Algebra Kubusia - start od nowa (2013-11-04) - porzucona

polsk riksdag

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Algebra Kubusia
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita, Yorgina, Pana Baryckiego i Zbigniewamillera.

Historia powstania algebry Kubusia

Bezpośrednim przyczynkiem do powstania algebry Kubusia było starcie z Wujem Zbójem na forum wiara.pl
Poszło o zdanie:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Wuj twierdził że na mocy tego zdania może być zbawiony każdy, nawet ateista.
Kubuś natomiast twierdził że na mocy tego zdania wszyscy niewierzący muszą do piekła.
… tak to się zaczęło.
Musiało minąć chyba z 6 miesięcy zaciętej dyskusji, aby Kubuś zmienił zdanie.
Kiedy pierwszy raz zapisał prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Wuj od razu skomentował to tak: fajne wzorki, poprawne matematycznie.
Kubuś odpisał: to jest tak piękne, że musi być prawdziwe.
Notabene ten znaczek „~>” zaproponował Wuj jako znaczek groźby (jadowity wąż) - tak się to wtedy nazywało.
Wuj był wspaniałym nauczycielem małego Kubusia, na PW zaliczyliśmy niezliczoną ilość nocek dyskutując o algebrze Boole’a. Kubuś znał technikę bramek logicznych (operatory logiczne) perfekcyjnie z racji swego wykształcenia (elektronika na PW-wa), ale operator implikacji to było coś absolutnie nowego i mu nieznanego, coś co kompletnie nie występuje w technice bramek logicznych.
Dlaczego?
Operator implikacji to w jednej połówce 100% pewność (warunek wystarczający =>), natomiast w drugiej połówce operator implikacji to najzwyklejsze „rzucanie monetą” (warunek konieczny ~>).
Operatory implikacji prostej i odwrotnej to między innymi matematyczny opis „wolnej woli” wszystkich istot żywych. Z tego powodu w technice operatory te są totalnie bezużyteczne i nigdy nie znajdą zastosowania, trudno bowiem sobie wyobrazić aby urządzenie miało „wolną wolę”. Przykładowo kierowca hamuje, samochód prawie zawsze go słucha, ale czasami dodaje gazu zamiast hamować - to jest istota „wolnej woli” w świecie żywym.
Kiedy na matematyce.pl pierwszy raz powiązałem znaczki obietnicy => i groźby ~> z warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>, Wuj od razu skomentował: to jest dobre, idź w tym kierunku.
Wuj zawsze podpowiadał Kubusiowi co robi źle, czyli kiedy idzie w maliny, dzięki czemu AK mogła się rozwijać.
Ważnym okresem w historii powstawania algebry Kubusia była dwuletnia bijatyka na forum ateista.pl (2800 postów), gdzie wszyscy starali się obalić powstającą, nową ideę. Tu algebra Kubusia rosła w siłę a Kubuś który nigdy nie widział nawet okładki podręcznika do logiki matematycznej poznał „logikę” Ziemian, głównie dzięki Fizykowi, Windziarzowi, Sogorsowi i Quebabowi.
Zacięta dyskusja i zdecydowana odmowa Kubusia do przejścia na jedynie słuszną wiarę, matematykę Ziemian, tak rozwścieczyła administratorów ateisty.pl że zamknęli wszystkie tematy jakie kiedykolwiek Kubuś tu założył, zakazując dyskusji na temat AK.
Chcąc nie chcąc Kubuś skorzystał z zaproszenia Sogorsa i pojawił się na forum Yrizona, będącego własnością Sogorsa (tu Daggera) i Słupka, starych znajomych z dyskusji na ateiście.pl.
Tu również zaczęło się od bijatyki, ale w pewnym momencie doszło do zakładu, który przyciągnął na Yrizonę tajemniczego przybysza z matematyki.pl, Fiklita, który podobnie jak Wuj w czasach małego Kubusia z wielką cierpliwością wskazywał słabe punkty algebry Kubusia, dzięki czemu ta stawała się coraz doskonalsza. Ponad roczna dyskusja z Fiklitem była decydująca, bez niej algebra Kubusia nie zostałaby zauważona.
Co jest warta idea, nawet najwspanialsza, której nikt poza jej autorem nie rozumie?

Dzięki wszystkim,
Kubuś

Spis treści:

Część I
Fundamenty matematyczne

1.0 Algebra Kubusia w pigułce
1.1 Operatory transmisji i negacji
1.2 Operatory OR i AND
1.3 Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów
1.4 Operator chaosu
1.5 Operatory implikacji prostej i odwrotnej
1.6 Operator równoważności
1.7 Operator implikacji prostej wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
1.8 Operator implikacji odwrotnej wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

2.0 Nowa teoria zbiorów
2.1 Aksjomatyka algebry Kubusia w zbiorach
2.2 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów
2.3 Podstawowe operacje na zbiorach
2.4 Zbiory jednoelementowe
2.5 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego

3.0 Operatory jednoargumentowe
3.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego
3.2 Prawa Prosiaczka
3.3 Wykresy czasowe w algebrze Kubusia
3.4 Operator transmisji
3.5 Operator negacji
3.6 Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji

1.0 Algebra Kubusia w pigułce

Fundamentem algebry Kubusia jest Nowa Teoria Zbiorów.
Algebra Kubusia w pigułce to streszczenie całego podręcznika, jego kwintesencja.
Wiele praw tu użytych np. prawa Kubusia, prawa Prosiaczka i twierdzenie sfinii zostanie wyprowadzone i udowodnione w dalszej części podręcznika.

Znaczenie symboli 0 i 1 poza nową teoria zbiorów:
1 = prawda
0 = fałsz

Znaczenie symboli 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (istnieje)
0 - zbiór pusty (nie istnieje)
Nowa teoria zbiorów to najprostsza teoria implikacji i równoważności, zrozumiała dla każdego 5-cio latka i każdego humanisty.

~ - symbol negacji, przeczenie „nie” w naturalnej logice człowieka

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zmienna binarna:
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r

Funkcja logiczna:
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - operatory logiczne
Y, p=>q - funkcje logiczne

Definicja operatora logicznego w zbiorach:
Operator logiczny to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

1.1 Operatory transmisji i negacji

Operatory transmisji i negacji to operatory jednoargumentowe.

Definicja operatora jednoargumentowego:
Operator jednoargumentowy to funkcja logiczna jednej zmiennej
Y = p

Logika dodatnia i ujemna w operatorach jednoargumentowych:
Y=p - logika dodatnia gdy funkcja logiczna Y nie jest zanegowana
~Y =~p - logika ujemna gdy funkcja logiczna Y jest zanegowana

Operator transmisji:
Y = p
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=~p
Matematycznie zachodzi:
Y=p # ~Y=~p
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # parametr p musi być identyczny.
Zbiór ~Y=~p jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y=p, stąd:
Y=p <=> ~Y=~p
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)

Przykład:
A1:
Jutro pójdę do kina
Y=K
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=~K
A2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y= ~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)

Definicja dziedziny spełniona bo:
K+~K =1 - jutro mogę być w kinie lub nie być w kinie
K*~K =0 - jutro nie mogę być jednocześnie w kinie i nie w kinie

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A1 otrzymujemy definicję operatora transmisji w logice dodatniej (bo Y)
A1: Y=K
Y=1, ~Y=0
K=1, ~K=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A2 otrzymujemy definicję operatora transmisji w logice ujemnej (bo ~Y)
A2: ~Y=~K
~Y=1, Y=0
~K=1, K=0
[linki]
Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

W operatorach jednoargumentowych spójnik „i”(*) i „lub”(+) nie występują.
Stąd:
Dla tabeli Ax56 mamy:
Y=K
co matematycznie oznacza:
A1_56: Y=1 <=> K=1
Dla tabeli Ax78 mamy:
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
A2_78: ~Y=1 <=> ~K=1

Operator negacji:
Y=~p
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=p
Matematycznie zachodzi:
Y=~p # ~Y=p
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # parametr p musi być identyczny.
Zbiór ~Y=p jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y=~p, stąd:
Y=~p <=> ~Y=p
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)

Przykład:
B1.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=K
B2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
~Y= K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)

Definicja dziedziny spełniona bo:
K+~K =1 - jutro mogę być w kinie lub nie być w kinie
K*~K =0 - jutro nie mogę być jednocześnie w kinie i nie w kinie

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem B1 otrzymujemy definicję operatora negacji w logice dodatniej (bo Y)
B1: Y=~K
Y=1, ~Y=0
~K=1, K=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem B2 otrzymujemy definicję operatora negacji w logice ujemnej (bo ~Y)
B2: ~Y=K
~Y=1, Y=0
K=1, ~K=0
[linki]
Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

W operatorach jednoargumentowych spójnik „i”(*) i „lub”(+) nie występują.
Stąd:
Dla tabeli Ax56 mamy:
Y=~K
co matematycznie oznacza:
A1_56: Y=1 <=> ~K=1
Dla tabeli Ax78 mamy:
~Y=K
co matematycznie oznacza:
A2_78: ~Y=1 <=> K=1

Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji:
Operator transmisji ## Operator negacji
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Y = p # ~Y=~p ## Y=~p # ~Y=p
Po obu stronach znaku # parametr p musi być identyczny.
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p)

1.2 Operatory OR i AND

Definicja logiki dodatniej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana
Y=p+(q*~r) - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~p*(~q+r) - logika ujemna do ~Y

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
W: Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
stąd otrzymujemy:
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
B: Yb=1 <=> p=1 i q=0
C: Yc=1 <=> p=0 i q=1
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Na mocy prawa Prosiaczka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (do teorii zbiorów):
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
B: Yb=1 <=> p=1 i ~q=1
C: Yc=1 <=> ~p=1 i q=1
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) w zbiorach otrzymujemy:
A: Ya=p*q
B: Yb=p*~q
C: Yc=~p*q

… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U: ~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
D: ~Yd =~p*~q

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p+q
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem U otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p*~q
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
~q=1, q=0
[linki]
Dla punktu odniesienia Y=p+q otrzymujemy definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y) w obszarze ABCD456.
Dla punktu odniesienia ~Y=~p*~q otrzymujemy definicję operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y) w obszarze ABCD789.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Dowód:
Dla tabeli ABCD456 mamy:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Z analizy symbolicznej mamy matematyczny opis obszaru ABC456 z jedynkami w wyniku:
Y=p+q
Y = Ya+Yb+Yc = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*q
;q+~q=1
;p*1=p
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q
;~p*p=0
;0+x =x
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y=p+q - to jest nagłówek tabeli ABCD456
cnd
stąd otrzymujemy:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Na mocy twierdzenie sfinii dla tabeli ABCD456 zapisujemy:
Y = p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Na mocy twierdzenia śfinii dla tabeli ABCD789 znaczenie nagłówka tabeli jest natychmiastowe:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Y=p+q # ~Y=~p*~q = ~(p+q)
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y = p+q <=> ~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
W: Y=p*q
A: Ya = p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U: ~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
stąd otrzymujemy:
B: ~Yb=1 <=> ~p=1 i ~q=1
C: ~Yc=1 <=> ~p=1 i ~q=0
D: ~Yd=1 <=> ~p=0 i ~q=0
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Na mocy prawa Prosiaczka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (do teorii zbiorów):
B: ~Yb=1 <=> ~p=1 i ~q=1
C: ~Yc =1 <=> ~p=1 i q=1
D: ~Yd=1 <=> p=1 i ~q=1
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) w zbiorach otrzymujemy:
B: ~Yb=~p*~q
C: ~Yc = ~p*q
D: ~Yd =p*~q

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora AND w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p*q
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem U otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p+~q
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
[linki]
Dla punktu odniesienia Y=p*q otrzymujemy definicję operatora AND w logice dodatniej (bo Y) w obszarze ABCD456.
Dla punktu odniesienia ~Y=~p+~q otrzymujemy definicję operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y) w obszarze ABCD789.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Dowód:
Dla tabeli ABCD789 mamy:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Z analizy symbolicznej mamy matematyczny opis obszaru BCD789 z jedynkami w wyniku:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Minimalizujemy:
~Y = ~p*(~q+q) + p*~q
;~q+q=1
;~p*1=~p
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
;p*~p=0
;0+x =x
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q - to jest nagłówek tabeli ABCD789
cnd
Stąd:
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Na mocy twierdzenie sfinii dla tabeli ABCD456 od razu zapisujemy:
Y = p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Na mocy twierdzenia śfinii dla tabeli ABCD789 zapisujemy:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Y=p*q # ~Y=~p+~q = ~(p*q)
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y = p*q <=> ~Y=~p+~q = ~(p*q)
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Równanie ogólne dla operatorów OR i AND
Operator OR ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Y = p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q
Po obu stronach znaku # musimy mieć identyczne p i q.
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)

1.3 Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji i równoważności:
p=>q = ~p~>~q - definicje implikacji prostej w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q - definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = ~p<=>~q - równoważność w logice dodatniej gdy q

1.4 Operator chaosu

Definicja operatora chaosu w zbiorach:
p~~>q
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3
Analiza przez wszystkie możliwe przeczenia:
A: P8~~>P3 =1 bo 24
B: P8~~>~P3 =1 bo 8
C: ~P8~~>~P3 =1 bo 5
D: ~P8~~>P3 =1 bo 3

Przejdźmy z naszym przykładem na zapisy formalne podstawiając:
p=P8
q=P3

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora chaosu:
A: p~~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
[linki]
Obszar ABCD678 to zero-jedynkowa definicja operatora chaosu, matematycznego śmiecia bez żadnej gwarancji matematycznej.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Dla naszej tabeli ABCD345 opisanej spójnikami „i”(*) mamy:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd
Y=p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(~q+q)
;q+~q=1
;p*1 =p
Y = p+~p =1
cnd

1.5 Operatory implikacji prostej i odwrotnej

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami

Definicja implikacji prostej jest jednocześnie prawem Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Interpretacja:
Implikacja prosta w logice dodatniej (bo q):
p=>q = ~p~>~q
jest tożsama z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna = warunek wystarczający =>
Zdanie a w zbiorach:
P=>4L = P*4L = P =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji
P=>4L = ~P~>~4L
… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne, co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
~P~>~4L = P=>4L

Bezpośrednio ze zdania A wynika fałszywość zdania B:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = 0 - twardy fałsz, wynikły ze zdania A
Zdanie B w zbiorach:
P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Bezpośrednio ze zdania C wynika prawdziwość zdania D:
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną (słoń..) co wymusza w wyniku 0 (zbiór niepusty)
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L):
A: P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~4L):
C: ~P~>~4L
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0
[linki]
Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L).
Tabela ABCD789 to zero-jedynkowa definicja operatora implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~4L)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Nasz przykład w zapisie formalnym:
p=>q = ~p~>~q

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Tworzymy równanie algebry Kubusia dla wynikowych jedynek w tabeli ABCD456:
Przejdźmy na zapis formalny:
Y = P=>4L
p =P
q = 4L
Na mocy tabeli symbolicznej ABCD123 w spójnikach „i”(*) zapisujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Y = P*4L + ~P*~4L + ~P*4L
to samo w zapisie formalnym:
Y = p*q + ~p*~q +~p*q
Minimalizujemy:
Y=p*q + ~p*(~q+q)
;~q+q=1
;~p*1 = ~p
Y = (p*q) + ~p
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*p
~Y = ~p*p + p*~q
;~p*p =0
;0+x =x
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+q

Stąd równanie opisujące tabelę ABCD456:
Y = P=>4L = ~P+4L
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~P=1 lub 4L=1
Stąd na mocy definicji spójnika „lub”(+) zdania prawdziwe w tabeli ABCD456 to:
Y=1 <=> ~P=1 i 4L=1
Y=1 <=> ~P=0 i 4L=1
Y=1 <=> ~P=1 i 4L=0
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Na mocy prawa Prosiaczka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (do teorii zbiorów):
D: Y=1 <=> ~P=1 i 4L=1
A: Y=1 <=> P=1 i 4L=1
C: Y=1 <=> ~P=1 i ~4L=1
Dopiero w tym momencie możemy zlokalizować linie w tabeli ABCD456, oczywiście sa to linie z jedynkami w wyniku.
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) w zbiorach mamy następujące zdania prawdziwe:
A.
Istnieje zwierzę które jest psem (P=1) i ma cztery łapy (4L=1)
Y = P*4L =1 bo pies
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> P=1 i 4L=1
lub
C.
Istnieje zwierzę które nie jest psem (~P=1) i nie ma czterech łap (~4L=1)
Y = ~P*~4L =1 bo kura
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~P=1 i ~4L=1
lub
D.
Istnieje zwierzę które nie jest psem (~P=1) i ma czterech łap (4L=1)
Y = ~P*4L =1 bo słoń
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~P=1 i 4L=1

Zauważmy, że analizując zdanie P=>4L w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dostajemy prawidłową odpowiedź które zdania wchodzące w skład operatora implikacji prostej są prawdziwe.
Definicja implikacji prostej:
P=>4L =~P~>~4L = ~P+4L
Nie ma tu jednak śladu istoty implikacji, gwarancji matematycznej (warunek wystarczający =>) po stronie wynikowych jedynek. Wszystkie jedynki są tu tak samo ważne, wystarczy znaleźć po jednym zwierzęciu wchodzącym w skład zdań A, C i D i koniec dowodu prawdziwości tych zdań!
Nie jest to zatem dobra analiza implikacji prostej, mimo że matematycznie poprawna.
Oczywiście jeśli będziemy analizować implikację spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to jedna z implikacji, prosta lub odwrotna, jest matematycznie zbędna, co za chwilę udowodnimy.

Z tabeli ABCD123 odczytujemy jedyna zdanie fałszywe w implikacji prostej:
Nie istnieje zwierzę (Y=0) które jest psem (P=1) i nie ma czterech łap (~4L=1)
B: P*~4L =1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami

Definicja implikacji odwrotnej jest jednocześnie prawem Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Interpretacja:
Implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
jest tożsama z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q = p~>q

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
Zdanie A w zbiorach:
4L~>P = 4L*P = P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P) o definicji
4L~>P = ~4L=>~P
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna = warunek wystarczający =>
Zdanie C w zbiorach:
~4L=>~P = ~4L*~P = 1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór ~4L (kura, wąż..) zawiera się w zbiorze ~P (kura, wąż, słoń..)
Dodatkowo zbiory ~4L i ~P są różne, co wymusza implikację prostą w logice ujemnej (bo ~P) o definicji:
~4L=>~P = 4L~>P

Bezpośrednio ze zdania A wynika prawdziwość zdania B:
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń
Zdanie B w zbiorach:
4L~~>~P = 4L*~P =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną (słoń..) co wymusza w wyniku 0 (zbiór niepusty)
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.

Bezpośrednio ze zdania C wynika zdanie D:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P =0 - twardy fałsz, wynikły ze zdania C
zdanie D w zbiorach:
~4L~~>P = ~4L*P =1*1=0
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
A: 4L~>P
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~P):
C: ~4L=>~P
~4L=1, 4L=0
~P=1, P=0
[linki]
Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P).
Tabela ABCD789 to zero-jedynkowa definicja operatora implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~P)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Nasz przykład w zapisie formalnym:
p~>q = ~p=>~q

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Tworzymy równanie algebry Kubusia dla wynikowych jedynek w tabeli ABCD456:
Przejdźmy na zapis formalny:
Y = 4L~>P
p =4L
q = P
Na mocy tabeli symbolicznej ABCD123 w spójnikach „i”(*) zapisujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Y = 4L*P + 4L*~P + ~4L*~P
to samo w zapisie formalnym:
Y = p*q + p*~q +~p*~q
Minimalizujemy:
Y= p*q + ~q*(p+~p)
;p+~p=1
;~q*1 = ~q
Y = (p*q) +~q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*q
~Y = ~p*q + q*~q
;q*~q=0
;x+0 = x
~Y = ~p*q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+~q

Stąd równanie opisujące tabelę ABCD456:
Y = 4L~>P = 4L + ~P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> 4L=1 lub ~P=1
Stąd na mocy definicji spójnika „lub”(+) zdania prawdziwe w tabeli ABCD456 to:
Y=1 <=> 4L=1 i ~P=1
Y=1 <=> 4L=1 i ~P=0
Y=1 <=> 4L=0 i ~P=1
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Na mocy prawa Prosiaczka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (do teorii zbiorów):
B: Y=1 <=> 4L=1 i ~P=1
A: Y=1 <=> 4L=1 i P=1
C: Y=1 <=> ~4L=1 i ~P=1
Dopiero w tym momencie możemy zlokalizować linie w tabeli ABCD456, oczywiście są to linie z jedynkami w wyniku.
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) w zbiorach mamy następujące zdania prawdziwe:
A.
Istnieje zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i jest psem (P=1)
Y = 4L*P =1 bo pies
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> 4L=1 i P=1
lub
B.
Istnieje zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i nie jest psem (~P=1)
Y = 4L*~P =1 bo słoń
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> 4L=1 i ~P=1
C.
Istnieje zwierzę które nie ma czterech łap (~4L=1) i nie jest psem (~P=1)
Y = ~4L*~P =1 bo kura

Zauważmy, że analizując zdanie 4L~>P w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dostajemy prawidłową odpowiedź które zdania wchodzące w skład operatora implikacji odwrotnej są prawdziwe.
Definicja implikacji odwrotnej:
4L~>P = ~4L=>~P = 4L+~P
Nie ma tu jednak śladu istoty implikacji, gwarancji matematycznej (warunek wystarczający =>) po stronie wynikowych jedynek. Wszystkie jedynki są tu tak samo ważne, wystarczy znaleźć po jednym zwierzęciu wchodzącym w skład zdań A, C i D i koniec dowodu prawdziwości tych zdań!
Nie jest to zatem dobra analiza implikacji prostej, mimo że matematycznie poprawna.

Z tabeli ABCD123 odczytujemy jedyna zdanie fałszywe w implikacji prostej:
Nie istnieje zwierzę (Y=0) które nie ma czterech łap (~4L=1) i jest psem (P=1)
B: ~4L*P =1*1 =0
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Zauważmy, że jeśli będziemy analizować implikację spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to jedna z implikacji jest matematycznie zbędna!
Definicja implikacji prostej:
P=>4L = ~P~>~4L = ~P+4L
Definicja implikacji odwrotnej:
4L~>P = ~4L=>~P = 4L+~P = ~P+4L
Tożsamość prawych stron jest dowodem zbędności jednej z implikacji (dowolnej!) gdy będziemy opisywać ją spójnikami „i”(*) i „lub”(+).

Zauważmy, że w obu implikacjach, prostej i odwrotnej, zdania prawdziwe je opisujące są identyczne, bo operacje „lub”(+) i „i”(*) na zbiorach są przemienne. Definicje implikacji wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+), nie mówią nic o wzajemnym zawieraniu się zbiorów - istocie implikacji.

Zauważmy, że spójnik „i”(*) w zbiorach to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x) ~~> q(x)
Istnieje takie x że jeśli zajdzie p(x)=1 to może ~~> zajść q(x)=1
Wystarczy znaleźć jedno x i koniec dowodu.

Natomiast warunek wystarczający => (spójnik „na pewno”=>) w zbiorach to nic innego jak kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x)=1 to na pewno => zajdzie q(x)=1

Równanie ogólne dla operatorów implikacji:

Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tożsamości „=” musimy mieć identyczne p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

1.6 Operator równoważności

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
Stąd mamy:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Stąd otrzymujemy:
p<=>q = ~p<=>~q

Równanie ogólne dla operatora równoważności:
[p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)] = [~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)]
Tożsamość „=” między nawiasami kwadratowymi oznacza, że wystarczy dowieść prawdziwość dowolnej strony aby automatycznie dowieść drugą stronę.

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
Stąd mamy najpopularniejszą definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Przykład:
Równoważność w logice dodatniej (bo SK):
R1.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Równoważność w logice ujemnej (bo ~SK)
R2.
Trójkąt nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi suma kwadratów
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
Matematyczna tożsamość:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
oznacza, że dowód dowolnej strony tożsamości jest automatycznie dowodem drugiej strony.

Udowodnimy równoważność R1.
R1.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Dowodzimy warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo SK):
A: TP=>SK
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna = warunek wystarczający =>
Zdanie A w zbiorach:
TP=>SK = TP*SK = TP =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP zawiera się w zbiorze SK
Dodatkowo zbiory TP=SK są tożsame co wymusza definicję równoważności w logice dodatniej (bo SK):
R1: TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

… a jeśli trójkąt nie jest prostokątny?
Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK.
Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza równoważność w logice ujemnej (bo ~SK):
R2: ~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
Dowodzimy warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~SK):
C: ~TP=>~SK
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna = warunek wystarczający =>
Zdanie C w zbiorach:
~TP=>~SK = ~TP*~SK = ~TP =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór ~TP zawiera się w zbiorze ~SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów ~TP=~SK.

Bezpośrednio ze zdania A wynika twardy fałsz w zdaniu B:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK =0 - twardy fałsz, wynikły bezpośrednio ze zdania A
Zdanie B w zbiorach:
TP~~>~SK = TP*~SK = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (TP=1 i ~SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Bezpośrednio ze zdania C wynika twardy fałsz w zdaniu D:
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK = 1 - twardy fałsz, wynikły bezpośrednio ze zdania C
Zdanie D w zbiorach:
~TP~~>SK = ~TP*SK = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (~TP=1 i SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem R1 otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice dodatniej (bo SK):
R1: TP<=>SK
TP=1, ~TP=0
SK=1, ~SK=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem R2 otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~SK):
R2: ~TP<=>~SK
~TP=1, TP=0
~SK=1, SK=0
[linki]
Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora równoważności w logice dodatniej (bo SK).
Tabela ABCD789 to zero-jedynkowa definicja operatora równoważności w logice ujemnej (bo ~SK)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Nasz przykład w zapisie formalnym:
p<=>q = ~p<=>~q

1.7 Operator implikacji prostej wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L =P =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L.
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza implikację prostą o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L

Definicja implikacji prostej wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) wyprowadzona wyżej:
Y = P=>4L = ~P~>~4L = ~P+4L
Stąd mamy funkcję logiczną w spójnikach „i”(*) i „lub”(*):
Y = ~P+4L
Przejdźmy na zapis formalny podstawiając:
p=P
q=4L
Y = ~p+q

Zbudujmy tabelę zero-jedynkową dla równania:
Y = ~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
W: Y=~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
stąd otrzymujemy:
A: Ya=1 <=> ~p=1 i q=1
B: Yb=1 <=> ~p=1 i q=0
C: Yc=1 <=> ~p=0 i q=1
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Na mocy prawa Prosiaczka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (do teorii zbiorów):
A: Ya=1 <=> ~p=1 i q=1
B: Yb=1 <=> ~p=1 i ~q=1
C: Yc=1 <=> p=1 i q=1
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) w zbiorach otrzymujemy:
A: Ya=~p*q
B: Yb=~p*~q
C: Yc=p*q

… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U: ~Y=p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
D: ~Yd =p*~q

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=~p+q
Y=1, ~Y=0
~p=1, p=0
q=1, ~q=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem U otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=p*~q
~Y=1, Y=0
p=1, ~p=0
~q=1, q=0
[linki]
Dla punktu odniesienia Y=~p+q otrzymujemy definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y) w obszarze ABCD456.
Dla punktu odniesienia ~Y=p*~q otrzymujemy definicję operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y) w obszarze ABCD789.
Doskonale widać, że tabele zero-jedynkowe nie maja nic wspólnego z operatorem implikacji, to po prostu definicje maszynowe operatorów OR i AND.
Zauważmy, że dopiero w tym przypadku zachodzi przemienność w operatorach OR i AND na poziomie maszynowym (zero-jedynkowym). matematycznie wszystko zatem się tu idealnie zgadza.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Dowód:
Dla tabeli ABCD456 mamy:
Y=~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>~p=1 lub q=1
Z analizy symbolicznej mamy matematyczny opis obszaru ABC456 z jedynkami w wyniku:
Y=~p+q
Y = Ya+Yb+Yc = ~p*q + ~p*~q + p*q
Y = ~p*q + ~p*~q + p*q
Minimalizujemy:
Y = ~p*(q+~q) + p*q
;q+~q=1
;~p*1=~p
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
;p*~p=0
;0+x =x
~Y=p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y=~p+q - to jest nagłówek tabeli ABCD456
cnd
stąd otrzymujemy:
Y = ~p+q = ~p*q + ~p*~q + p*q

Na mocy twierdzenia sfinii dla tabeli ABCD456 zapisujemy:
Y = ~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Na mocy twierdzenia śfinii dla tabeli ABCD789 znaczenie nagłówka tabeli jest natychmiastowe:
~Y=p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Formalnie rzecz biorąc funkcja logiczna:
W: Y=~P+4L
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~P=1 lub 4L=1
nie ma nic wspólnego z operatorem implikacji prostej.

To jest po prostu operator OR co widać w tabeli ABCD456.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=P*~4L
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> P=1 i ~4L =1
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy gwarancję matematyczną wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = ~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap

Zauważmy że punktem odniesienia jest tu zdanie:
Y = ~P+4L
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~P=1 lub 4L=1
Stąd otrzymujemy:
Y = ~P+4L = ~(P*~4L)
Dla prawidłowego wartościowania musimy prawą stronę sprowadzić do sygnałów odniesienia ~P i 4L korzystając z prawa podwójnego przeczenia.
Stąd otrzymujemy:
Y = ~P+4L = ~[~(~p) * ~(4L)]
Dopiero teraz możemy prawidłowo wartościować całe równanie:
Punkt odniesienia:
Y = ~P+4L
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~P=1 lub 4L=1
stąd mamy trzy przypadki dla których nasze równanie jest prawdziwe:
A.
~P=1, 4L=1
Y = ~P+4L = ~[~(~p) * ~(4L)] = 1+1 = ~[~(1)*~(1)] = ~[0*0] = ~[0] =1
B.
~P=1, 4L=0
Y = ~P+4L = ~[~(~p) * ~(4L)] = 1+0 = ~[~(1)*~(0)] = ~[0*1] = ~[0] =1
C.
~P=0, 4L=1
Y = ~P+4L = ~[~(~p) * ~(4L)] = 0+1 = ~[~(0)*~(1)] = ~[1*0] = ~[0] =1
cnd

Zauważmy, że gwarancja matematyczna w implikacji wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(*) jest czasami używana.

Przykład:
Tata:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1

Synek lat 5:
Tata, a czy może się zdarzyć że zwierzą jest psem i nie ma czterech łap?

Tata:
P=>4L = ~P+4L = ~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć ~(..), że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
Y = ~(P*~4L)
Poprawne wartościowanie dla tego zdania wyżej.

1.8 Operator implikacji odwrotnej wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
Zdanie A w zbiorach:
4L~>P = 4L*P = P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P) o definicji
4L~>P = ~4L=>~P
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna = warunek wystarczający =>
Zdanie C w zbiorach:
~4L=>~P = ~4L*~P = 1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór ~4L (kura, wąż..) zawiera się w zbiorze ~P (kura, wąż, słoń..)
Dodatkowo zbiory ~4L i ~P są różne, co wymusza implikację prostą w logice ujemnej (bo ~P) o definicji:
~4L=>~P = 4L~>P

Definicja implikacji odwrotnej wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) wyprowadzona wyżej:
Y = 4L~>P = ~4L=>~P = 4L+~P
Stąd mamy funkcję logiczną w spójnikach „i”(*) i „lub”(*):
Y = 4L+~P
Przejdźmy na zapis formalny podstawiając:
p=4L
q=P
Y = p+~q

Zbudujmy tabelę zero-jedynkową dla równania:
W: Y = p+~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
W: Y=p+~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
stąd otrzymujemy:
A: Ya=1 <=> p=1 i ~q=1
B: Yb=1 <=> p=1 i ~q=0
C: Yc=1 <=> p=0 i ~q=1
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Na mocy prawa Prosiaczka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (do teorii zbiorów):
A: Ya=1 <=> p=1 i ~q=1
B: Yb=1 <=> p=1 i q=1
C: Yc=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) w zbiorach otrzymujemy:
A: Ya=p*~q
B: Yb=p*q
C: Yc=~p*~q

… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U: ~Y=~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
D: ~Yd =~p*q

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p+~q
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
~q=1, q=0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem U otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p*q
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
q=1, ~q=0
[linki]
Dla punktu odniesienia Y=p+~q otrzymujemy definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y) w obszarze ABCD456.
Dla punktu odniesienia ~Y=~p*q otrzymujemy definicję operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y) w obszarze ABCD789.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Dowód:
Dla tabeli ABCD456 mamy:
Y=p+~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Z analizy symbolicznej mamy matematyczny opis obszaru ABC456 z jedynkami w wyniku:
Y=p+~q
Y = Ya+Yb+Yc = p*~q + p*q + ~p*~q
Y = p*~q + p*q + ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(~q+q) + ~p*~q
;~q+q=1
;p*1=p
Y = p+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q
;~p*p=0
;0+x =x
~Y=~p*q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y=p+~q - to jest nagłówek tabeli ABCD456
cnd
stąd otrzymujemy:
Y = p+~q = p*~q + p*q + ~p*~q

Na mocy twierdzenie sfinii dla tabeli ABCD456 zapisujemy:
Y = p+~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

Na mocy twierdzenia śfinii dla tabeli ABCD789 znaczenie nagłówka tabeli jest natychmiastowe:
~Y=~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1

Formalnie rzecz biorąc funkcja logiczna:
W: Y=4L + ~P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> 4L=1 +~P=1
nie ma nic wspólnego z operatorem implikacji prostej.

To jest po prostu operator OR co widać w tabeli ABCD456.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=~4L*P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~4L =1 i P=1
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy gwarancję matematyczną wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = ~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem

Zauważmy że punktem odniesienia jest tu zdanie:
Y = 4L +~P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> 4L=1 lub ~P=1
Stąd otrzymujemy:
Y = 4L + ~P = ~(~4L*P)
Dla prawidłowego wartościowania musimy prawą stronę sprowadzić do sygnałów odniesienia 4L i ~P korzystając z prawa podwójnego przeczenia.
Stąd otrzymujemy:
Y = 4L+~P = ~[~(4L)*~(~P)]
Dopiero teraz możemy prawidłowo wartościować całe równanie:
Punkt odniesienia:
Y = 4L +~P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> 4L=1 lub ~P=1
stąd mamy trzy przypadki dla których nasze równanie jest prawdziwe:
A.
4L=1, ~P=1
Y = 4L + ~P = ~[~(4L) * ~(~P)] = 1+1 = ~[~(1)*~(1)] = ~[0*0] = ~[0] =1
B.
4L=1, ~P=0
Y = 4L + ~P = ~[~(4L) * ~(~P)] = 1+0 = ~[~(1)*~(0)] = ~[0*1] = ~[0] =1
C.
4L=0, ~P=1
Y = 4L + ~P = ~[~(4L) * ~(~P)] = 0+1 = ~[~(0)*~(1)] = ~[1*0] = ~[0] =1
cnd

Zauważmy, że gwarancja matematyczna w implikacji wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(*) jest czasami używana.

Przykład rodem z przedszkola:
Tata:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1

Synek lat 5:
Tata, a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Tata:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1

Tata, a czy może się zdarzyć że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem?

Tata:
~4L=>~P = ~(~4L)+~P = 4L+~P = ~(~4L*P) - prawo De Morgana
Synku:
Nie może się zdarzyć ~(..), że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
Y = ~(~4L*P)
Poprawne wartościowanie dla tego zdania wyżej. dnia Czw 7:57, 07 Lis 2013, w całości zmieniany 24 razy

---

2.0 Nowa teoria zbiorów

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

Nowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach. Każdy aksjomat powinien być intuicyjnie prawdziwy, im dla szerszego kręgu ludzkości, tym lepiej.

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.

2.1 Aksjomatyka algebry Kubusia w zbiorach

Aksjomatyka algebry Kubusia w zbiorach.

Logika dodatnia i ujemna w operatorach jednoargumentowych oraz OR i AND:
Y=p+q - logika dodatnia gdy funkcja logiczna Y nie jest zanegowana
~Y =~p*~q - logika ujemna gdy funkcja logiczna Y jest zanegowana

Operatory jednoargumentowe

Dowolny zbiór jednoelementowy musi mieć swoje dopełnienie do dziedziny, inaczej nie jest rozpoznawalny (w naszym wszechświecie).
p=[1,2]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4]
Dopełnienie do dziedziny:
~p=[3,4]

Operator transmisji:
Y = p
~Y=~p
Matematycznie zachodzi:
Y=p # ~Y=~p
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y=p <=> ~Y=~p
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Y=[1,2]
~(~Y)=~[3,4]= [1,2] =Y

Operator negacji:
Y=~p
~Y=p
Matematycznie zachodzi:
Y=p # ~Y=~p
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y=~p <=> ~Y=p
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Y=[3,4]
~(~Y)=~[1,2]= [3,4] =Y

Operatory dwuargumentowe

Operatory OR i AND:

OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p+q # ~Y=~p*~q = ~(p+q)
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y = p+q <=> ~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Definicja operatora OR n-argumentowego:
Wszystkie zbiory muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.

AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p*q # ~Y=~p+~q = ~(p*q)
Zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, stąd:
Y = p*q <=> ~Y=~p+~q = ~(p*q)
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Definicja operatora AND n-argumentowego:
Wszystkie zbiory muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.

Operatory implikacji i równoważności:

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji i równoważności:
p=>q = ~p~>~q - definicje implikacji prostej w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q - definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = ~p<=>~q - równoważność w logice dodatniej gdy q

Operator chaosu
p~~>q
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Implikacja prosta:
p=>q =~p~>~q
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p#q
Przykład:
p=[1,2], q=[1,2,3,4,5,6]

Implikacja odwrotna:
p~>q =~p=>~q
p~>q
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p#q
Przykład:
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2]

Równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q i być tożsamy ze zbiorem q
p=q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,3,4]

XOR
Y = p*~q + ~p*q
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
p=[1,2], q=[3,4]

2.2 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów

Definicja uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Uniwersum to najszersza dziedzina w której człowiek może się poruszać.

Definicja zbioru:
Zbiór to dowolnie wybrany zbiór, uniwersum lub podzbiór uniwersum.

Człowiek może tworzyć dowolne podzbiory uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Przy tej definicji uniwersum można uznać za zbiór wszystkich zbiorów. Oczywiście uniwersum jest dynamiczne, żaden człowiek nie jest w stanie wyjść poza uniwersum. W praktyce rzadko odwołujemy się do uniwersum ale to pojecie jest dla logiki bezcenne.

W logice można ustawić punkt odniesienia na dowolnym zbiorze.
Taki zbiór nosi nazwę dziedziny.

Definicja dziedziny:
Dziedzina to zbiór główny w obrębie którego działamy, poza ramy którego nie wychodzimy

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1

Zbiór pusty nie zawiera żadnych elementów:
p=[] =0 - zbiór pusty

Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne

Definicja zdania złożonego warunkowego:
Jeśli p to q
p - poprzednik (założenie)
q - następnik (teza)

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Poprzednik precyzyjnie wyznacza tu dziedzinę:
D = zbiór wszystkich zwierząt

… a interesujące nas podzbiory to:
Poprzednik:
P - zbiór jednoelementowy pies [P] =1
~P - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa [ZWZ-P] =1
Następnik:
4L - zbiór zwierząt z czteroma łapami [4L]=1
~4L - zbiór zwierząt nie mających czterech łap [ZWZ-4L]=1

Oczywiście w obrębie zwierząt z czterema łapami można tworzyć kolejny podzbiór np.
- zwierzęta dzikie
- zwierzęta domowe
… albo zwierzęta szczekające, miauczące, beczące itp.

2.3 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] =0 - zbiór pusty

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
~0=1
~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być uniwersum

Definicja uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Podsumowanie:
Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.

Twierdzenie Pitagorasa:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
Twierdzenie Pitagorasa w zbiorach:
TP=>SK = TP*SK = TP =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP zawiera się w zbiorze SK.
W poprzedniku mamy tu precyzyjnie zdefiniowaną dziedzinę:
Dziedzina = zbiór wszystkich trójkątów
… i nie ma tu najmniejszego sensu rozpatrywanie jakichkolwiek innych wielokątów, że o takich pojęciach z uniwersum jak pies czy galaktyka nie wspomnę.

Twierdzenie Pitagorasa w wersji najszerszej mogłoby brzmieć:
A.
Jeśli coś jest trójkątem prostokątnym to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
W tym przypadku możemy przyjąć:
Dziedzina = uniwersum
To bez żadnego znaczenia poza tym że napracujemy się jak bury osioł. Zauważmy bowiem iż jeśli to „coś” nie jest trójkątem (jest np. galaktyką), to w poprzedniku będziemy mieli zbiór pusty.
A1.
Jeśli galaktyka jest trójkątem prostokątnym to na pewno => zachodzi suma kwadratów
[galaktyka]*TP=>SK = ([galaktyka]*TP)*SK = 0*SK =0
Zbiory [galaktyka] i [zbiór trójkątów prostokątnych] to zbiory rozłączne, zatem ich koniunkcja jest zbiorem pustym.
Zdanie fałszywe bo galaktyka nie jest trójkątem prostokątnym (w poprzedniku mamy zbiór pusty).
Koniec końców i tak nam wyjdzie że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe wyłącznie dla trójkątów prostokątnych.

Na gruncie algebry Kubusia fałszywe są także takie zdania:
A2.
Jeśli trójkąt prostokątny nie jest trójkątem prostokątnym to zachodzi suma kwadratów
(TP*~TP) =>SK = 0*SK =0
Poprzednik jest tu zbiorem pustym co wymusza fałszywość całego zdania.
Prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
0*x =0

2.4 Zbiory jednoelementowe

Zbiory jednoelementowe to zbiory mające unikalną definicję i nazwę w obszarze uniwersum, dzięki której są wyróżnione.
Jeśli wiemy co to jest zbiór p to automatycznie potrafimy zdefiniować zbiór ~p

Przykład:
P - zbiór psów
W najszerszej możliwej definicji nasz zbiór ~P to:
~P - wszelkie możliwe pojęcia (uniwersum) z wykluczeniem psa
~P = [uniwersum-P] =1 - zbiór niepusty
Dziedzina:
D = uniwersum

Taka definicja ~P, choć matematycznie poprawna, jest w praktyce mało sensowna.
W przypadku psa naturalną dziedziną jest:
D = ZWZ
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy:
~P to zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~P = [ZWZ-P] =1 - zbiór niepusty

Zauważmy, że jest fizycznie niemożliwe, abyśmy znając dowolne pojęcie p wyróżnione w obszarze uniwersum nie potrafili określić zbioru ~p.

Przykład pojęcia niezdefiniowanego:
blabla - abstrakcyjne pojęcie niezdefiniowane.
Nie wiemy co to jest babla, tym samym nie znamy jego zaprzeczenia. To pojęcie jest śmieciem dopóty, dopóki go nie zdefiniujemy.

2.5 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego

Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego poznamy na przykładzie konkretnego zbioru.

Rozważmy zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]

Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Dowód na naszym przykładzie:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]
L=P

Definicja dziedziny (fundament algebry Kubusia):
1. p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
2. p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
1. p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
2. p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)

3. p+0 =1
4. p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
3. p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
0 -element neutralny dla sumy logicznej
4. p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)

4. p*1=p
5. p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
5. p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
6. p*0 = [1,2]*[] = [] =0 (zbiór pusty)

Prawa maszynowe rachunku zero-jedynkowego w zbiorach.
Suma logiczna zbiorów:
7.
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
7.
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)

Iloczyn logiczny zbiorów:
8.
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
8.
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty)

9. 1=~0
10. 0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
9.
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] =1 = [1,2,3,4] - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
10.
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty

11. p+p =p
12. p*p=p
Dowód na naszym przykładzie:
11. p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)
12. p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)

3.0 Operatory jednoargumentowe

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, ~r

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna Y jednej zmiennej binarnej

Możliwe są dwa użyteczne operatory jednoargumentowe:
Y=p - operator transmisji
Y=~p - operator negacji
Zwyczajowo w logice funkcję logiczną oznaczamy dużą literą Y.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana:
Y=p - logika dodatnia bo Y
~Y=~p - logika ujemna bo ~Y

3.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego

Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę w której pracuje dwóch krasnoludków, Transmiterek i Negatorek.
Na przedniej ściance skrzynki zamontowany jest najzwyklejszy wyłącznik światła sterujący lampką człowieka typu zaświeć/zgaś. Po przeciwnej stronie skrzynki znajduje się lampka sterowana wyłącznie przez krasnoludka pracującego w środku skrzynki.

Po stronie człowieka dostępne są jeszcze dwa tajemnicze przyciski z opisem:
A - zezwalaj na pracę Transmiterka
A=1 - zezwalaj
A=0 - zabroń
B - zezwalaj na pracę Negatorka
B=1 - zezwalaj
B=0 - zabroń

Ustawmy na początek krasnoludkowe przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
1.
Jak widzimy lampką człowieka możemy sterować zaświecając ją i gasząc przełącznikiem, jednak lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona.
2.
Pozwólmy na pracę wyłącznie Transmiterka ustawiając przełączniki:
A=1 i B=0
Jak widzimy, jeśli zaświecimy lampkę człowieka to automatycznie zapali się lampka krasnoludka, jeśli ją zgasimy to lampka krasnoludka również zgaśnie.
3.
Ustawmy teraz przełączniki w pozycję:
A=0 i B=1
pozwalając pracować wyłącznie Negatorkowi
Tym razem każde zaświecenie lampki człowieka skutkuje wygaszeniem lampki krasnoludka i odwrotnie.
4.
Ostatnia możliwość to zezwolenie na jednoczesną pracę obu krasnoludków poprzez ustawienie przełączników w pozycję:
A=1 i B=1
Ajajaj!
Jak widzimy możemy bez problemów zapalać i gasić lampkę człowieka jednak żarówka krasnoludka ledwie się pali, na dodatek z pudła wydobywa się czarny dym co jest dowodem walki na śmierć i życie między Tansmiterkiem a Negatorkiem. Jeden za wszelką cenę chce zaświecić lampkę, a drugi za wszelką cenę ją zgasić.
Ustawmy szybko przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
Nie możemy przecież dopuścić do zagłady krasnoludków, bo co powiedzą nasze dzieci?

W naszym abstrakcyjnym modelu wejściową zmienną binarną p jest lampka człowieka.
Wyjściem w tym modelu jest lampka krasnoludka którą oznaczamy Y.

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Definicja operatora transmisji:
Y=p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka też się świeci (Y=1)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to również lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)

Stąd mamy zero-jedynkową definicje operatora transmisji:
Y=p
[linki]
Stąd mamy definicję zgodną z teorią zbiorów:
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1

Definicja operatora negacji:
Y=~p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to lampka krasnoludka się świeci (Y=1)

Stąd mamy zero-jedynkową definicję operatora negacji:
Y=~p
[linki]
Stąd mamy definicję zgodną z teorią zbiorów:
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1

… a jeśli nie wiemy który krasnoludek aktualnie pracuje, to czy możemy rozszyfrować który?
Oczywiście że tak.
Na wejściu p wymuszamy wszystkie możliwe stany. Odpowiedź na wyjściu Y jednoznacznie definiuje nam operator. Najważniejsze operatory jednoargumentowe właśnie poznaliśmy.

Definicja operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu.

Nie jest prawdą, że możemy zdefiniować wyłącznie dwa operatory jednoargumentowe jak wyżej.

Dwa kolejne operatory jednoargumentowe to:
1.
Jednoargumentowy operator chaosu o definicji:
[linki]
Jak widzimy, tu lampka krasnoludka pali się cały czas, bez względu na stan wejściowej lampki człowieka p.
2.
Jednoargumentowy operator śmierci:
[linki]
Tu lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona, bez wzglądu na to co też ten człowiek na wejściu p sobie wyprawia.

W logice wyróżniamy:
1.
Operatory jednoargumentowe o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y
2.
Operatory dwuargumentowe o dwóch wejściach p i q i jednym wyjściu Y.
Przy dwóch wejściach p i q możliwe są cztery różne wymuszenia na wejściach p i q.
3.
Operator n-argumentowy o n wejściach i tylko jednym wyjściu Y

Ogólna definicja operatora dwuargumentowego:
[linki]
Jak widzimy przy dwóch wejściach p i q możemy zdefiniować 16 (2^4) różnych stanów na wyjściu Y, czyli 16 różnych na mocy definicji operatorów logicznych.

Najważniejsze operatory dwuargumentowe to:
[linki]
Niebawem je poznamy.

3.2 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0) - prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=0) = (~p=1) - fałsz (=0) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p)

Zauważmy że zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej mamy matematyczną świętość:
1 - prawda
0 - fałsz

Prawa Prosiaczka wyjaśnimy na przykładzie:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K - funkcja zapisana w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1

.. a kiedy skłamię?
Negujemy równanie A dwustronnie:
~Y=~K - funkcja zapisana w logice ujemnej (bo ~Y)
stąd:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1

Tabela prawdy dla naszego zdania w nowej teorii zbiorów:
[linki]
Matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
bo kolumny wynikowe AB6 i AB8 są różne

Znaczenie zer i jedynek w logice dodatniej (Y) w kolumnie AB6:
A6: Y=1<=> K=1 - dotrzymam słowa
B6: Y=0 <=> K=0 - skłamię
Szczegółowo czytamy:
A6: Y=1 - prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y)
B6: Y=0 - fałszem jest (=0), że dotrzymam słowa (Y)

Znaczenie zer i jedynek w logice ujemnej (~Y) w kolumnie AB8:
B8: ~Y=1 <=> ~K=1 - skłamię
A8: ~Y=0 <=> ~K=0 - dotrzymam słowa
Szczegółowo czytamy:
B8: ~Y=1 - prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
A8: ~Y=0 - fałszem jest (=0), że skłamię (~Y)

Stąd zdanie:
A6: Y=1 - prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y)
Jest tożsame ze zdaniem:
A8: ~Y=0 - fałszem jest (=0), że skłamię (~Y)

Podobnie zdanie:
B8: ~Y=1 - prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
Jest tożsame ze zdaniem:
B6: Y=0 - fałszem jest (=0), że dotrzymam słowa (Y)

Prawa Prosiaczka w postaci tożsamości:
I prawo Prosiaczka
A6: (Y=1) = A8: (~Y=0)
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
II prawo Prosiaczka
B8: (~Y=1) = B6: (Y=0)
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo Y)

W dowolnej tożsamości zachodzi wynikanie w dwie strony.
Stąd prawa Prosiaczka to również równoważność:
A6: (Y=1) <=> A8: (~Y=0)
B8: (~Y=1) <=> B6: (Y=0)

Prawa Prosiaczka mówią o matematycznych tożsamościach zachodzących między logiką dodatnią (Y) i ujemną (~Y) i nie mają nic wspólnego z definicją operatora negacji.

Definicja naturalnej logiki człowieka:
Naturalna logika człowieka to funkcja logiczna gdzie wszystkie zmienne wejściowe sprowadzone są do jedynek.

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równań algebry Boole’a, albo odwrotnie.

W linii A za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie:
A: Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>K=1
Obsługiwane zero-jedynkowo w linii A56.

W linii B za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie:
B: ~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~K=1
Obsługiwane zero-jedynkowo w linii B78.

Dlaczego w zdaniu B musimy zmienić punkt odniesienia?
Problem w tym, że jeśli w zdaniu B nie zmienimy punktu odniesienia, uznając zdanie A za świętą krowę do której wszystko musi się odnosić to zlikwidujemy logikę ujemną w algebrze Boole’a i stracimy możliwość opisania zdania B równaniem logicznym.

W tym przypadku tabela prawdy dla zdania A będzie wyglądała tak:
[linki]
Matematycznie zachodzi:
Y=1 # Y=0
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) # Fałszem jest (=0) że dotrzymam słowa (Y)

Zdanie A przyjmie tu brzmienie identyczne jak poprzednio:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K - funkcja zapisana w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
A.
Prawdą będzie (=1) że dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy prawdą będzie (=1), że jutro pójdę do kina

Natomiast leżymy i kwiczymy na banalnym pytaniu 5-cio latka:
… tata, a kiedy skłamię?

Spróbujmy odpowiedzieć na to pytanie zgodnie z aktualną tabelą:
B.
Y=0 <=> K=0
Czytamy:
B.
Fałszem będzie (=0) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy fałszem będzie (=0) że jutro pójdę do kina (K).

Zauważmy, że zdanie A bez problemu opisaliśmy równaniem algebry Boole’a (Y=K), natomiast nie mamy szans na opisanie równaniem zdania B bez skorzystania z prawa Prosiaczka, czyli bez przejścia do logiki ujemnej.

Opis linii B wyżej w postaci równania:
B: Y= K?!
to błąd czysto matematyczny, bowiem zdanie B to zupełnie co innego niż zdanie A i nie może być opisane tym samym równaniem logicznym.

Logika to równania algebry Boole’a a nie tabele zero-jedynkowe. Wszelkie prawa logiczne zapisane są w równaniach algebry Boole’a, nigdy w tabelach zero-jedynkowych.

3.3 Wykresy czasowe w algebrze Kubusia

Prawo Prosiaczka można ładnie przedstawić na wykresie czasowym.

Wyobraźmy sobie trzylatka który poznaje otaczający go świat.
W przedszkolu od pani nauczycielki dostaje worek zawierający najróżniejsze zwierzątka, jego zadaniem jest segregacja zwierząt na „psy” i „nie psy”.
Dzieciak ma dwa pudełka, zielone i brązowe, do zielonego musi wkładać „psy”, natomiast do brązowego „nie psy”.
Z: P - pies
B: ~P - nie pies

Zadanie dla trzylatka można przedstawić na wykresie czasowym, bowiem kolejne losowanie zwierząt odbywa się w czasie. Nie jest możliwa segregacja zwierząt w czasie nieskończenie krótkim.



Kolejne losowania opisane wykresem to:
I.
A.
Logika dodatnia obszar Y:
Wylosowano: Słoń
A: P=0
Fałszem jest (=0), że wylosowano „psa” (P)
B.
Logika ujemna bo obszar ~Y:
Wylosowano: Słoń
B: ~P=1
Prawdą jest (=1) że wylosowano „nie psa” (~P)

Doskonale widać prawo Prosiaczka:
A: (P=0) = B: (~P=1)

II.
A.
Logika dodatnia bo obszar Y:
Wylosowano: Pies
A: P=1
Prawdą jest (=1), że wylosowano „psa” (P)
B.
Logika ujemna bo obszar ~Y:
Wylosowano: Pies
B: ~P=0
Fałszem jest (=0), że wylosowano „nie psa” (~P)

Doskonale widać prawo Prosiaczka:
A: (P=1) = B: (~P=0)

III.
A.
Logika dodatnia obszar Y:
Wylosowano: Kura
A: P=0
Fałszem jest (=0), że wylosowano „psa” (P)
B.
Logika ujemna bo obszar ~Y:
Wylosowano: Kura
B: ~P=1
Prawdą jest (=1) że wylosowano „nie psa” (~P)

Doskonale widać prawo Prosiaczka:
A: (P=0) = B: (~P=1)

Objaśnienia do wykresu czasowego w algebrze Kubusia:
1.
Logika dodatnia (bo Y) to obszar ponad linią czasu
Logika ujemna (bo ~Y) to obszar poniżej linii czasu

2.
Świętość symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia):
1 = prawda
0 = fałsz
zachowana jest zawsze, niezależnie od tego czy mamy do czynienia z logiką dodatnią (bo Y), czy też ujemną (bo ~Y).

3.
Doskonale widać, że zmienna ~P jest lustrzanym odbiciem zmiennej P.
Zauważmy, że lustrzane odbicie nie dotyczy poziomów logicznych 0 i 1 w logice ujemnej.
Dlaczego?
W przypadku lustrzanego odbicia także 0 i 1 dla wylosowanego „psa” mielibyśmy:
IIA.
A.
Logika dodatnia bo obszar Y:
Wylosowano: Pies
A: P=1
Prawdą jest (=1), że wylosowano „psa” (P)
B.
Logika ujemna bo obszar ~Y:
Wylosowano: Pies
B: ~P=1
Prawdą jest (=1), że wylosowano „nie psa” (~P)

Matematyka ścisła, prawo Prosiaczka leży tu w gruzach, mamy sprzeczność czysto matematyczną:
A: (P=1) # B: (~P=1)
Nie można jednocześnie wylosować „psa” (P=1) i „nie psa” (~P=1) - obszar zielony.

4.
Wszelkie tabele zero-jedynkowe algebry Boole’a można przedstawić na wykresach czasowych jak wyżej, bowiem nic w przyrodzie nie dzieje się w czasie nieskończenie krótkim.

Rozpatrzmy teraz konkretne zdanie z naturalnego języka mówionego człowieka.

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Zdanie tożsame:
Dotrzymam słowa (Y=1), wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)

O dotrzymaniu słowa w zdaniu A decyduje wyłącznie jutro, obszar zielony.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (Y=K) to zatrzymujemy czas na czerwonej linii A-A, dalsze nasze działania nie mają żadnego znaczenia, poszliśmy do kina zatem dotrzymaliśmy słowa.

Na czerwonej linii A-A dla zmiennej K mamy tu sytuacje.
A1:
Logika dodatnia (bo Y):
K=1
Prawdą jest (=1), że byłem w kinie (K)

Zdanie tożsame w logice ujemnej (bo ~Y):
A2:
Logika ujemna (bo ~Y):
~K=0
Fałszem jest (=0), że nie byłem w kinie (~K)

Doskonale widać prawo Prosiaczka:
A1: (K=1) = A2: (~K=0)

Jeśli jutro nie pójdę do kina to skłamię.
B1.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~K=1

Tą sytuację widać w białym obszarze pojutrze.
Mamy tu następujące sytuacje dla zmiennej K.
B1:
Logika ujemna (bo ~Y):
~K=1
Prawdą jest (=1), że nie byłem w kinie (~K)

Zdanie tożsame w logice dodatniej (bo Y):
B2:
K=0
Fałszem jest (=0), że byłem w kinie (K)

Doskonale widać prawo Prosiaczka:
B1: (~K=1) = B2: (K=0)

W zdaniu wyżej mamy sytuację gdzie o dotrzymaniu słowa/skłamaniu decyduje pewna chwila w skali nieskończonego czasu - jutro.
Tylko i wyłącznie jutro człowiek może ustawić zmienną K na dowolną wartość logiczną:
K=1 - pójdę do kina
co wymusi:
~K=0 - prawo Prosiaczka się kłania
albo:
~K=1 - nie pójdę do kina
co wymusi:
K=0 - prawo Prosiaczka się kłania
W dniu dzisiejszym nie znamy jaką wartość logiczną przyjmie zmienna K, jutro zmienna K może przyjąć dowolną wartość, dlatego matematycznie K jest zmienną binarną.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjąć w osi czasu dowolną wartość 0 albo 1

Zauważmy, że skalowanie osi czasu jest tu nieistotne.
Jutro może wystąpić chwila czasowa t1 gdzie pójdziemy do kina dotrzymując tym samym słowa. Jeśli chwila czasowa t1 nie zaistnieje to skłamiemy.

Oczywiście pojutrze mamy już świat totalnie zdeterminowany, gdzie możliwe są tylko i wyłącznie dwie możliwości.
A.


A.
Wczoraj byłem w kinie
czyli:
A1.
Dotrzymałem słowa (Y=1) bo wczoraj byłem w kinie
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
A2
Prawdą jest (=1), że dotrzymałem słowa (Y) bowiem (wtw) prawdą jest (=1) że byłem w kinie (K)

W logice ujemnej (bo ~Y) na mocy prawa Prosiaczka ten przypadek opisuje równanie:
~Y=0 <=> ~K=0
Czytamy:
A3.
Fałszem jest (=0) że skłamałem (~Y) bowiem (wtw) fałszem jest (=0) że nie byłem w kinie
Tożsame matematycznie zdania to:
A1=A2=A3

Zauważmy, że w logice ujemnej nie możemy tu zapisać równania:
~Y=~K - to jest błąd czysto matematyczny
bowiem matematycznie znaczy ono:
~Y=1<=>~K=1 - co nie jest zgodne z prawdą

albo:
B.

B.
Wczoraj nie byłem w kinie
czyli:
B1.
Skłamałem (~Y=1) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
B2.
Prawdą jest (=1) że skłamałem (~Y) bowiem (wtw) prawdą jest (=1) że nie byłem w kinie (~K)

W logice dodatniej (bo Y) na mocy prawa Prosiaczka ten przypadek opisuje równanie:
Y=0 <=> K=0
Czytamy:
B3.
Fałszem jest (=0), że dotrzymałem słowa (Y) bowiem (wtw) fałszem jest (=0) że byłem w kinie (K)
Zdania tożsame matematycznie to:
B1=B2=B3

Zauważmy, że w logice dodatniej nie możemy tu zapisać równania:
Y=K - to jest błąd czysto matematyczny
bowiem matematycznie znaczy ono:
Y=1<=>K=1 - co nie jest zgodne z prawdą

Czasu nie można cofnąć, zmienna K (~K) ma tu wartość zdeterminowaną (znaną z góry) której nie możemy już zmienić.
Wniosek:
Pojutrze zmienna K nie jest już zmienną binarną.
… a czym jest?
Pojutrze K jest stałą symboliczną o znanej z góry wartości logicznej.

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to symbol którego wartość logiczna jest niezmienna w czasie i znana z góry.
Nie jesteśmy w stanie zmienić wartości logicznej stałej symbolicznej.

Wniosek:
Oś czasu jest koniecznie potrzebna dla zaistnienia zmiennej binarnej.
Nie istnieje pojęcie zmiennej binarnej bez osi czasu. W czasie nieskończenie krótkim wszystko w naszym Wszechświecie „stoi w miejscu”, zatem nie ma mowy o zmiennych binarnych bez osi czasu.

Dowód wyżej.

Inny przykład stałej symbolicznej:
W trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
Oczywiście w tym przypadku trójkąt prostokątny (TP) w którym zachodzi suma kwadratów jest stałą symboliczną o wartości logicznej 1, niezależną od czasu.
TP=>SK =1 - prawda
gdzie:
=> - na pewno
Nie jesteśmy w stanie znaleźć trójkąta prostokątnego, w którym suma kwadratów nie byłaby spełniona.
TP~~>~SK =0 - fałsz
gdzie:
~~> - może się zdarzyć
Ten przypadek jest niemożliwy.

3.4 Operator transmisji

Definicja operatora transmisji:
A1: Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne (tu ich nie ma):
A2: ~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Stąd mamy definicję operatora transmisji w układzie równań logicznych:
A1: Y=p
A2: ~Y=~p
Tabela zero-jedynkowa operatora transmisji:
[linki]
Dla kodowania definicji symbolicznej Ax12 z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu A1 otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora transmisji w logice dodatniej (bo Y) w obszarze Ax34.
A1: Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
stąd:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0

Dla kodowania definicji symbolicznej Ax12 z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu A2 otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora transmisji w logice ujemnej (bo ~Y) w obszarze Ax56.
A2: ~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
stąd:
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 mamy zdanie tożsame do A1:
A3: Y = p = ~(~p)
Stąd mamy:
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 mamy zdanie tożsame do A2:
A4: ~Y = ~p = ~(p)

Przykład:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Synek (lat 5):
… tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=~K
A2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

Synek:
Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziemy do kina?

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 mamy zdanie tożsame do A1:
Y = K = ~(~K)
Tata:
A3.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K = ~[~(K)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Oczywiście punktem odniesienia jest tu logika dodatnia (bo Y) i sygnał K.
Stąd wartościowanie zdania A3:
Y = 1 = ~[~(1)] = ~[0] = 1

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 otrzymujemy zdanie tożsame do A2:
~Y = ~K = ~(K)
A4.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=~K=~(K)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~K=1
Punktem odniesienia jest tu logika ujemna (bo ~Y) i sygnał ~K.
W zdaniu A4 musimy odtworzyć sygnał odniesienia ~K korzystając z prawa podwójnego przeczenia:
K=~(~K)
Nasze równanie A4 przybiera postać potrzebną do wartościowania dla ~K=1:
A4: ~Y = ~K = ~[~(~K)] = 1 = ~[~(1)] = ~[0] =1

3.5 Operator negacji

Definicja operatora negacji:
B1: Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne (tu ich nie ma):
B2: ~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Stąd mamy definicję operatora negacji w układzie równań logicznych:
B1: Y=~p
B2: ~Y=p
Tabela zero-jedynkowa operatora negacji:
[linki]
Dla kodowania definicji symbolicznej Bx12 z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu B1 otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora negacji w logice dodatniej (bo Y) w obszarze Bx34.
B1: Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>~p=1
stąd:
Y=1, ~Y=0
~p=1, p=0

Dla kodowania definicji symbolicznej Bx12 z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu B2 otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora negacji w logice ujemnej (bo ~Y) w obszarze Bx56.
B2: ~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1
stąd:
~Y=1, Y=0
p=1, ~p=0

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 mamy zdanie tożsame do B1:
B3: Y = ~p = ~(p)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 mamy zdanie tożsame do B2:
B4: ~Y = p = ~(~p)
Stąd mamy:
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)

Przykład:
B1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

Synek (lat 5):
… tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=K
B2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

Synek:
Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziemy do kina?

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 mamy zdanie tożsame do B1:
Y = ~K = ~(K)
Tata:
B3.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro pójdziemy do kina (K)
Y = ~K = ~(K)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Punktem odniesienia jest tu logika dodatnia (bo Y) i sygnał ~K.
W zdaniu B3 musimy odtworzyć sygnał odniesienia ~K korzystając z prawa podwójnego przeczenia:
K=~(~K)
Nasze równanie B3 przybiera postać potrzebną do wartościowania dla ~K=1:
B3: Y = ~K = ~[~(~K)] = 1 = ~[~(1)] = ~[0] =1

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 otrzymujemy zdanie tożsame do B2:
~Y = K = ~(~K)
B4.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y= K=~(~K)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Oczywiście punktem odniesienia jest tu logika ujemna (bo ~Y) i sygnał K.
Stąd wartościowanie zdania B4 dla sygnału odniesienia K=1:
~Y = K = ~(~K) = 1 = ~[~(1)] = ~[0] = 1

3.6 Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji

Równanie ogólne logiczne dla operatorów transmisji i negacji:
[linki]
W operatorze transmisji zachodzą następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 mamy zdanie tożsame do A1:
A3: Y = p = ~(~p)
Stąd mamy:
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 mamy zdanie tożsame do A2:
A4: ~Y = ~p = ~(p)

W operatorze negatora zachodzą następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 mamy zdanie tożsame do B1:
B3: Y = ~p = ~(p)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 mamy zdanie tożsame do B2:
B4: ~Y = p = ~(~p)
stąd mamy:
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zauważmy, że miedzy operatorem transmisji a operatorem negacji nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej między dowolnymi dwoma punktami.
Dowód:
W powyższej tabeli prawo przejścia do logiki przeciwnej może zachodzić wyłącznie po przekątnej A1-B2:
A1: Y=p
B2: ~Y=p
albo po przekątnej B1-A2:
B1: Y=~p
A2: ~Y=~p
Doskonale widać, że w obu przypadkach nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Wniosek:
Operator transmisji i operator negacji to dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Sygnały Y i p z operatora transmisji nie mają nic wspólnego z sygnałami Y i p z operatora negacji. Pod parametr p w obu operatorach możemy sobie podstawiać co nam dusza zagra, w szczególności parametr p może być identyczny w obu operatorach, to bez znaczenia.

Identyczne równania ogólne obowiązywać będą w pozostałych symetrycznych operatorach, co za chwilę zobaczymy. dnia Wto 15:43, 05 Lis 2013, w całości zmieniany 4 razy