polsk riksdag
Uff, przeczytałam. 
Czy w czwartej lub piątej ramce od dołu nie ma błędu?
Jak wytłumaczyć kobiecie że wszystko jest w porządku ?
To jedno jedyne zdanie wywołało burzę w małym rozumku Kubusia, dzięki niemu powstał ten podręcznik. Myślę, że nikt z czytelników nie ma ochoty na oglądanie schematu połączeń między 100 mld neuronów w naszym mózgu. Nieporównywalnie ciekawszy jest fundament matematyczny wszelkich jego poczynań.
Mało kto wie, że w naszym mózgu pracują najprawdziwsze krasnoludki: Orandek i Andorek, księżniczka Implikacji Prostej, księżniczka Implikacji Odwrotnej oraz książę Równoważności.
… dowód za chwilę.
Stosowana notacja w podręczniku jest zgodną z techniczną algebrą Boole’a, jednak znaczenie symboli jest tu fundamentalnie inne niż w Klasycznym Rachunku Zdań. Z tego powodu kompletne znaczenie symboli zawarto w punkcie 1.0 Kompendium wiedzy o algebrze Kubusia.
Właściwy podręcznik od zera zaczyna się od punktu 2.0 i jest tak pomyślany, że czytając nie powinniśmy spotkać nowego pojęcia, które wcześniej nie byłoby omówione.
Największy udział w powstaniu algebry Kubusia miały dwa fora dyskusyjne, ŚFINIA Wuja Zbója i Ateista.pl. ŚFINIA to Ojczyzna Kubusia, to Hlefik w którym się urodził i gdzie od 5-ciu lat dokumentuje historię powstawania algebry Kubusia krok po kroku.
1.0 Kompendium algebry Kubusia
Algebra Kubusia to matematyka ścisła, którą doskonale znają i posługują się w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od przedszkolaka po profesora. Kompendium to istota tej algebry, to streszczenie całości do minimum.
1.1 Notacja
Skróty:
AK = Algebra Kubusia
KRZ= Klasyczny Rachunek Zdań
1 = prawda
0 = fałsz
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
Jedno z kluczowych praw algebry Boole’a:
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U
# - różne w znaczeniu jak niżej
Fundament logiki:
1 = prawda
0 = fałsz
1# 0
prawda # fałsz
0 # 1
fałsz # prawda
A – zmienna binarna mogąca przyjmować w osi czasu wartości wyłącznie 0 albo 1
A#~A
Jeśli A=1 to ~A=0
Jeśli ~A=1 to A=0
Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia zdanie to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.
Zdanie musi mieć sens w danym języku.
Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym lub koniecznym albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek, Absolutnie nikt, począwszy od 5-cio latka po profesora nie wymawia zdań „Jeśli…to…” w których p i q są ze sobą bez związku lub mają z góry znane wartości logiczne.
Przykłady zdań prawdziwych:
Implikacja prosta:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda
Deszcz jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur
Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
Cztery łapy są konieczne aby być psem
Definicja warunku koniecznego:
Zabieramy poprzednik i musi zniknąć następnik
Zabieramy wszystkie zwierzęta z czterema łapami , wśród pozostałych zwierząt nie ma prawa być psa
Naturalny spójnik „może” ~~>:
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo kura, wąż, mrówka …
Warunek konieczny tu nie zachodzi bo:
Zabieramy poprzednik i nie znika nam następnik
Zabieramy zwierzęta z czteroma łapami a następnik „nie pies” może wystąpić np. kura, wąż
Przykłady zdań fałszywych:
1.
Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze
PR=>KS=0 bo brak związku między p i q
W algebrze Kubusia wszelkie zdania bezsensowne jak wyżej są fałszywe, w szczególności fałszywe są wszystkie zdania w których poprzednik jest bez związku z następnikiem.
2.
Podręcznik matematyki do I klasy LO
Jeśli pies ma osiem łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
8L=>KK=1 – zdanie prawdziwe w dzisiejszej logice KRZ
W algebrze Kubusia powyższe zdanie jest fałszywe z dwóch powodów:
A. bezsensowne bo brak związku poprzednika z następnikiem
B. wartości logiczne p i q są z góry znane
1.2 Spójniki zdaniowe i operatory logiczne
W języku mówionym zawsze mamy do czynienia wyłącznie z czteroma, precyzyjnie zdefiniowanymi spójnikami:
1.
+ - spójnik logiczny „lub”
2.
* - spójnik logiczny „i”
Zdania warunkowe:
Jeśli p to q
3.
=> - warunek wystarczający, spójnik logiczny „musi” między p i q, w mowie potocznej domyślny i nie musi być wypowiadany
Zdania równoważne:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
CH=>P=1 – twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
4.
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny miedzy p i q nas tu kompletnie nie interesują
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
Spójniki te mogą mieć dodatkowe matematyczne znaczenie, co wymaga analizy matematycznej.
1.3 Dualne znaczenie symboli +, *, =>, ~> w algebrze Kubusia
1. OR
1. „lub”(+) – spójnik logiczny (+), w mowie potocznej znaczenie podstawowe
1A: OR(*) – operator logiczny (+)
Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i” w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p+q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~p*~q – skłamię (bo ~Y)
gdzie:
+ - spójnik “lub” w logice dodatniej (bo Y)
* - spójnik “I” w logice ujemnej (bo ~Y)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
2. AND
2. „i” (*) – spójnik logiczny (*), w mowie potocznej znaczenie podstawowe
2A: AND(*) – operator logiczny (*)
Definicja operatora AND:
Operator AND to złożenie spójnika „i” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p*q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~p*~q – skłamię (bo ~Y)
gdzie:
* - spójnik „i” w logice dodatniej (bo Y)
+ - spójnik „lub” w logice ujemnej (bo ~Y)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
3. Implikacja odwrotna ~>
3. Warunek konieczny ~>, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q
3A: implikacja odwrotna (~>), operator logiczny
Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>:
Operator implikacji odwrotnej ~> to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym w logice ujemnej (bo ~q)
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
4. Implikacja prosta =>
4. => - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
4A: implikacja prosta (=>), operator logiczny
Definicja operatora implikacji prostej =>:
Operator implikacji prostej => to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatnie (bo q) z warunkiem koniecznym w logice ujemnej (bo ~q)
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
5. Równoważność
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
5. => - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
5A. równoważność (<=>), operator logiczny
Definicja operatora równoważności <=>:
Równoważność to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i ponownie warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
=> - warunek wystarczający =>, spójnik „musi” między p i q
W naturalnym języku mówionym, tym spotykanym na co dzień, analiza matematyczna implikacji jest z reguły trywialna, na poziomie 5-cio letniego dziecka.
W matematyce tak nie musi być, udowodnienie iż dane twierdzenie jest implikacją prostą albo czymś fundamentalnie innym, równoważnością, wcale nie musi być proste.
Jak widzimy, znaczenie symboli w algebrze Kubusia jest dualne. W naturalnym języku mówionym zawsze mamy do czynienia ze spójnikami, nie z operatorami.
## - różne funkcje logiczne !
Operatory OR i AND
Równanie ogólne dla operatorów AND i OR:
p+q = ~(~p*~q)=1 ## p*q = ~(~p+~q) =1 – prawa de’Morgana
Implikacja prosta => i odwrotna ~>
Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q=1 ## p~>q = ~p=>~q=1 – prawa Kubusia
Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech niezależnych zdań z tego wynikająca.
Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny – względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !
Po stronie p i q nie są to prawdy i fałsze bezwzględne, jak to jest w Klasycznym Rachunku Zdań.
Różnica między algebrą Kubusia i KRZ jest wiec fundamentalna i dotyczy absolutnie każdego pojęcia i każdej definicji – totalnie NIC nie jest tu wspólne, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami, aby świat był normalny.
1.4 Budowa operatorów OR i AND
Operatory implikacji i równoważności są z definicji operatorami dwuargumentowymi.
W operatorach OR i AND nie ma żadnych ograniczeń.
Przykładowa funkcja logiczna z operatorami AND i OR:
Y=A+B(C+~D)…
gdzie:
Y – funkcja logiczna
A,B,C,~D – zmienne binarne mogące w osi czasu przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1
W naszych rozważaniach ograniczymy się do dwuargumentowych AND i OR, gdyż rozpatrywanie większej liczby argumentów nie wnosi absolutnie nic nowego do istoty zagadnienia.
Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
p+q = ~(~p*~q)=1 ## p*q = ~(~p+~q) =1 – prawa de’Morgana
Prawo de Morgana zapisane w postaci funkcji logicznej Y.
Lewa strona znaku ##:
Y=p+q = ~(~p*~q)
stąd mamy układ równań logicznych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Prawa strona znaku ##:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Stąd mamy układ równań logicznych:
Y=p*q
~Y=~p+~q
stąd budowa operatorów OR i AND:
[linki]
Operator OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i” w logice ujemnej (bo ~Y).
Operator AND to złożenie spójnika „i” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej (bo ~Y).
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Logika dodatnia to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1)
Y=p+q
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p=1 lub q=1
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Logika ujemna to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (~Y=1)
~Y=~p*~q
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 i ~q=1
Prawo przejścia do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
Przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne
Y=p+q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y=~p*~q – skłamię (bo ~Y)
stąd:
Budowa operatorów OR i AND
[linki]
Prawo de’Morgana na poziomie operatorów logicznych:
+ - operator OR
* - operator AND
p+q=~(~p*~q) – prawo zamiany operatora OR na AND (bramki logicznej OR na bramkę AND)
p*q = ~(~p+~q) – prawo zamiany operatora AND na OR (bramki logicznej AND na bramkę OR)
Zauważmy, że prawa de’Morgana zachodzą w obrębie jednej i tej samej definicji OR albo AND - lewa i prawa strona na powyższym schemacie blokowym. Ta forma praw de’Morgana jest przydatna w technice cyfrowej, w języku mówionym jest praktycznie nie używana.
Definicja spójnika „lub” niezależna od logiki:
Suma logiczna (spójnik „lub”) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q – logika dodatnia (bo Y)
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Równoważnie:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q – logika ujemna bo (~Y)
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Równoważnie:
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)
Definicja spójnika „i” niezależna od logiki:
Iloczyn logiczny (spójnik ‘i”) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q – logika dodatnia (bo Y)
Y=1 <=> p=1 i q=1
~Y=~p*~q – logika ujemna (bo ~Y)
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Prawa de’Morgana na poziomie spójników logicznych
+ - spójnik „lub”
* - spójnik „i”
Prawo de’Morgana w obrębie operatora OR:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y = ~p*~q – skłamię bo (~Y)
Prawo de’Morgana w obrębie operatora AND:
Y=p*q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q – logika ujemna (bo ~Y)
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Równoważnie:
Y=1 <=> (K=1 i T=1) lub (K=1 i ~T=1) lub (~K=1 i T=1)
gdzie:
X – zmienna w logice dodatniej
~X – zmienna w logice ujemnej (bo negacja sygnału)
Znaczenie zmiennych:
Y=1 – dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
~Y=1 – skłamię, logika ujemna bo ~Y
K=1 – jutro pójdę do kina, logika dodatnia bo K
~K=1 – jutro nie pójdę do kina, logika ujemna bo ~K
T=1 – jutro pójdę do teatru, logika dodatnia (bo T)
~T=1 – jutro nie pójdę do teatru, logika ujemne (bo ~T)
Oczywiście jutro wyłącznie jeden z członów połączonych spójnikiem „lub” ma szansę być prawdą, pozostałe będą fałszem.
… a kiedy skłamię ?
Prawo przedszkolaka:
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~K*~T
czyli:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~Y=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Jak widzimy, wyłącznie z użyciem logiki dodatnie i ujemnej, oraz porzuceniem zer i jedynek na rzecz logiki w 100% symbolicznej mamy pełną zgodność matematyki z naturalnym językiem mówionym.
Popatrzmy teraz na coś ciekawego.
Budowa operatorów OR i AND w równaniach logicznych:
[linki]
Negujemy wszystkie zmienne z lewej strony:
[linki]
… i otrzymaliśmy prawą stronę, bo wiersze w algebrze Kubusia można dowolnie zamieniać.
Oczywiście oznacza to że w tabeli A lewa strona znaku ## to fundamentalnie co innego niż prawa strona znaku ##, bowiem w układzie tylko zanegowaliśmy zmienne, takie układy logiczne nigdy nie będą równoważne.
Budowa operatorów OR i AND:
[linki]
Weźmy prosty przykład :
Jutro pójdę do kina lub do teatru ## Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K+T ## Y=K*T
Oczywiście to Y z lewej strony nie ma nic wspólnego z Y z prawej strony
Gdy będziemy wiązać ze sobą lewa i prawą stronę znaku ## to otrzymamy taki kwiatek …
Jeśli zdanie:
Y=K+T
jest prawdziwe, to zdanie
Y=K*T
jest fałszywe
Jeśli Y=K+T=1 to Y=K*T=0
Co trzeba zrobić aby oba zdania były prawdziwe ?
Oczywiście uznać zdanie Y=K*T jako zdanie nowo wypowiedziane, totalnie niezależne od Y=K+T, czyli lewa strona znaku ## jest totalnie niezależna od prawej strony.
Na mocy definicji mamy wówczas:
Y=K+T=1 ## Y=K*T=1
Matematycznym błędem jest tu jakiekolwiek mieszanie lewej i prawej strony znaku ##.
Poprawnie dla lewej strony mamy tak:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów.
~Y=~K*~T
czyli:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Absolutnie nie wolno tu brać Y (dotrzymam słowa) z lewej strony znaku ## i ~Y (skłamię) z prawej strony znaku ##, czyli nie wolno robić tak.
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię ?
Biorę sobie ~Y z prawej strony znaku ##:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Bo to jest mieszanie dwóch różnych definicji operatorów logicznych, błąd czysto matematyczny.
Analogicznie jest z operatorami implikacji prostej => i odwrotnej ~>.
1.5 Bodowa operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>
Implikacja to zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Padanie deszczu wystarcza dla istnienia chmur
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q
Chmury są konieczne aby jutro padało bo jak nie będzie chmur to na pewno nie będzie padać
W sposób naturalny odkryliśmy tu prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Najważniejsza interpretacja prawa Kubusia:
Spełniony warunek wystarczający=> z prawej strony równania Kubusia wymusza spełniony warunek konieczny ~> z lewej strony prawa Kubusia.
Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q =1 ## p~>q = ~p=>~q =1 – prawa Kubusia
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Budowa operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>
[linki]
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
gdzie w implikacji:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi”
~> - warunek konieczny, spójnik „może”
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji
Zdanie jest wypowiedziane w logice ujemnej gdy następnik jest zaprzeczony (~q), inaczej zdanie jest w logice dodatniej (bo q).
p=>q – logika dodatnia bo q
~p~>~q – logika ujemna bo ~q
Prawo przejście do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
W operatorach implikacji przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne (identycznie jak w OR i AND !)
p=>q =1
… a jeśli nie zajdzie p ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatora na przeciwny:
p=>q = ~p~>~q – prawo Kubusia
Prawo przedszkolaka działa w całym obszarze algebry Kubusia.
Dana jest funkcja logiczna:
A*(~B+C) => D+~E
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~A+(B*~C) ~> ~D*E
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND, OR, =>, ~>
Dualizm symboli => i ~> w algebrze Kubusia:
1.
Prawa Kubusia na poziomie operatorów logicznych:
=> - operator implikacji prostej
~> - operatora implikacji odwrotnej
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą =>
2.
Prawa Kubusia na poziomie warunków wystarczających => i koniecznych ~>
=> - warunek wystarczający między p i q, spójnik „musi” w naturalnym języku mówionym
~> - warunek konieczny między p i q, spójnik „może” w naturalnym języku mówionym
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany warunku wystarczającego => na warunek konieczny ~>
Implikacja prosta => to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany warunku koniecznego ~> na warunek wystarczający =>
Implikacja odwrotna ~> to złożenie warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
Interpretacja warunków koniecznych
~> - warunek konieczny między p i q
=> - warunek wystarczający między p i q
1.
Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q)
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Zabieram poprzednik (~p) i musi zniknąć następnik(~ q)
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1
Prawo Kubusia:
CH~>P=~CH=>~P
Zabieramy chmury (~CH) i musi zniknąć możliwość padania (~P)
~CH=>~P=1
Tu oczywistość, zatem warunek konieczny w zdaniu A spełniony:
CH~>P=1
2.
Definicja warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q = p=>q
Wymuszamy zaprzeczony poprzednik (p) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (q)
Przykład:
A.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
Wymuszamy zaprzeczony poprzednik (P) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (CH)
Wymuszamy padanie deszczu (P) z czego muszą wynikać chmury (CH)
Oczywista prawda:
P=>CH=1
Zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny:
~P~>~CH=1
ale …
B.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~>CH=0
bo:
Prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH
Wymuszamy zaprzeczony poprzednik (P) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (~CH)
Wymuszamy padanie deszczu (P) z czego musi wynikać brak chmur (~CH)
Oczywisty fałsz:
P=>~CH=0
Zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny:
~P~>CH=0
ale …
Zdanie B jest bezdyskusyjnie prawdziwe !
Stąd konieczność wprowadzenia do logiki nowego symbolu:
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
[linki]
p~~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny miedzy p i q nas tu kompletnie nie interesują
stąd poprawne matematycznie kodowanie zdania B:
B.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~~>CH=1 – istnieje taka możliwość
Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
Dowód:
Wynika to bezpośrednio z praw Kubusia.
Jeśli prawa strona jest prawdą (zachodzi warunek wystarczający =>), to lewa strona także musi być prawdą (zachodzi warunek konieczny ~>), inaczej algebra Kubusia leży w gruzach.
W implikacji i tylko tu warunek konieczny to spójnik „może” (nie w równoważności !):
~> - warunek konieczny, spójnik ”może” między p i q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
czyli:
Może zajść ale nie musi, miękka prawda, „rzucanie monetą”
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1 – miękka prawda, może padać ale nie musi, „rzucanie monetą”
Z twierdzenia ŚFINII wynika, że całą logikę możemy sprowadzić do badania łatwych w analizie warunków wystarczających.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Powyższe zdanie traktujemy jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), stąd kodowanie zero-jedynkowe:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Powyższe zdanie traktujemy jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), stąd kodowanie zero-jedynkowe:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Definicja warunku wystarczającego to zaledwie dwie linie tabeli zero-jedynkowej, nie jest to zatem operator logiczny, bo ten musi być definiowany wszystkimi czteroma liniami.
1.6 ŚFIŃSKIE definicje implikacji
ŚFIŃSKIE definicje operatorów logicznych to majstersztyk algebry Kubusia. Umożliwiają one rozstrzyganie czym jest wypowiedziane zdanie bez koniczności analizy tego zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
ŚFIŃSKA definicja implikacji prostej:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek wystarczający
p=>q =1
p~>q=0
Wynika to bezpośrednio z prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Dowód:
Jeśli p=>q=1 to nie może być p~>q=1
Bo wówczas zachodziłoby:
p~>q = ~p~>~q
co w implikacji jest fałszem
ŚFIŃSKA definicja implikacji odwrotnej:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacja odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek konieczny
p~>q =1
p=>q=0
Wynika to bezpośrednio z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Dowód:
Jeśli p~>q=1 to nie może być p=>q=1
Bo wówczas zachodziłoby:
p=>q = ~p=>~q
co w implikacji jest fałszem
W równoważności zachodzi:
p=>q = ~p=>~q
Stąd
ŚFIŃSKA definicja równoważności:
Zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi jednocześnie warunek wystarczający i konieczny
p=>q=1
p~>q=1
gdzie:
~> - symbol warunku koniecznego między p i q, w równoważności nie jest po spójnik „może”, bowiem w równoważności nie ma mowy o „rzucaniu monetą” (~>=”może”) charakterystycznym dla implikacji.
Darujmy sobie na razie równoważność bo to zupełnie inna bajka matematyczna i weźmy pod uwagę wyłącznie implikacje.
Przykład implikacji prostej => prawdziwej
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Deszcz jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur
Badamy warunek konieczny:
P~>CH = ?
A1.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> być pochmurno
P~>CH=?
Prawo Kubusia:
P~>CH = ~P=>~CH=0
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
~P=>~CH=0 – bo może nie padać i może być pochmurno
Prawa strona równania Kubusia jest fałszem zatem z lewej stronie wykluczony jest warunek konieczny ~>:
P~>CH=0
Interpretacja potoczna braku warunku koniecznego w A1:
Zabieramy możliwość padania a sytuacja „są chmury” jest możliwa, zatem w A1 warunek konieczny nie zachodzi.
Zdanie A1 jest oczywiście prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”
A1.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH=1 – sytuacja możliwa, poprawne kodowanie matematyczne zdania A1
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunek konieczny nas tu nie interesuje.
Wnioski:
Dla zdania wypowiedzianego A mamy:
P=>CH=1 – warunek wystarczający spełniony
P~>CH=0 – warunek konieczny niespełniony
Zdanie A spełnia zatem ŚFIŃSKĄ definicję implikacji prostej, możemy w skrócie powiedzieć że zdanie A jest implikacją prostą.
Przykład implikacji odwrotnej prawdziwej
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P = ?
Interpretacja potoczna warunku koniecznego:
Zabieramy chmury i musi zniknąć możliwość padania, co jest oczywistością, zatem w zdaniu B zachodzi warunek konieczny
To samo matematycznie.
Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Sprawdzamy czy zachodzi warunek konieczny:
CH~>P = ~CH=>~P – prawo Kubusia
B1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
Prawa strona równania Kubusia jest prawdą, zatem po lewej stronie musi zachodzić warunek konieczny ~>.
CH~>P=1
stąd:
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P = 1 – warunek konieczny spełniony
Sprawdzamy czy w zdaniu B zachodzi warunek wystarczający:
B2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
CH=>P=0 – oczywisty fałsz
Zatem dla zdania B mamy:
CH~>P=1 – warunek konieczny spełniony
CH=>P=0 – warunek wystarczający nie zachodzi
Wniosek:
Zdanie B spełnia ŚFIŃSKĄ definicje implikacji odwrotnej, czyli zdanie B jest implikacją odwrotną prawdziwą.
Nasz przykład naniesiony na schemat blokowy budowy operatorów implikacji z poprzedniego punktu:
[linki]
Podobnie jak w operatorach OR i AND po obu stronach znaku ## mamy w implikacji dwie fundamentalnie inne funkcje logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne.
Oczywiście z prawej strony musieliśmy zamienić p i q (w stosunku do lewej strony) bowiem wtedy i tylko wtedy zdanie CH~>P jest prawdziwe. Zdanie CH~>P traktujemy jako zdanie nowo wypowiedziane, nie mające nic wspólnego ze zdaniem P=>CH, to zupełnie nowa definicja !
Równanie ogólne implikacji dla naszego przykładu:
P=>CH = ~P~>~CH ## CH~>P = ~CH=>~P
czyli:
P=>CH ## ~CH=>~P
Po ustawieniu sztywnego punktu odniesienia na zdaniu P=>CH:
p=P
q=CH
mamy poprawne prawo kontrapozycji w implikacji w takiej formie:
p=>q ## ~q=>~p
Znane matematykom prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q = ~q=>~p
jest poprawne, i owszem, ale tylko i wyłącznie w równoważności.
Zauważmy, że argumenty w implikacji nie są przemienne:
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p
co oznacza:
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0 – odwrotnie nie zachodzi !
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0 – odwrotnie nie zachodzi !
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH=1
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno będzie padać
CH=>P=0
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1
Jeśli jutro będzie padać to może być pochmurno
P~>CH=0
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0
… ale odwrotnie nie zachodzi !
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno będzie padać
~CH=>P=0
Jeśli p=>q=0 to q=>p=0
B.
Jeśli jutro będzie padać to może nie być pochmurno
P~>~CH=0
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać
~CH~>P=0
Jeśli p~>q=0 to q~>p=0
Identyczna ciekawostka jak w operatorach OR i AND.
[linki]
Oczywiście negując zmienne po lewej stronie otrzymamy prawą stronę. Takie układy logiczne nigdy nie będą równoważne, stąd znak ##.
1.7 ŚFIŃSKIE definicje równoważności
Równoważność to opis tego samego przy pomocy innych parametrów.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi, to nie są implikacje proste
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
B.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1
W implikacji prostej w zdan Definicja warunku koniecznego iu B musiałby być spójnik „może” (rzucanie monetą), w równoważności nie ma o tym mowy.
Sprawdzić czy dowolny trójkąt jest równoboczny możemy na dwa równoważne sposoby:
1.
Równość boków wystarcza dla stwierdzenia że ten trójkąt był równoboczny
BR=>TR
2.
Równość kątów wystarcza dla stwierdzenie iż ten trójkąt jest równoboczny
KR=>TR
=> warunek wystarczający
Twierdzenie ŚFINII (definicja warunku wystarczającego):
Warunek konieczny w zdaniu „Jeśli p to q” zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
~> - warunek konieczny, w równoważności nie jest to spójnik „może” !
Równoważność to opis tego samego przy pomocy innych parametrów, dlatego warunek konieczny jest tu zawsze spełniony.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
=> - warunek wystarczający spełniony, spójnik „musi” między p i q
Badamy warunek konieczny:
TR~>KR = ~TR=>~KR =1
Prawa strona jest prawdą zatem lewa strona również musi być prawdą, warunek konieczny spełniony
Potocznie:
Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem koniecznym aby kąty były równe, bowiem jeśli zabierzemy trójkąty równoboczne, to znikną nam trójkąty o równych kątach
ŚFIŃSKA definicja równoważności:
Zdanie „Jeśli… to” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzą jednocześnie warunki wystarczający i konieczny
p=>q=1
p~>q=1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
gdzie:
p=>q – warunek wystarczający miedzy p i q
p~>q – warunek konieczny miedzy p i q, w równoważności nie jest to spójnik „może” („rzucanie monetą”) znany z implikacji !
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
Bycie trójkątem równobocznym wystarcza, aby kąty były równe
Sprawdzamy warunek konieczny.
TR~>KR = ~TR=>~KR
czyli:
A1.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna, warunek wystarczający
Wniosek:
TR~>KR=1
Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem koniecznym aby kąty były równe
Interpretacja potoczna:
TR~>KR = ~TR=>~KR
Zabierając wszystkie trójkąty równoboczne wykluczamy znalezienie trójkąta o równych kątach
Dla zdania A mamy zatem:
TR=>KR=1 – warunek wystarczający spełniony
TR~>KR=1 – warunek konieczny spełniony (nie jest to spójnik „może” !)
Wniosek:
Zdanie A spełnia ŚFIŃSKĄ definicję równoważności, w skrócie możemy powiedzieć że zdanie A jest równoważnością.
Oczywiście zdanie A możemy wypowiedzieć w równoważnej formie:
A2.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR
Na podstawie powyższego mamy taką definicję równoważności:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(TR~>KR)
czyli w zapisie ogólnym:
p<=>q =(p=>q)*(p~>q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q
Związek warunku koniecznego z warunkiem wystarczającym:
p~>q = ~p=>~q
stąd kolejna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny dwóch warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q, to nie są implikacja proste.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
[linki]
KONIEC !
To jest absolutnie wystarczająca i jedyna poprawna definicja warunku wystarczającego.
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Zdanie p=>q traktujemy jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), stąd kodowanie zero-jedynkowe:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Zdanie ~p=>~q traktujemy jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), stąd kodowanie zero-jedynkowe:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Zauważmy, że na gruncie definicji warunku koniecznego w równoważności poprawna jest również taka definicja równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(~p~>~q)
bowiem z powyższego na mocy twierdzenia ŚFINII otrzymujemy:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
czyli równoważność to iloczyn logiczny dwóch warunków wystarczających p=>q i ~p=>~ q
Dla naszego przykładu mamy:
TR<=>KR = (TR~>KR)*(~TR~>~KR) = 1*1=1
Interpretacja potoczna warunków koniecznych.
1.
Definicja warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q)
p~>q = ~p=>~q
Zabieram poprzednik (~p) i musi zniknąć następnik(~ q)
Dla naszego przykładu:
TR~>KR = ~TR=>~KR
Zabieram trójkąty równoboczne (~TR) i musi zniknąć możliwość znalezienia trójkąta który ma kąty równe - oczywistość, zatem warunek konieczny TR~>KR spełniony
2.
Definicja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q = p=>q
Wymuszam zaprzeczony poprzednik (p) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (q)
Dla naszego przykładu:
~TR~>~KR = TR=>KR
Wymuszam zaprzeczony poprzednik (TR) z którego musi wynikać zaprzeczony następnik (KR)
czyli biorę pod uwagę wyłącznie trójkąty równoboczne i każdy taki trójkąt musi mieć kąty równe.
Oczywistość, zatem w zdaniu ~TR~>~KR zachodzi warunek konieczny.
W równoważności zachodzi prawo kontrapozycji w tej formie:
~p=>~q = q=>p
bowiem w równoważności zachodzi przemienność argumentów.
Stąd definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność to równoczesne zachodzenie warunków wystarczających w dwie strony.
Twierdzenie Rexerexa:
Jeśli równoważność jest udowodniona to zachodzi wszystko co tylko możliwe
p=>q = p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = ~p<=>~q = ~p=>~q = (p=>q)*(q=>p) = q=>p
Zauważmy, że w równoważności zawsze będą spełnione jednocześnie warunki wystarczając i konieczne między p i q w dowolnym z powyższych zdań, zatem wszystkie powyższe zdania połączone znakiem tożsamości „=” to równoważności, bo spełniają ŚFIŃSKĄ definicje równoważności.
Oczywiście o zdaniu p=>q możemy też powiedzieć, że to tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Budowa operatora równoważności.
Kwadrat logiczny równoważności:
[linki]
W równoważności jest wszystko jedno co nazwiemy p a co q, bowiem argumenty w równoważności są przemienne:
p=>q = q=>p
Zauważmy, że tożsamości po przekątnych to prawo kontrapozycji w równoważności:
p=>q = ~q=>~p
Prawo kontrapozycji nie jest dowodem równoważności, bowiem identyczne warunki wystarczające występują po przekątnych w implikacji.
Prawo Kontrapozycji w implikacji:
p=>q=1 ## ~q=>~p=1
gdzie:
## - różne na mocy definicji implikacji
Przykład:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH = ~p~>~CH=1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=~CH=>~P=1
Równanie ogólne implikacji:
P=>CH = ~P~>~CH =1 ## CH~>P = ~CH=>~P =1
stąd:
P=>CH=1 ## ~CH=>~P=1
dla sztywnego punktu odniesienia:
p=P
q=CH
mamy poprawne prawo kontrapozycji w implikacji:
p=>q=1 ## ~q=>~p=1
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowodem zachodzącej równoważności są zachodzące warunki wystarczające wzdłuż dowolnego boku kwadratu logicznego równoważności.
1.8 Klasyczne definicje implikacji w algebrze Kubusia
Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech niezależnych zdań z tego wynikająca.
Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny - względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !
Definicja implikacji prostej w równaniu logicznym to po prostu prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
Przykład implikacji prostej
Zdanie wypowiedziane:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Klasyczna analiza matematyczna w algebrze Kubusia, przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – Gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi bez wyjątków
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0 – twardy fałsz wynikły z powyższego
1 0 =0
… a jeśli jutro nie będzie padało ?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH =1
czyli:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~>~CH=1 – przypadek możliwy, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~~>CH=1 – przypadek możliwy, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P=1, ~P=0
CH=1, ~CH=0
Zdanie D nie może być implikacja odwrotna bo prawo Kubusia:
D: ~P~>CH = B: P=>~CH=0
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny nas tu nie interesuje.
Matematyczne znaczenie zer i jedynek mamy w przykładzie wyżej.
W algebrze Kubusia zera i jedynki w tabeli zero-jedynkowej to prawdy względne i fałsze względne, względem zdania wypowiedzianego 1 1 =1 !
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
[linki]
stąd:
Ogólna definicja operatora implikacji prostej =>
[linki]
Kodowanie zer i jedynek zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym p=>q:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=1
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu logicznym to po prostu prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
Przykład implikacji odwrotnej
Zdanie wypowiedziane:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
Klasyczna analiza matematyczna w algebrze Kubusia, przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 1 =1
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 0 =1
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno ?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
czyli:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi zawsze, bez wyjątków
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
CH=1, ~CH=1
P=1, ~P=0
Zdanie B nie może być implikacją odwrotną bo prawo Kubusia:
B: CH~>~P = D:~CH=>P=0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny nas tu nie interesuje.
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
[linki]
Stąd definicja implikacji odwrotnej w zapisie ogólnym:
[linki]
Kodowanie zer i jedynek zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym p~>q:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=1
1.9 Klasyczna definicja równoważności w algebrze Kubusia
Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech zdań z tego wynikająca.
Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny – względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !
Przykład równoważności
Zdanie wypowiedziane:
A.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR
Klasyczna analiza równoważności w algebrze Kubusia przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>KR)
Analiza matematyczna I
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>KR)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodząca zawsze
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
TR<=>KR = ~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodząca zawsze
0 0 =1
stąd:
D,
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
0 1 =0
Doskonale widać definicje zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0
Definicja zero-jedynkowa równoważności:
[linki]
Stąd:
Klasyczna definicja równoważności w algebrze Kubusia:
[linki]
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne ze zdaniem wypowiedzianym:
p<=>q = p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
[linki]
Kodowanie zer i jedynek dla punktu odniesienia ustawionym dla zdaniu wypowiedzianym p=>q:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
[linki]
Kodowanie zer i jedynek dla punktu odniesienia ustawionym dla zdaniu wypowiedzianym ~p=>~q:
~p=1, q=0
~q=1, q=0
Dla naszego przykładu w logice ujemnej będziemy mieli:
Zdanie wypowiedziane:
C.
Trójkąt nie jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy nie ma kątów równych
~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
Analiza matematyczna II
~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodząca zawsze
1 1 =1
stąd:
D,
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
1 0 =0
… a jeśli trójkąt jest równoboczny ?
~TR<=>~KR = TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodząca zawsze
0 0 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
0 1 =0
Doskonale widać definicje zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~TR=1, TR=0
~KR=1, KR=0
Porównajmy analizy matematyczne I i II wyżej. Widać, że zdania wynikłe z analizy wszystkich możliwych przeczeń w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1 są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co jest dowodem zachodzenia tego prawa:
p<=>q = ~p<=>~q
na poziomie operatorowym.
W obu przypadkach mamy identyczne definicje zero-jedynkowe równoważności.
Doskonale widać, że w równoważności nie ma najmniejszych szans na spójnik „może” (rzucanie monetą) znany z definicji implikacji.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1
O zdaniach p=>q i ~p=>~q możemy precyzyjnie powiedzieć że są to tylko warunki wystarczające definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej co widać wyżej.
Możemy tez powiedzieć, że zdania p=>q i ~p=>~q to równoważności bowiem analiza tych zdań przez wszystkie możliwe przeczenia p i q daje nam definicję zero-jedynkową równoważności.
O zdaniach p=>q i ~p=>~q absolutnie nie możemy powiedzieć iż są to implikacje proste, bowiem z analizy tych zdań przez wszystkie możliwe przeczenia p i q nigdy nie uzyskamy tabeli zero-jedynkowej implikacji prostej.
2.0 Operatory OR i AND
Matematycznym fundamentem dwuelementowej algebry Kubusia (także Boole’a) jest definicja iloczynu kartezjańskiego i pojęcie funkcji.
W algebrze Kubusia znane są wyłącznie cyfry 0 i 1. Mamy tu dwa zbiory p=(0,1) i q=(0,1) bo inne cyfry są nielegalne. Iloczyn kartezjański tych zbiorów to zbiór [p,q]=[(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)].
Definicja funkcji logicznej:
Funkcja logiczna w algebrze Kubusia to jednoznaczne odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego [p,q]=[(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)] w zbiór Y zwany funkcją logiczną.
W technice cyfrowej p i q zwane są sygnałami wejściowymi bramki logicznej, natomiast funkcja logiczna Y to wyjście cyfrowe.
Funkcja logiczna OR
[linki]
W technice cyfrowej bramka OR realizuje funkcję sumy logicznej.
+ - symbol sumy logicznej
Funkcje logiczne w algebrze Kubusia definiowane są tabelami zero-jedynkowymi, zwanymi tabelami prawdy.
Funkcja logiczna OR
[linki]
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Synonimy dla określenia funkcji logicznej:
Funkcja logiczna = Operator logiczny (logika) = Bramka logiczna (technika) = Tabela prawdy (technika)
Pojęcia te można używać zamiennie.
Przykład:
Funkcja logiczna OR = Operator logiczny OR = Bramka logiczna OR = Tabela prawdy OR
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to kompletna funkcja Y, będąca jednoznacznym odwzorowaniem wszystkich możliwych stanów na wejściach p i q co widać w powyższej tabeli.
Funkcja logiczna AND
[linki]
W technice cyfrowej bramka AND realizuje funkcję iloczynu logicznego.
* - symbol iloczynu logicznego
Funkcja logiczna AND
[linki]
Y=1 <=> p=1 i q=1
Zmienna binarna
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
W algebrze Kubusia zmienne binarne oznaczane są dowolnymi literami alfabetu lub ciągami znaków z wyłączeniem Y, zwyczajowo zarezerwowanej do oznaczenia funkcji logicznej
Przykłady z powyższej tabeli: p, q
Funkcja logiczna
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami OR(+) lub AND(*)
Y=p+q
Y=p*q
Y=A+B(C+D) = A+[B*(C+D)]
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+)
Oczywiście w dowolnej chwili czasu funkcja logiczna Y może przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych wejściowych.
2.1 Spójniki i operatory w OR i AND
Operator logiczny OR
[linki]
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna (spójnik „lub”) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Mamy tu do czynienia z definicją spójnika „lub”, trzy pierwsze linie w tabeli zero-jedynkowej operatora OR.
Jeśli dołożymy do tego zdanie:
W przeciwnym przypadku jest równa zero, to otrzymamy pełną definicję operatora OR
Y=0 <=> p=0 i q=0
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Tu:
+ - spójnik logiczny „lub”
Operator logiczny AND
[linki]
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Mamy tu do czynienia z definicją spójnika „i”, pierwsza linie w tabeli zero-jedynkowej operatora AND.
Jeśli dołożymy do tego zdanie:
W przeciwnym przypadku jest równy zero, to otrzymamy pełną definicję operatora OR
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
Y=1 <=> K=1 i T=1
Tu:
* - spójnik logiczny „i”
2.2 Operator OR w przedszkolu
Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech niezależnych zdań z tego wynikająca.
Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny – względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !
Algebra Kubusia, to naturalna logika przedszkolaka. Udajmy się do przedszkola, aby podejrzeć jak dzieciaki się nią posługują.
Pani:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub jutro pójdziemy do teatru (T=1)
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Pani:
Dzieci, czy można to samo powiedzieć inaczej ?
Jaś:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) gdy:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
K*T=Y
1 1 =1
LUB
B.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
K*~T=Y
1 0 =1
LUB
C.
Jutro nie pójdziemy do kina i pójdziemy do teatru
~K*T=Y
0 1 =1
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu wypowiedzianym A:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y=K+T = K*T + K*~T + ~K*T
co oznacza:
Y=1<=> (K=1 i T=1) lub (K=1 i ~T=1) lub (~K=1 i T=1)
Gdzie:
+ - spójnik logiczny „lub”
* - spójnik logiczny „i”
Oczywiście jutro wyłącznie jeden ze składników sumy logicznej może być prawdziwy pozostałe będą fałszywe.
Załóżmy że zaszło:
Byliśmy w kinie i nie byliśmy w teatrze
Y=K*~T
Czyli:
Y= K*T=0 – fałsz
Y=K*~T=1 – prawda
Y=~K*T=0 - fałsz
Stąd definicja spójnika „lub” w zapisie symbolicznym wraz z kodowaniem zero-jedynkowym:
[linki]
Zauważmy, że spójnik logiczny „lub” to fundamentalnie co innego niż operator logiczny OR. Definicja operatora logicznego musi opisywać wszystkie możliwe przypadki, czyli cztery a nie trzy jak w powyższej tabeli.
Oczywiście dzieciaki nie mają pojęcia o kodowaniu zero-jedynkowym spójnika „lub”, jednak doskonale posługują się symboliczną definicją spójnika „lub” co widać w powyższym przykładzie.
To samo w zapisie ogólnym z użyciem parametrów formalnych p i q.
[linki]
Parametry formalne i aktualne:
Wszelkie definicje i twierdzenia matematyczne zapisywane są przy użyciu parametrów formalnych.
W definicji wyżej parametry formalne to p i q.
Dla konkretnego przykładu pod parametry formalne podstawiane są wartości aktualne.
Dla przykładu wyżej:
p=K, q=T
Zapisy formalne praw logicznych to schemat postępowania z dowolnym zdaniem.
Zuzia do Jasia:
… a kiedy pani skłamie ?
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y = ~K*~T – logika ujemna bo ~Y
Jaś:
Pani skłamie (~Y=1) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Na mocy definicja spójnika „i” mamy:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Stąd definicja spójnika „i” w logice ujemnej (bo ~Y).
[linki]
Symboliczna definicja spójnika „i” w logice ujemnej (bo ~Y)
[linki]
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Y – logika dodatnia bo funkcja logiczna niezanegowana
Logika dodatnia w operatorach OR i AND to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa, wystąpi prawda.
~Y – logika ujemna bo funkcja logiczna zanegowana
Logika ujemne to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię, wystąpi fałsz.
Prawo przejście do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
W dowolnym równaniu algebry Kubusia przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Przykład:
A.
Funkcja w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+q
B.
Przejście do logiki ujemnej (~Y)
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając i B mamy
Prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Dla naszego przykładu wyżej mamy:
K+T = ~(~K*~T)
czyli:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Znaczy dokładnie to samo co:
B.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y = ~(~K*~T)
Oczywiście mając do wyboru dwa równoważne zdania A i B prawie zawsze wybierzemy A bo jest nieporównywalnie prostsze. Z tego powodu prawa de’Morgana w naturalnym języku mówionym są prawie nie używane.
Definicja operatora logicznego OR:
Operator logiczny OR to złożenie spójnik a „lub” w logice dodatniej ze spójnikiem „i” w logice ujemnej.
Tabela symboliczna operatora OR, czyli złożenie tabeli 1 z tabelą 2.
[linki]
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie wypowiedziane:
Y=p+q
czyli:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
To otrzymamy tabele zero-jedynkowa operatora OR
[linki]
Jeśli natomiast za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie
~Y=~p*~q
czyli:
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
~q=1, q=0
To otrzymamy tabele zero-jedynkowa operatora AND
[linki]
Zauważmy, że obie tabele są zgodne z użytym operatorem w wypowiedzianym zdaniu.
2.3 Operator AND w przedszkolu
Operator OR i AND to operatory symetryczne. Wszelkie fundamentalne pojęcia i definicje zostały wyjaśnione wyżej.
Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy, gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T – logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> K=1 i T=1
stąd symboliczna definicja spójnika „i”.
[linki]
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu wypowiedzianym:
Y=p*q
czyli:
Y=1 <=>p=1 i q=1
Otrzymujemy definicję zero-jedynkową spójnika „i”
[linki]
Oczywiście spójnik „i” to fundamentalnie co innego niż operator AND.
Definicja spójnika „i” to jedna linia tabeli zero-jedynkowej, natomiast operator AND to wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.
… a kiedy Pani skłamie ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~K+~T – logika ujemne (bo ~Y)
czyli:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
To samo innymi słowy:
Skłamię (~Y=1) gdy:
Jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
~Y=~K*~T
LUB
Jutro nie pójdziemy do kina i pójdziemy do teatru
~Y=~K*T
LUB
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
~Y=K*~T
Stąd definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~K+~T = ~K*~T + ~K*T + K*~T
Stąd symboliczna definicja spójnika „lub” w logice ujemnej.
[linki]
Podkład zero-jedynkowy w definicji spójnika „lub” uzyskujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym:
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
czyli:
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Stąd definicja spójnika „lub” w logice ujemnej z podkładem zero-jedynkowym.
[linki]
Definicja operatora AND:
Operator logiczny AND to złożenie spójnika „I” w logice dodatniej (tabela 1), ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej (tabela 2).
[linki]
Dla powyższej tabeli mamy:
A.
Dotrzymam słowa (Y) gdy:
Y=p*q
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p+~q
B.
Skłamię (~Y) gdy:
~Y=~p+~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B otrzymujemy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
p*q = ~(~p+~q)
Definicję zero-jedynkową operatora AND otrzymujemy dla kodowania całej tabeli zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym:
Y=p*q
czyli:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
stąd:
[linki]
Oczywiście, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie wypowiedziane:
~Y=~p+~q
czyli:
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
~q=1, q=0
To musimy otrzymać definicje zero-jedynkową operatora OR:
[linki]
2.4 Gród krasnoludka Orandka
Prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
p+q = ~(~p*~q)
W technice cyfrowej definicję operatora OR realizuje bramka OR:
[linki]
Tabela prawdy bramki OR:
[linki]
Tabela prawdy bramki OR to wymuszenie na wejściach p i q wszystkich możliwych stanów logicznych którym przypisujemy stan pojawiający się na wyjściu Y. Oczywiście, musi tu być 100% jednoznaczność zgodnie z definicją operatora OR.
W świecie zewnętrznym układ zastępczy bramki OR jest niemożliwy do rozpoznania. Jeśli mamy czarną skrzynkę z kabelkami wejściowymi p i q oraz kabelkiem wyjściowym Y, to niemożliwe jest stwierdzenie jak układ bramki OR jest realizowany w rzeczywistości.
Zapewne wielu czytelników, na widok poniższego schematu ideowego przeżyje szok.
W naszym mózgu pracują najprawdziwsze krasnoludki !
Dlaczego krasnoludek ?
Mózg człowieka zbudowany jest z około 100mld neuronów połączonych …
Dla zrozumienia matematycznego fundamentu działania mózgu nie jest nam potrzebna szczegółowa analiza jego budowy.
Poznajmy pierwszego z nich, krasnoludka Orandka, obsługującego operator logiczny OR.
Jak widzimy na schemacie, z naszego abstrakcyjnego mózgu wystają dwa kabelki wejściowe p i q oraz jeden wyjściowy Y. Z zewnętrznego punktu odniesienia nie sposób rozszyfrować jak nasz mózg obsługuje w rzeczywistości operator logiczny OR. W świecie zewnętrznym jedyne co możemy stwierdzić to tabela prawdy operatora OR, nic więcej.
Tabela prawdy operatora OR (bramki OR):
[linki]
Zajrzyjmy do środka naszego mózgu i przyjrzyjmy się jak pracuje krasnoludek Orandek.
[linki]
Wynikowe zera i jedynki (Y, ~Y) nie są przynoszone w teczce, są generowane przez odpowiednie operatory logiczne na podstawie aktualnych sygnałów wejściowych p i q.
Z prawej strony na wyjściu bramki AND widzimy funkcję logiczną w logice ujemnej:
~Y=~K*~T
Funkcja w logice ujemnej jest tu wymuszona przez prawo de’Morgana, które nie może być zgwałcone. To jest bezpośredni dowód poprawności przejścia do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka.
Mamy:
Y=K+T – zdanie wypowiedziane, dotrzymam słowa bo Y
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~K*~T – skłamię bo ~Y
Jak pracuje krasnoludek Orandek ?
Wewnątrz naszego mózgu znajdują się luksusowo urządzone dwie komnaty, prawdy i fałszu, pomiędzy którymi Orandek przenosi się z szybkością światła znajdując odpowiedzi na kluczowe pytania:
Kiedy dotrzymam słowa ?
Kiedy skłamię ?
Orandek rozpoznaje komnatę prawdy po braku przeczenia przy funkcji Y, natomiast w komnacie fałszu funkcja jest zaprzeczona ~Y - ten wężyk (~) to nic innego jak wąż-kusiciel z biblijnego drzewa poznania.
W świecie zewnętrznym, na wejściach K i T podajemy tabelę zero-jedynkową operatora OR. Zauważmy, że w komnacie fałszu, po negatorach, mamy zanegowane zarówno nazwy sygnałów wejściowych jak tez zanegowane wejściowe zera i jedynki. W laboratorium techniki cyfrowej łatwo sprawdzić, że tak właśnie jest.
Zadajemy krasnoludkowi pytanie.
Kiedy dotrzymam słowa ?
Orandek biegnie do komnaty prawdy którą rozpoznaje po braku przeczenia przy funkcji Y.
Natychmiastowa odpowiedź:
[linki]
Dotrzymasz słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziesz do kina (K=1) lub pójdziesz do teatru (T=1)
Y=1 <=>K=1 lub T=1
… a kiedy Orandku skłamię ?
Pracowity krasnoludek biegnie do komnaty fałszu i błyskawicznie odpowiada.
[linki]
Skłamiesz (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie pójdziesz do kina (~K=1) i nie pójdziesz do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa operatora OR z punktu odniesienia krasnoludka wygląda fundamentalnie inaczej niż z punktu odniesienia człowieka (świat zewnętrzny). Porównajmy dwie tabele pod schematem ideowym. Rzeczywista praca Orandka jest dowodem, że mózg człowieka traktuje zdania:
Y=K+T
oraz:
~Y=~K*~T
jako zdania nowo wypowiedziane 1 1 =1.
Przeanalizujmy szczegółowo zdanie:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
widziane ze wszystkich możliwych punktów odniesienia.
Analiza I
Punkt odniesienia, krasnoludek Orandek
Y=K+T
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
K+T=Y
1 1 =1
Zdanie AX matematycznie równoważne:
Y=K*T+K*~T+~K*T
czyli:
Dotrzymam słowa (Y) jeśli:
A.
jutro pójdę do kina i pójdę do teatru
K*T=Y
1 1 =1
lub
B.
pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=Y
1 0 =1
lub
C.
nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=Y
0 1 =1
Zera i jedynki wygenerowano dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A czyli:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
Zdanie wypowiedziane:
K+T=Y
stąd:
~K*~T=~Y
D.
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~K*~T=~Y
1 1 =1
Stąd tabela zero-jedynkowa widziana oczami Orandka:
[linki]
Układ równań logicznych dla powyższej tabeli:
Y=K+T
~Y=~K*~T
Oczywiście:
Y-dotrzymam słowa # ~Y-skłamię
Z ostatniego równania po dwustronnej negacji mamy:
Y=~(~K*~T)
stąd mamy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
Y=K+T=~(~K*~T)
Zauważmy 100% zgodność tej analizy z powyższym schematem ideowym, tak wygląda świat zewnętrzny widziany oczami naszego mózgu (krasnoludka).
Zobaczmy teraz to samo, obserwowane przez zewnętrznego obserwatora.
Analiza II
Punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane), obserwator zewnętrzny:
Y=K+T
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
K+T=Y
1 1 =1
Zdanie AX matematycznie równoważne:
Y=K*T+K*~T+~K*T
czyli:
Dotrzymam słowa (Y) jeśli:
A.
jutro pójdę do kina i pójdę do teatru
K*T=Y
1 1 =1
lub
B.
pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=Y
1 0 =1
lub
C.
nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=Y
0 1 =1
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
Zdanie wypowiedziane:
K+T=Y
stąd:
~K*~T=~Y
D.
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~K*~T=~Y
0 0 =0
Zera i jedynki wygenerowano dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym
Y=p+q
czyli:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0
Stąd tabela zero-jedynkowa widziana oczami obserwatora zewnętrznego:
[linki]
Układ równań logicznych dla powyższej tabeli:
Y=K+T
~Y=~K*~T
Oczywiście:
Y-dotrzymam słowa # ~Y-skłamię
Z ostatniego równania po dwustronnej negacji mamy:
Y=~(~K*~T)
stąd mamy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
Y=K+T=~(~K*~T)
Przyjmijmy teraz za punkt odniesienia zdanie D z powyższej analizy, to zdanie wypowiadamy jako pierwsze.
Analiza III
Punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane):
~Y=~K*~T
D.
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~K*~T=~Y
1 1 =1
Punkt odniesienia, zdanie wypowiedziane D, wymusza kodowanie zer i jedynek w analizie matematycznej w następujący sposób:
~K=1, K=0
~T=1, T=0
~Y=1, Y=0
… a kiedy dotrzymam słowa ?
Przejście ze zdaniem D do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Mamy:
~K*~T=~Y
stąd:
K+T=Y
czyli:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Szczegółowe rozwinięcie:
Y=K+T=K*T+K*~T+~K*T
stąd:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
K+T=Y
0 0 =0
Zdanie AX matematycznie równoważne:
Y=K*T+K*~T+~K*T
czyli:
Dotrzymam słowa (Y) jeśli:
A.
jutro pójdę do kina i pójdę do teatru
K*T=Y
0 0 =0
lub
B.
pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=Y
0 1 =0
lub
C.
nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=Y
1 0 =0
Zera i jedynki wygenerowano dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym D
~Y=~K*~T
czyli:
~K=1, K=0
~T=1, T=0
~Y=1, Y=0
Stąd tabela zero-jedynkowa widziana oczami obserwatora zewnętrznego:
[linki]
Układ równań logicznych dla powyższej tabeli:
Y=K+T
~Y=~K*~T
Oczywiście:
Y-dotrzymam słowa # ~Y-skłamię
Z ostatniego równania po dwustronnej negacji mamy:
Y=~(~K*~T)
stąd mamy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
Y=K+T=~(~K*~T)
Wnioski:
1
W zerach i jedynkach, punkt odniesienia Orandka jest stały i niezmienny, niezależny od punktu odniesienia w świecie zewnętrznym.
2.
Orandek operuje wyłącznie spójnikami logicznymi „lub” i „i” o stałych definicjach zero-jedynkowych.
Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y) z punktu odniesienia krasnoludka:
[linki]
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p*~q
Definicja spójnika „i” w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Definicja zero-jedynkowa spójnika ‘i” w logice ujemnej (bo ~Y) z punktu odniesienia krasnoludka:
[linki]
3.
Zauważmy, że układ równań logicznych opisujących wszystkie trzy analizy jest identyczny i niezależny od punktu odniesienia, czyli bez znaczenia jest czy wybierzemy punkt odniesienia I, II czy tez III.
4.
Logika symboliczna w równaniach algebry Kubusia nie zależy od idiotycznych zer i jedynek.
5.
Zera i jedynki generowane na mocy równań algebry Kubusia zależą od przyjętego punktu odniesienia, ale nie mają wpływu na treść zdań, bo wypływają z treści zdań.
6.
We wszystkich trzech analizach I, II, i III zdania składowe są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. Wynika z tego, że analizy I, II, i III są matematycznie równoważne.
7.
Symboliczna definicja operatora OR niezależna od zer i jedynek:
[linki]
Na zakończenie schemat ideowy naszego mózgu dla punktu odniesienia:
~Y=~K*~T
[linki]
Wynikowe zera i jedynki (Y, ~Y) nie są przynoszone w teczce, są generowane przez odpowiednie bramki logiczne na podstawie aktualnych sygnałów wejściowych p i q.
Schematy z rysunku A i B są tożsame, bowiem w punkcie odniesienia zarówno człowieka, jak i krasnoludka Orandka (naszego mózgu) zdania opisywane przez operator OR są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. Zauważmy, że w punkcie odniesienia krasnoludka tabele zero-jedynkowe na obu rysunkach też są identyczne, występuje wyłącznie przestawienie linii co w algebrze Kubusia jest bez znaczenia
W zerach i jedynkach świat krasnoludka Orandka wygląda inaczej niż świat człowieka, ale w symbolicznych równaniach algebry Kubusia jest identyczny. Doskonale to widać porównując zdania składowe z analiz I (krasnoludek) oraz II i III (Człowiek) w analizach wyżej.
Ćwiczenie w laboratorium techniki cyfrowej:
Zbudować powyższe układy z rysunku A i B.
Sprawdzić wszystkie tabele zero-jedynkowe.
Pewne jest, że teoria musi się zgadzać w 100% z rzeczywistością, co jest dowodem istnienia krasnoludka Orandka w naszym mózgu.
2.5 Operator OR w tabelach zero-jedynkowych
W praktyce języka mówionego nikt nie posługuje się tabelami zero-jedynkowymi algebry Kubusia (algebry Boole’a). W swojej naturalnej logice człowiek operuje równoważnymi równaniami algebry Kubusia, co tej pory przerabialiśmy. Tabele zero-jedynkowe umożliwiają jednak bardzo proste dowody wszelkich praw logicznych, stad konieczność zapoznania się z techniką dowodzenia dowolnego prawa algebry Kubusia przy pomocy tabel zero-jedynkowych.
Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
[linki]
Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
[linki]
Oczywiście na mocy definicji:
p+q ## p*q
bo to dwie fundamentalnie inne definicje.
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru ## Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K+Y ## Y=K*T
## - różne funkcje logiczne !
Prawo de’Morgana dla operatora OR:
[linki]
Tożsamość kolumn wynikowych oznacza zachodzące prawo logiczne.
Prawo de’Morgana dla logiki dodatniej (bo Y):
Y=p+q = ~(~p*~q) – trzecia i ostatnia kolumna
Prawo de’Morgana dla logiki ujemnej (bo ~Y):
~Y=~(p+q) = ~p*~q – czwarta i siódma kolumna
Oczywiście zachodzi:
Y # ~Y
W przedostatniej kolumnie musi być funkcja logiczna w logice ujemnej (~Y) inaczej prawo de’Morgana leży w gruzach.
To jest automatycznie dowód poprawności przejścia do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka.
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory logiczne na przeciwne:
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej:
~Y=~p*~q
Logika dodania i ujemna w operatorach OR i AND:
Y – funkcja w logice dodatnie bo brak przeczenia
Funkcja logiczna w logice dodatniej to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y – funkcja w logice ujemnej bo jest przeczenie
Funkcja logiczna w logice ujemnej to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi fałsz)
Prawo przejścia do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
Przejście z funkcja logiczna do logiki przeciwnej uzyskujemy negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne.
Dana jest funkcja logiczna:
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p+~q - logika ujemna bo ~Y
Związek logik:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
stąd:
p*q = ~(~p+~q) - prawo de'Morgana
CND
Oczywiście można to uogólnić na dowolnie długą funkcję logiczną.
Dana jest funkcja logiczna:
Y=A+~B(C+~D)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, *, +
Metoda Wuja Zbója.
Krok 1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące operatory
Y=A+[~B*(C+~D)] - logika dodatnia bo Y
Krok 2
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne (* na + i odwrotnie):
~Y=~A*[B+(~C*D)] - logika ujemna bo ~Y
Doskonale widać dlaczego musieliśmy uzupełnić nawiasy.
Kolejność działań w logice ujemnej: nawiasy, +, *
Związek logik:
Y=~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
stąd:
A+[~B*(C+~D)]=~{~A*[B+(~C*D)]} - prawo de'Morgana
Definicje spójników logicznych
Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej bo Y:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden wtedy i tylko wtedy gdy dowolna zmienna jest równa jeden
Y=p+q
Matematycznie oznacza to:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Szczegółowa rozpiska:
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
… a kiedy wystąpi fałsz ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p*~q
stąd:
Definicja spójnika „i” w logice ujemnej bo ~Y:
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych jest równa jeden.
~Y=~p*~q
Matematycznie oznacza to:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Z powyższego wynika, że nasz mózg traktuje zdania w logice dodatniej i ujemnej jako zdania nowo wypowiedziane 1 1 =1.
[linki]
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~p*~q
[linki]
Z punktu odniesienia świata zewnętrznego możemy za punkt odniesienia przyjąć zdanie:
Y=p+q
czyli:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Wtedy otrzymamy tabele zero-jedynkowa operatora OR
ALBO
Za punkt odniesienia możemy przyjąć zdanie:
~Y=~p*~q
czyli:
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Wtedy otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND
Wszystkie możliwe przypadki ilustruje poniższa tabela.
[linki]
W świecie zewnętrznym w stosunku do naszego mózgu widzimy definicję zero-jedynkową operatora OR jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie wypowiedziane Y=p+q lub definicje zero-jedynkową operatora AND jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie ~Y=~p*~q.
Zauważmy, że z punktu odniesienia naszego mózgu świat widziany w zerach i jedynkach jest stały i niezależny od punktu odniesienia przyjętego w świecie zewnętrznym. Poprawność tabel zero-jedynkowych dla wszystkich trzech możliwych punktów odniesienia można łatwo sprawdzić w laboratorium techniki cyfrowej.
W ostatnich dwóch kolumnach (świat zewnętrzny) doskonale widać znaczenie zer i jedynek w definicji dowolnego operatora, także w definicji implikacji i równoważności.
Zdanie wypowiedziane traktujemy jako punkt odniesienia przypisując mu wartości logiczne 1 1 =1. Odpowiedni operator logiczny generowany jest przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego jak w definicji symbolicznej.
Z powyższej tabeli mamy:
Y=p+q – dotrzymam słowa (Y), wystąpi prawda
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~p*~q – skłamię (~Y), wystąpi fałsz
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
stąd:
p+q = ~(~p*~q) – prawo de’Morgana
Zauważmy, że zdania w zapisie symbolicznym (pierwsza kolumna) są niezależne od przyjętego punktu odniesienia, są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.
Jest to dowodem zarówno prawa de’Morgana (operatory logiczne) jak i prawa przejścia do logiki przeciwnej (spójniki logiczne)
Definicja operatora logicznego OR:
Operator logiczny OR to złożenie spójnika „lub” (OR) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i” (AND) w logice ujemnej (bo ~Y)
W naturalnej logice człowieka operujemy wyłącznie zapisami symbolicznymi - lewa kolumna w powyższej tabeli.
Przykład który wałkujemy:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Pełna analiza w tabeli prawdy:
[linki]
Doskonale widać wszystkie możliwe punkty odniesienie. Z punktu odniesienia świata zewnętrznego zdanie spełnia definicję sumy logicznej jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie Y=K+T albo iloczynu logicznego jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie ~Y=~K*~T co jest zgodne z użytym operatorem logicznym OR(+) albo AND(*).
Z punktu widzenia naszego mózgu zdania Y=K+T oraz ~Y=~K*~T traktowane są jako dwa odrębne zdania nowo wypowiedziane 1 1 =1.
Analiza symboliczna zdania z punktu odniesienia naszego mózgu.
ZW – zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Y=1<=>K=1 lub T=1
Co w szczegółowej rozpisce matematycznej oznacza:
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
Dotrzymam słowa (Y) jeśli:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
K*T =Y
1 1 =1
LUB
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T= Y
1 0 =1
LUB
C.
Jutro nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T= Y
0 1 =1
Dla zdania wypowiedzianego Y=K+T mamy:
Y=1, ~Y=0
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Stąd powyższe kodowanie zero-jedynkowe
… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem ZW do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~K*~T
Zdanie nowo wypowiedziane ~Y=~K*~T kodujemy matematycznie:
~y=1, Y=0
~K=1, K=0
~T=1, T=0
D.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~K*~T=~Y
1 1 =1
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Zgodność z drugą kolumną tabeli C jest tu 100%.
2.6 Gród krasnoludka Andorka
Analogia do krasnoludka Orandka jest tu 100%.
Prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
p*q = ~(~p+~q)
W technice cyfrowej definicję operatora AND realizuje bramka AND:
[linki]
Tabela prawdy bramki AND:
[linki]
W świecie zewnętrznym układ zastępczy bramki AND jest niemożliwy do rozpoznania. Jeśli mamy czarną skrzynkę z kabelkami wejściowymi p i q oraz kabelkiem wyjściowym Y, to niemożliwe jest stwierdzenie jak układ bramki AND jest realizowany w rzeczywistości.
Jak pracuje krasnoludek Andorek ?
[linki]
Z prawej strony na wyjściu bramki OR widzimy funkcję logiczną w logice ujemnej:
~Y=~K+~T
Funkcja w logice ujemnej jest tu wymuszona przez prawo de’Morgana, które nie może być zgwałcone. To jest bezpośredni dowód poprawności przejścia do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka.
Mamy:
Y=K*T – zdanie wypowiedziane, dotrzymam słowa bo Y
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~K+~T – skłamię bo ~Y
W świecie zewnętrznym na wejścia K i T podajemy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
W komnacie prawdy (lewa strona), funkcja Y jest niezanegowana, na wejściu widzimy bezpośrednio sygnały K i T.
Z prawej strony, po minięciu negatorów mamy dostęp wyłącznie do zanegowanych sygnałów wejściowych K i T, bezwzględne zera i jedynki tez będą tu odwrócone, to jest rzeczywistość którą widzimy z poziomu komnaty fałszu. Komnatę fałszu krasnoludek Andorek rozpoznaje po zanegowanej funkcji logicznej (~Y).
W zerach i jedynkach, Andorek widzi otaczającą go rzeczywistość inaczej niż to widzi człowiek stojący na zewnątrz naszego mózgu, jednak w obu przypadkach zdania wynikłe z definicji operatora AND są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka (analizy I i II niżej).
Analiza I
Punkt odniesienia, krasnoludek Andorek
Y=K*T
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
K*T=Y
1 1 =1
… a kiedy skłamię ?
BX.
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~K+~T=~Y
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru
~K+~T=~Y
1 1 =1
Zdanie BX Andorek traktuje jako nowo wypowiedziane (nowy punkt odniesienia) czyli:
~K=1, K=0
~T=1, T=1
~Y=1, Y=0
Zdanie BX matematycznie równoważne:
~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
czyli:
Skłamię (~Y) jeśli:
B.
nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~K*~T=~Y
1 1 =1
lub
C.
nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=~Y
1 0 =1
lub
D.
pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=~Y
0 1 =1
Tabela zero-jedynkowa widziana oczami Andorka:
[linki]
Układ równań logicznych dla powyższej tabeli:
Y=K*T
~Y=~K+~T
Oczywiście:
Y-dotrzymam słowa # ~Y-skłamię
Z ostatniego równania po dwustronnej negacji mamy:
Y=~(~K+~T)
stąd mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Y=K*T=~(~K+~T)
Zauważmy 100% zgodność tej analizy z powyższym schematem ideowym, tak wygląda świat zewnętrzny widziany oczami naszego mózgu.
Zobaczmy teraz to samo, obserwowane przez zewnętrznego obserwatora.
Analiza II
Punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane):
Y=K*T
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
K*T=Y
1 1 =1
… a kiedy skłamię ?
BX.
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~K+~T=~Y
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru
~K+~T=~Y
W świecie zewnętrznym za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie wypowiedziane A czyli:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0
Zdanie BX matematycznie równoważne:
~Y=~K+~T=~K*~T+~K*T+K*~T
czyli:
Skłamię (~Y) jeśli:
B.
nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~K*~T=~Y
0 0 =0
lub
C.
nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=~Y
0 1 =0
lub
D.
pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=~Y
1 0 =0
Dla kodowania z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu wypowiedzianym A mamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
[linki]
Układ równań logicznych dla powyższej tabeli:
Y=K*T
~Y=~K+~T
Oczywiście:
Y - dotrzymam słowa # ~Y - skłamię
Z ostatniego równania po dwustronnej negacji mamy:
Y=~(~K+~T)
stąd mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Y=K*T=~(~K+~T)
Przyjmijmy teraz za punkt odniesienia zdanie BX z powyższej analizy, to zdanie wypowiadamy jako pierwsze.
Analiza III
Punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane):
~Y=~K+~T
BX.
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru
~K+~T=~Y
1 1 =1
W świecie zewnętrznym za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie wypowiedziane BX czyli:
~K=1, K=0
~T=1, T=0
~Y=1, Y=0
Zdanie BX matematycznie równoważne:
~Y=~K+~T=~K*~T+~K*T+K*~T
czyli:
Skłamię (~Y) jeśli:
B.
nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~K*~T=~Y
1 1 =1
lub
C.
nie pójdę do kina i pójdę do teatru
~K*T=~Y
1 0 =1
lub
D.
pójdę do kina i nie pójdę do teatru
K*~T=~Y
0 1 =1
… a kiedy dotrzymam słowa ?
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Zdanie wypowiedziane:
~Y=~K+~T
stąd:
Y=K*T
czyli:
A.
Dotrzymam słowa (Y), jeśli jutro pójdę do kina i do teatru
K*T=Y
0 0 =0
Doskonale widać tabele zero-jedynkowa operatora OR dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym BX:
~Y=~K+~T
[linki]
Układ równań logicznych dla powyższej tabeli:
Y=K*T
~Y=~K+~T
Oczywiście:
Y-dotrzymam słowa # ~Y-skłamię
Z ostatniego równania po dwustronnej negacji mamy:
Y=~(~K+~T)
stąd mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Y=K*T=~(~K+~T)
Wnioski:
1
W zerach i jedynkach, punkt odniesienia Andorka jest stały i niezmienny, niezależny od punktu odniesienia w świecie zewnętrznym.
2.
Andorek operuje wyłącznie spójnikami logicznymi „i” i „lub” o stałych zero-jedynkowych definicjach, niezależnych od świata zewnętrznego.
Definicja spójnika „i” w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja zero-jedynkowa spójnika ‘i” w logice dodatniej (bo Y) z punktu odniesienia krasnoludka:
[linki]
Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y=1 <=>~p=1 lub ~q=1
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y) z punktu odniesienia krasnoludka.
[linki]
3.
Zauważmy, że układ równań logicznych opisujących wszystkie trzy analizy jest identyczny i niezależny od punktu odniesienia, czyli bez znaczenia jest czy wybierzemy punkt odniesienia I, II czy tez III.
4.
Logika symboliczna w równaniach algebry Kubusia nie zależy od idiotycznych zer i jedynek.
5.
Zera i jedynki generowane na mocy równań algebry Kubusia zależą od przyjętego punktu odniesienia, ale nie mają wpływu na treść zdań, bo wypływają z treści zdań.
6.
We wszystkich trzech analizach I, II, i III zdania składowe są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. Wynika z tego, że analizy I, II, i III są matematycznie równoważne.
7.
Stąd mamy symboliczną definicję operatora AND niezależną od idiotycznych zer i jedynek:
[linki]
Na zakończenie schemat ideowy naszego mózgu dla punktu odniesienia:
~Y=~K+~T
[linki]
Doskonale widać że świat zer i jedynek w świecie zewnętrznym jest niezmienny, na wejściu oraz wyjściu mamy identyczne tabele zero-jedynkowe, to operator OR.
W zerach i jedynkach świat krasnoludka Andorka wygląda inaczej niż świat człowieka, ale w symbolicznych równaniach algebry Kubusia jest identyczny. Doskonale to widać porównując zdania składowe z analiz I (krasnoludek) i III (Człowiek) w analizach wyżej.
Ćwiczenie w laboratorium techniki cyfrowej:
Zbudować powyższe układy z rysunku A i B.
Sprawdzić wszystkie tabele zero-jedynkowe.
Pewne jest, że teoria musi się zgadzać w 100% z rzeczywistością, co jest dowodem istnienia krasnoludka Andorka w naszym mózgu.