p to na pewno => zadzie ~q, bowiem przypadek zajdzie ~p i zajdzie q nie ma prawa wystąpić (zero w wyniku).
Obszar CD456 możemy symbolicznie opisać jako!
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q=0
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki, o definicji jak wyżej
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Bo linia D jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
stąd:
Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q).
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny wirtualnych definicji implikacji prostej i odwrotnej.
Przypomnijmy sobie definicje implikacji prostej i odwrotnej.
Symboliczna definicja implikacji prostej:
[linki]
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - spójnik „na pewno” miedzy p i q, warunek wystarczający o definicji wyłącznie w A i B
~> - spójnik „może” miedzy p i q, warunek konieczny o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Gwarancja matematyczna wyrażona spójnikiem „i”(*):
p=>q = ~(p*~q)
W implikacji prostej mamy gwarancję po stronie p i totalny brak gwarancji po stronie ~p.
Po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Stąd:
Implikacja prosta = jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno będzie pochmurno
P=>CH
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
[linki]
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - spójnik „na pewno”, warunek wystarczający o definicji wyłącznie w C i D
~> - spójnik „może”, warunek konieczny o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Gwarancja matematyczna wyrażona spójnikiem „i”(*):
~p=>~q = ~(~p*q)
W implikacji odwrotnej mamy gwarancję po stronie ~p i totalny brak gwarancji po stronie p.
Po stronie p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Stąd:
Implikacja odwrotna = jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
Na mocy powyższych definicji mamy najważniejsze definicje w całej logice matematycznej!
To definicje warunku wystarczającego w logice dodatniej i ujemnej.
1.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padło to na pewno będzie pochmurno
P=>CH
P=>~CH=0
2.
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Przykład:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P
Ogólna definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia
Z powyższego wynika, że całą logikę w zakresie implikacji możemy sprowadzić do badania banalnych warunków wystarczających o definicjach jak wyżej.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny wirtualnych definicji implikacji prostej i odwrotnej.
[linki]
gdzie:
[…] - część wirtualna, niedostępna w świecie rzeczywistym
Warunek konieczny w implikacji prostej (linie C i D):
[~p~>~q]
jest wycinany przez warunek wystarczający implikacji odwrotnej (C i D) i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Stąd:
[~p~>~q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym
W świecie rzeczywistym w liniach C i D widzimy wyłącznie warunek wystarczający:
~p=>~q = ~(~p*q) - gwarancja matematyczna A
Analogicznie:
Warunek konieczny w implikacji odwrotnej (linie A i B):
[p~>q]
jest wycinany przez warunek wystarczający implikacji prostej (A i B) i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Stąd:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym
W świecie rzeczywistym w liniach A i B widzimy wyłącznie warunek wystarczający:
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja matematyczna B
Stąd mamy:
Równoważność = dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne
Na podstawie powyższego mamy.
Symboliczna definicja równoważności:
[linki]
Możliwe dwie definicje słowne równoważności:
1.
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) oraz warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q, ~p=>~q - definicje warunku wystarczającego => jak w tabeli wyżej
2.
Równoważność to iloczyn logiczny implikacji prostej wirtualnej w logice dodatniej (bo q) oraz implikacji prostej wirtualnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Definicja implikacji prostej wirtualnej w logice dodatniej:
p=>q = [~p~>~q]
Definicja implikacji prostej wirtualnej w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q = [p~>q]
gdzie:
[p~>q], [~p~>~q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym.
Interpretacja symbolicznej definicji równoważności:
p<=>p = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
Możliwe są dwie równoważne interpretacje słowne prawej strony równania:
A.
p=>q - warunek wystarczający o definicji jak w liniach A i B
~p=>~q - warunek wystarczający o definicji jak w liniach C i D
B.
p=>q - implikacja prosta wirtualna gdzie „rzucanie monetą” jest przykryte przez linie C i D powyższej definicji.
~p=>~q - implikacja prosta wirtualna gdzie „rzucanie monetą” jest przykryte przez linie A i B powyższej definicji
To samo równanie w postaci gwarancji matematycznych:
p=>q = ~(p*~q)
~p=>~q = ~(~p*q)
stąd:
p<=>q = [~(p*~q)]*[~(~p*q)] =1*1=1
Muszą zachodzić dwie gwarancje matematyczne!
Wtedy i tylko wtedy zdanie jest równoważnością.
Kodowanie zero-jedynkowe definicji równoważności:
[linki]
Tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem formalnym zachodzenia tożsamości:
p<=>q = ~p<=>~q = (p=>q)*(~p=>~q)
Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Dowód poprzez analizę wszystkich możliwych przeczeń TR i KR.
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
TR=>KR - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
1 1 =1
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
~TR=>~KR - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
0 0 =1
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno =>ma kąty równe
~TR=>KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
0 1 =0
Doskonale widać zero-jedynkową definicję równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem A:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0
Doświadczenie 5.
Schemat ideowy operatora równoważności w bramkach logicznych jest następujący.
Zbudować powyższy układ i sprawdzić poprawność tabel zero-jedynkowych w punktach:
p=>q
~p=>~q
p<=>q
w zależności od wszystkich możliwych sygnałów wejściowych p i q
4.8 Równoważność w zbiorach
Zero-jedynkowa definicja równoważności:
[linki]
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
Zobaczmy to na diagramach logiki:
Warunek wystarczający w logice dodatniej:
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p jest warunkiem wystarczającym dla q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z diagram widzimy, że zbiory p i q są dokładnie tymi samymi zbiorami:
p=q
co wymusza tożsamość zbiorów:
~p=~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej:
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Z czego wynika że ~p jest wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Z diagramu widzimy, że zbiory ~p i ~q są dokładnie tymi samymi zbiorami:
~p=~q
co wymusza tożsamość zbiorów:
p=q
Z powyższego mamy operatorową definicję równoważności.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Analiza ogólna równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q - pierwszy człon po prawej stronie
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1 - zbiory p i q są tymi samymi zbiorami
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p*~q=0 - zbiory rozłączne
… a jeśli nie zajdzie p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q - pierwszy człon po prawej stronie
C.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p*~q=1 - zbiory ~p i ~q są tymi samymi zbiorami
D.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p*q=0 - zbiory rozłączne
5.0 Równoważność czy implikacja
W tym punkcie omówimy praktyczne sposoby rozstrzygania czy dane zdanie jest implikacją, czy też czymś fundamentalnie innym, równoważnością.
Trzy najważniejsze definicje w całej logice matematycznej!
1.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze logiki
2.
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
[linki]
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
3.
Definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
~p~>~q = p=>q – prawo Kubusia, definicja implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia, definicja implikacji odwrotnej
Oczywiście wynika z tego, że całą logikę możemy sprowadzić do badania banalnych warunków wystarczających.
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q (rzucanie monetą)
5.1 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
gdzie wyłącznie w równoważności:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny ~> niedostępny w świecie rzeczywistym
Uwaga!
W dalszej części podręcznika będziemy pomijać nawiasy kwadratowe z dwóch powodów:
1.
Uproszczenie zapisów
2.
Jeśli udowodnimy warunek wystarczający:
p=>q
to mamy sytuację „wiem że nic nie wiem”, czyli totalnie nie wiemy czym jest to zdanie rozumiane jako operator logiczny.
Zdanie z udowodnionym warunkiem wystarczającym w jedną stronę p=>q może być już tylko i wyłącznie implikacją albo równoważnością, pod warunkiem że mamy do czynienia z totalnym brakiem determinizmu, czyli nie znamy z góry wartości logicznych p i q.
Jest oczywiste że jeśli udowodnimy równoważność to zapis:
p~>q
będzie oznaczał wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym.
Natomiast jeśli udowodnimy implikację to zapis:
p~>q
Będzie oznaczał rzeczywisty warunek konieczny, spójnik „może” między p i q (rzucanie monetą), dostępny w świecie rzeczywistym.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]czyli:
p=>q - p jest wystarczające dla q
i
[p~>q] - p jest konieczne dla q
Stąd mamy śfińską definicję równoważności niżej.
Śfińska definicja Implikacji prostej
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => w kierunku p=>q
p=>q=1
p~>q= ~p=>~q =0
Oczywiście w logice dowodzimy warunek konieczny ~> w sposób pośredni korzystając z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=1 to automatycznie udowodnimy p~>q=1
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=0 to automatycznie udowodnimy p~>q=0
Przykład:
A.
Warunek wystarczający:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
P=>~CH=0
Warunek wystarczający spełniony
Badamy warunek konieczny:
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> być pochmurno
P~>CH = ~P=>~CH=0
Warunek konieczny niespełniony bo:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
~P=>~CH=0
Wniosek:
Zdanie A spełnia śfińską definicję implikacji prostej, w skrócie, jest implikacją prostą
Śfińska definicja implikacji odwrotnej
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między p i q
p~>q= ~p=>~q =1
p=>q=0
Oczywiście warunek konieczny dowodzimy w sposób pośredni korzystając z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=1 to automatycznie udowodnimy p~>q=1
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=0 to automatycznie udowodnimy p~>q=0
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P=1
czyli:
B.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1
Prawa strona równania Kubusia jest prawdą, zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny CH~>P=1.
Badamy warunek wystarczający:
C.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P=0
Warunek wystarczający niespełniony
Wniosek:
Zdanie A spełnia śfińską definicję implikacji odwrotnej, w skrócie, jest implikacją odwrotną
Śfińska definicja równoważności
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego i koniecznego
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1=1
p=>q=1
p~>q=1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> to prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q =1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
TR=>~KR=0
Warunek wystarczający spełniony.
Badamy warunek konieczny:
TR~>KR = ~TR=>~KR=1 - prawo Kubusia
B.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma katów równych
~TR=>~KR=1
~TR=>KR=0
Prawa strona równania Kubusia jest prawdą, zatem z lewej strony zachodzi warunek konieczny:
TR~>KR=1
Oczywiście symbol ~> to warunek konieczny na poziomie wirtualnym, nie jest to spójnik „może” znany z implikacji , bowiem w równoważności wykluczone jest „rzucanie monetą”.
Zdanie A spełnia śfińską definicję równoważności, w skrócie możemy powiedzieć iż jest równoważnością.
5.2 Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności
Podstawa matematyczna
Dowód formalny braku przemienności argumentów w implikacji:
[linki]
Brak tożsamości dwóch ostatnich kolumn jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
Dowód formalny przemienności argumentów w równoważności:
[linki]
Tożsamość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem przemienności argumentów w równoważności.
Na podstawie powyższego mamy.
Gimnazjalna definicja implikacji prostej:
Implikacja to wynikanie => (warunek wystarczający) wyłącznie w jedna stronę
A: p=>q=1
B: q=>p=0
Jeśli zdanie jest implikacją to nie może być równoważnością:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)=1*0 =0
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 2
Równoważność jest tu wykluczona:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P2=>P8)=1*0=0
Na mocy gimnazjalnej definicji implikacji zdanie A to piękna implikacja prosta.
Gimnazjalna definicja implikacji odwrotnej:
A: ~p=>~q=1
B: ~q=>~p=0
Jeśli zdanie jest implikacją to nie może być równoważnością:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)=1*0 =0
Przykład:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2=0 bo 2
Równoważność jest tu wykluczona:
~P2<=>~P8 = (~P2=>~P8)*(~P8=>~P2)=1*0=0
Na mocy gimnazjalnej definicji implikacji zdanie A to piękna implikacja odwrotna
Gimnazjalna definicja równoważności:
Równoważność to wynikanie => (warunek wystarczający) w dwie strony
A: p=>q=1
B: q=>p=1
Twierdzenie:
Jeśli zdanie jest równoważnością prawdziwą to na mocy definicji nie może być implikacją prawdziwą i odwrotnie.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli trójkąt ma kąty równe to na pewno => jest równoboczny
KR=>TR=1
Na mocy gimnazjalnej definicji równoważności zdanie A to piękna równoważność:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1=1
Zauważmy, że warunki wystarczające => w zdaniach A są identyczne w implikacji i równoważności.
Definicja warunku wystarczającego:
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zatem po udowodnieniu p=>q o zdaniu A możemy powiedzieć tylko i wyłącznie iż jest to warunek wystarczający =>, żadna tam implikacja czy też równoważność bo jeszcze tego nie udowodniliśmy!
Precyzyjnie na temat zdania A możemy się wypowiedzieć wyłącznie po udowodnieniu B, co pokazano w definicjach równoważności wyżej.
5.3 Licealne definicja implikacji i równoważności
Implikacja = jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna
Licealna definicja implikacji prostej:
A: p=>q=~(p*~q)=1
B: ~p=>~q=~(~p*q)=0
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno będzie pochmurno
P=>CH = ~(P*~CH)=1
AG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro będzie padło i nie będzie pochmurno
~(P*~CH)=1
Sprawdzamy B:
B.
Jeśli jutro nie będzie padło to na pewno nie będzie pochmurno
~P=>~CH=~(~P*CH)=0 - bo może nie padać i być pochmurno
BG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie będzie padać i będzie pochmurno
~(~P*CH)=0 - oczywiście może się zdarzyć że nie będzie padać i będzie pochmurno
Licealna definicja implikacji odwrotnej:
A: ~p=>~q=~(~p*q)=1
B: p=>q= ~(p*~q)=0
Przykład:
A.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P=~(~CH*P) =1
AG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie będzie pochmurno i będzie padało
~(~CH*P)=1
Sprawdzamy B:
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno będzie padało
CH=>P=~(CH*~P)=0 - bo może być pochmurno i może nie padać
BG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro będzie pochmurno i nie będzie padało
~(CH*~P)=0 - oczywiście może się zdarzyć, że jutro będzie pochmurno i nie będzie padało
Wniosek:
Zdanie A to piękna implikacja odwrotna
Licealna definicja równoważności
Równoważność = dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
A: p=>q=~(p*~q)=1
B: ~p=>~q=~(~p*q)=1
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR = ~(TR*~KR)=1
AG.
Nie może się zdarzyć ~(...), że trójkąt jest równoboczny i nie ma kątów równych
~(TR*~KR)=1
B.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma kątów równych
~TR=>~KR=~(~TR*KR)=1
BG.
Nie może się zdarzyć ~(...), że trójkąt nie jest równoboczny i ma kąty równe
~(~TR*KR)=1
Wniosek:
Na mocy licealnej definicji równoważności zachodzi równoważność:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)=1*1=1
5.4 Kwadrat logiczny równoważności
[linki]
Wszystkie możliwe definicje równoważności to dowolny bok kwadratu:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (q=>p)*(~q=>~p) = (p=>q)*(q=>p) = (~p=>~q)*(~q=>~p)
W równoważności między dowolnymi dwoma wierzchołkami zachodzą jednocześnie warunki wystarczający rzeczywisty => i warunek konieczny wirtualny ~>.
Wirtualny warunek konieczny ~> (rzucanie monetą) nie jest dostępny w świecie rzeczywistym!
W świecie rzeczywistym dostępne są wyłącznie warunki wystarczające => o definicjach jak wyżej.
Oczywiście w równoważności zachodzą też warunki wystarczający => i konieczny wirtualny ~> po przekątnych kwadratu:
p???q = (p=>q)*(~q=>~p) = (~p=>~q)*(q=>p)
Dlaczego to nie są definicje równoważności?
Odpowiedź:
Bo operator ??? nie jest jednoznaczny.
??? - to może być operator zarówno równoważności jak i czegoś fundamentalnie innego, implikacji!
Oczywiście równoważność to fundamentalnie co innego niż implikacja.
Nic co jest równoważnością prawdziwą nie ma prawa być implikacją prawdziwą i odwrotnie.
Przykład:
[linki]
Definicje równoważności wynikające z pionów:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = ~TR<=>~KR
KR<=>TR = (KR=>TR)*(~KR=>~TR) = ~KR<=>~TR
5.5 Kwadrat logiczny implikacji
[linki]
W kwadracie logicznym implikacji zachodzą tożsamościowe prawa matematyczne wyłącznie w pionach.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q=1 - prawo Kubusia
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q=1 - prawo Kubusia
Oczywiście na mocy definicji mamy:
p=>q = ~p>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji.
W pionach mamy do czynienia z dwom izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne, ani w poziomie, ani po przekątnych!
Pod p i q w obu pionach możemy sobie podstawiać co nam się żywcem podoba.
Przykładowo:
Jeśli stwierdzimy warunek wystarczający w punkcie C1:
~p=>~q=1
oraz brak warunku wystarczającego w punkcie A1:
p=>q=0
To możemy być pewni iż nasze analizowane zdanie to piękna implikacja odwrotna, czyli coś fundamentalnie innego niż implikacja prosta czy też równoważność!
Przykład:
[linki]
A.
Jeśli jutro będzie padło to na pewno będzie pochmurno
P=>CH=1
... a jak nie będzie padło?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~CH~>P
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~CH~>~P=1
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1
... a jak nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P=1
To są jedyne tożsamości matematyczne zachodzące w kwadracie logicznym implikacji.
Na mocy definicji zachodzi:
P=>CH =~P~>~CH ## CH~>P = ~CH=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
W implikacji obowiązuje prawo kontrapozycji wyłącznie w tej formie:
P=>CH ## ~CH=>~P
czyli:
p=>q ## ~q=>~p
Znane matematykom prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q = ~q=>~p
obowiązuje i świetnie działa ... wyłącznie w równoważności!
Prawo kontrapozycji jest w matematyce bezużyteczne bo niczego nie dowodzi.
Na mocy powyższego kwadratu logicznego możemy udowodnić warunek wystarczający w dowolnym rogu kwadratu!
Czyli jeśli uznamy za zbyt trudny dowód w punkcie:
C1: ~CH=>~P=1
to możemy się przenieść do punktu:
A1: P=>CH=1
udowodnienie A1 jest automatycznym dowodem C1, bez żadnego bzdetu o nazwie „prawo kontrapozycji”.
Prawem kontrapozycji nie rozstrzygniemy kluczowego problemu:
Równoważność to czy implikacja
... dlatego prawo kontrapozycji jest w matematyce zbędne. dnia Sob 23:35, 04 Lut 2012, w całości zmieniany 19 razy