polsk riksdag
Bardzo proszę, z tym że nie ograniczymy się wyłącznie do implikacji.
Załatwimy TOTALNIE wszystkie spójniki z naturalnej logiki człowieka!
… zatem po kolei.
1.0 Symboliczna definicja operatora OR
Definicja spójnika żywego:
Spójnik żywy, to spójnik biorący udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
Definicja spójnika martwego:
Spójnik martwy, to spójnik nie biorący udziału w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
Spójnik martwy to zero-jedynkowe uzupełnienie spójnika żywego do pełnego operatora logicznego.
Prawo Bociana:
Tabele symboliczne operatorów logicznych, zawierają wyłącznie spójniki żywe (biorące udział w logice).
[linki]
Kolumny 456 są zanegowanymi kolumnami 123. Z tego powodu nagłówki symboliczne kolumn 456 muszą być zanegowane.
W równaniach algebry Boole’a, zapisanych w postaci alternatywno-koniunkcyjnej, mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek (do stanu neutralnego), w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki.
Dowód:
I.
Algorytm tworzenia równań cząstkowych prof. Newelskiego dla tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
K1: (Krok 1)
Spisujemy z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 dokładnie to co widzimy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y =1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=1
K2: (Krok 2)
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy zmienne wejściowe p i q do jedynek (stanu neutralnego).
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Y =1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1
K3: (Krok 3)
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, zawsze możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące tabelę zero-jedynkową ABCD123:
Y = Ya + Yb + Yc
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y =1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1
II.
Algorytm tworzenia równań cząstkowych prof. Newelskiego dla tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
K1: (Krok 1)
Spisujemy z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 dokładnie to co widzimy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
~Y =1 <=> D: ~p=1 i ~q=1
K2: (Krok 2)
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy zmienne wejściowe p i q do jedynek (stanu neutralnego). Tu nie mamy nic do roboty.
K3: (Krok 3)
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, zawsze możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące tabelę zero-jedynkową ABCD456:
~Y = ~Yd
~Y = D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y =1 <=> D: ~p=1 i ~q=1
Prawo sfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku.
Dowód wyżej.
Linie z zerami w wyniku (=0) nie biorą udziału w logice, są wyłącznie uzupełnieniem obszaru żywego (=1) do pełnego operatora logicznego.
Spójnik żywy „lub”(+) w tabeli ABCD123 to wyłącznie obszar ABC123
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Spójnik żywy „i”(*) w tabeli ABCD456 to wyłącznie linia D456
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Obszar ABCabc
Definicja spójnika żywego „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) odczytana z tabeli ABCabc:
W1.
Y=Ya+Yb+Yc
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Symboliczna definicja spójnika żywego „lub”(+) to obszar ABCabc, natomiast jego kodowanie zero-jedynkowe to obszar ABC123.
Minimalizujemy równanie W1.
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q
U: ~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
W: Y = p+q
Stąd otrzymujemy równanie spójnika żywego „lub”(+) po minimalizacji:
W: Y = p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Widać to doskonale w obszarze ABC123.
Linia Ddef
Definicja spójnika żywego „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~Yd = ~p*~q
U.
~Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „lub”(+) po minimalizacji (obszar ABC123):
W: Y=p+q
Równanie tożsame wyprowadzone bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej ABC123:
W1: Y = p*q + p*~q + ~p*q
Matematycznie zachodzi:
W: Y = W1: Y
stąd mamy pełną definicję spójnika żywego „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Doskonale widać, że operator OR nie jest jednolity.
Operator OR to złożenie spójnika żywego „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem żywym „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Pełna, symboliczna definicja operatora OR.
[linki]
W równaniach algebry Boole’a zapisanych w postaci alternatywno-koniunkcyjnej wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek (do stanu neutralnego). W zerach i jedynkach w powyższej tabeli nie ma żadnej logiki.
Uproszczona, symboliczna definicja operatora OR to układ równań logicznych W i U po minimalizacji.
[linki]
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q = ~(~p*~q)
Podobnie:
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia.
~Y = ~(Y)
Podstawiając U i W mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y:
~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Przykład:
Tata do Jasia (lat 5):
W.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Jaś (lat 5):
Tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
Tata:
D.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~Y=~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1).
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1).
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce (K=1 lub T=1) i już tata dotrzyma słowa (Y=1).
Y=K+T
Stąd mamy:
Y = K*T + K*~T + ~K*T
Wszystkie możliwe przypadki w których tata dotrzyma słowa (Y=1) to:
A: K*T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: K*~T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Porównajmy to z definicją formalną spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) wyprowadzoną wyżej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Doskonale widać, że definicji algebry Kubusia nie musimy uczyć się na pamięć bo to jest naturalna logika człowieka, logika 5-cio latka. Dotyczy to wszelkich definicji algebry Kubusia.
Jaś:
Tata, a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru?
Tata:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y = K+T = ~(~K*~T) - tata dotrzyma słowa (prawo De Morgana)
Zauważmy, że w powyższej tożsamości punktem odniesienia jest zdanie:
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Jak sprawdzić poprawność takiej tożsamości logicznej?
Prawo Kangura:
Punktem odniesienia dla równań w logice dodatniej (Y=1) lub logice ujemnej (~Y=1) jest równanie logiczne bez wymuszonych nawiasów.
Wartościowanie zero-jedynkowe:
Wspólny punkt odniesienia ustalamy na nazwach zmiennych. Korzystając z nawiasów i prawa podwójnego przeczenia doprowadzamy do zgodności sygnałów po obu stronach tożsamości logicznej. W tym przypadku nazwy po obu stronach tożsamości logicznej są identyczne, migają nam zera i jedynki.
Nasz przykład:
Y = K+T = ~(~K*~T)
Punktem odniesienia w powyższym równaniu jest równanie Y=K+T gdzie mamy pewność iż wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do jedynek (do stanu neutralnego):
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Korzystając z nawiasów i prawa podwójnego przeczenia (tu nie ma potrzeby) wyodrębniamy identyczne zmienne po obu stronach tożsamości zgodnie z punktem odniesienia (Y=K+T):
Y = K+T = ~[~(K)*~(T)]
Dopiero teraz wartościujemy.
Wartościowanie 1
Dla K=1 i T=1 mamy:
Y = K+T = ~[~(K)*~(T)]
Y = 1+1 = ~[~(1)*~(1)] = ~[0*0] = ~[0] =1 - tata dotrzyma słowa
Wartościowanie 2
Dla K=1 i T=0 mamy:
Y = K+T = ~[~(K)*~(T)]
Y = 1+0 = ~[~(1)*~(0)] = ~[0*1] = ~[0] =1 - tata dotrzyma słowa
Wartościowanie 3
Dla K=0 i T=1 mamy:
Y = K+T = ~[~(K)*~(T)]
Y = 0+1 = ~[~(0)*~(1)] = ~[1*0] = ~[0] =1 - tata dotrzyma słowa
Wartościowanie 4
Dla K=0 i T=0 mamy:
Y = K+T = ~[~(K)*~(T)]
Y = 0+0 = ~[~(0)*~(0)] = ~[1*1] = ~[1] =0 - tata skłamie
Prawo Kangura:
Punktem odniesienia dla równań w logice dodatniej (Y=1) lub logice ujemnej (~Y=1) jest równanie logiczne bez wymuszonych nawiasów.
Wartościowanie symboliczne:
Wspólny punkt odniesienia ustalamy na wartości neutralnej (=1) w równaniu odniesienia. W tym przypadku na wejściach p i q w równaniu logicznym mamy zawsze stałe wartości logiczne (=1), migają nam przeczenia przy nazwach zmiennych. Korzystamy tu z nawiasów i prawa podwójnego przeczenia doprowadzając do zgodności logicznej zmiennych p i q po obu stronach tożsamości.
Nasz przykład:
W.
Y = K+T = ~(~K*~T)
Punkt odniesienia:
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wartościowanie symboliczne 1
A: K*T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Mamy:
K=1, T=1
Korzystając z prawa podwójnego przeczenia i nawiasów doprowadzamy do zgodności logicznej z powyższymi zmiennymi:
Y = K+T = ~(~K*~T)
Y = K+T = ~[~(K) * ~(T)]
Dopiero teraz podstawiamy:
K=1, T=1
Y = K+T =1 - tata dotrzyma słowa
Y = ~[~(K) * ~(T)]
Y = ~[~(1)*~(1)] = ~[0*0] = ~[0] =1 - tata dotrzyma słowa
Wartościowanie symboliczne 2
B: K*~T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Korzystając z prawa podwójnego przeczenia i nawiasów doprowadzamy do zgodności logicznej z powyższymi zmiennymi:
Y = K+T = ~(~K*~T)
Y = K+~(~T) = ~[~(K)*~T]
Dopiero teraz podstawiamy:
K=1, ~T=1
Y = K+~(~T)
Y = 1+~(1) = 1+0 =1 - tata dotrzyma słowa
Y= ~[~(K)*~T]
Y = ~[~(1)*1] = ~[0*1] =~[0] =1 - tata dotrzyma słowa
Wartościowanie symboliczne 3
C: ~K*T = 1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Mamy:
~K=1, T=1
Korzystając z prawa podwójnego przeczenia i nawiasów doprowadzamy do zgodności logicznej z powyższymi zmiennymi:
Y = K+T = ~(~K*~T)
Y = ~(~K)+T = ~[~K * ~(T)]
Dopiero teraz podstawiamy:
~K=1, T=1
Y = ~(~K)+T = ~(1)+1 = 0+1 =1 - tata dotrzyma słowa
Y = ~[~K * ~(T)]
Y = ~[1*~(1)] = ~[1*0] = ~[0] =1 - tata dotrzyma słowa
Wartościowanie symboliczne 4
D: ~Y=~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1).
Korzystając z prawa podwójnego przeczenia i nawiasów doprowadzamy do zgodności logicznej z powyższymi zmiennymi:
Y = K+T = ~(~K*~T)
Y = ~(~K)+~(~T) = ~[~K*~T]
Dopiero teraz podstawiamy:
~K=1, ~T=1
Y = ~(~K)+~(~T)
Y = ~(1)+~(1) = 0+0 =0 - tata skłamie
Y= ~[~K*~T]
Y = ~[1*1] = ~[1] =0 - tata skłamie
Matematyczne dialogi 5-cio latka:
Tata:
W.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Jaś (lat 5):
Tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
Tata:
U.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Jaś:
Tata, czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)?
Tata:
W1.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Y = K+T = ~(~K*~T)
Jaś:
Tata, a czy może się zdarzyć, że jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T) i skłamiesz?
Tata:
U1.
~Y=~K*~T = ~(K+T)
Jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru to skłamię (~Y)
~(K+T) =>~Y
Zdanie w drugą stronę także jest prawdziwe:
Jeśli skłamię to na pewno => nie zdarzy się ~(..), że jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru
~Y=>~(K+T)
Rozważmy wartościowanie ostatniego zdania:
~Y=~K*~T = ~(K+T)
Prawo Kangura:
Punktem odniesienia dla równań w logice dodatniej (Y=1) lub logice ujemnej (~Y=1) jest równanie logiczne bez wymuszonych nawiasów.
Wartościowanie zero-jedynkowe:
Wspólny punkt odniesienia ustalamy na nazwach zmiennych. Korzystając z nawiasów i prawa podwójnego przeczenia doprowadzamy do zgodności sygnałów po obu stronach tożsamości logicznej. W tym przypadku nazwy po obu stronach tożsamości logicznej są identyczne, migają nam zera i jedynki.
Nasze równanie:
~Y=~K*~T = ~(K+T)
Punktem odniesienia w powyższym równaniu jest równanie ~Y=~K*~T gdzie mamy pewność, iż wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do jedynek (do stanu neutralnego):
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Korzystając z nawiasów i prawa podwójnego przeczenia (tu nie ma potrzeby) wyodrębniamy identyczne zmienne po obu stronach tożsamości zgodnie z punktem odniesienia (~Y=~K*~T):
~Y = ~K*~T = ~[~(~K) + ~(~T)]
Dopiero teraz wartościujemy.
Wartościowanie 1
Dla ~K=1 i ~T=1 mamy:
~Y = ~K*~T = ~[~(~K)+~(~T)]
~Y = 1*1 = ~[~(1)+~(1)] = ~[0+0] = ~[0] =1 - tata skłamie
Wartościowanie 2
Dla ~K=1 i ~T=0 mamy:
~Y = ~K*~T = ~[~(~K)+~(~T)]
~Y = 1*0 = ~[~(1)+~(0)] = ~[0+1] = ~[1] =0 - tata dotrzyma słowa
Wartościowanie 3
Dla ~K=0 i ~T=1 mamy:
~Y = ~K*~T = ~[~(~K)+~(~T)]
~Y = 0*1 = ~[~(0)+~(1)] = ~[1+0] = ~[1] =0 - tata dotrzyma słowa
Wartościowanie 4
Dla ~K=0 i ~T=0 mamy:
~Y = ~K*~T = ~[~(~K)+~(~T)]
~Y = 0*0 = ~[~(0)+~(0)] = ~[1+1] = ~[1] =0 - tata dotrzyma słowa
II Prawo Prosiaczka
Prawda (=1) w logice ujemnej (~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej
(~Y=1) = (Y=0)
I Prawo Prosiaczka
Fałsz (=0) w logice ujemnej (~Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice dodatniej (Y)
(~Y=0) = (Y=1)
Stąd taka a nie inna interpretacja wynikowych 0 i 1 w wartościowaniu równania zapisanego w logice ujemnej (~Y).
Twierdzenie Wieloryba
Rozróżniania logiki dodatniej (Y) i ujemnej (~Y) w logice matematycznej jest warunkiem koniecznym jednoznaczności logiki matematycznej.
Dowód:
Przypadek 1.
Tata może wypowiedzieć zdanie:
W1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
… kiedy tata skłamie?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
U1.
Tata skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Przypadek 2.
Równie dobrze tata może wypowiedzieć zdanie:
W2.
Jutro nie pójdziemy ani do kina (~K=1), ani do teatru (~T=1)
Y = ~K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
… kiedy tata skłamie?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~Y=K+T
U2.
Tata skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=K+T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Zauważmy, że bez rozróżniania logiki dodatniej (Y) i ujemnej (~Y) logika matematyczna nie jest jednoznaczna bo:
Zapisuję równanie:
K+T
Konia z rzędem temu kto zawsze i w 100% zgadnie czy chodzi tu o funkcję w logice dodatniej:
W1: Y=1 - dotrzymam słowa
czy też o funkcję w logice ujemnej:
U2: ~Y=1 - skłamię
dnia Sob 13:15, 21 Lut 2015, w całości zmieniany 12 razy
Bardzo proszę, z tym że nie ograniczymy się wyłącznie do implikacji.
Załatwimy TOTALNIE wszystkie spójniki z naturalnej logiki człowieka!
… zatem po kolei.
2.0 Symboliczna definicja operatora AND
Definicja spójnika żywego:
Spójnik żywy, to spójnik biorący udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
Definicja spójnika martwego:
Spójnik martwy, to spójnik nie biorący udziału w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
Spójnik martwy to zero-jedynkowe uzupełnienie spójnika żywego do pełnego operatora logicznego.
Prawo Bociana:
Tabele symboliczne operatorów logicznych, zawierają wyłącznie spójniki żywe (biorące udział w logice).
[linki]
Kolumny 456 są zanegowanymi kolumnami 123. Z tego powodu nagłówki symboliczne kolumn 456 muszą być zanegowane.
W równaniach algebry Boole’a, zapisanych w postaci alternatywno-koniunkcyjnej, mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek (do stanu neutralnego), w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki.
Dowód:
I.
Algorytm tworzenia równań cząstkowych prof. Newelskiego dla tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
K1: (Krok 1)
Spisujemy z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 dokładnie to co widzimy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y =1 <=> A: p=1 i q=1
K2: (Krok 2)
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy zmienne wejściowe p i q do jedynek (stanu neutralnego). Tu nie mamy nic do roboty.
K3: (Krok 3)
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, zawsze możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące tabelę zero-jedynkową ABCD123:
Y = Ya
Y = A: p*q
co matematycznie oznacza:
Y =1 <=> A: p=1 i q=1
II.
Algorytm tworzenia równań cząstkowych prof. Newelskiego dla tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
K1: (Krok 1)
Spisujemy z tabeli zero-jedynkowej ABCD456 dokładnie to co widzimy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
~Y =1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i ~q=0 lub D: ~p=0 i ~q=1
K2: (Krok 2)
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy zmienne wejściowe p i q do jedynek (stanu neutralnego).
Prawo Prosiaczka:
(~p=0) = (p=1)
~Y =1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1
K3: (Krok 3)
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, zawsze możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące tabelę zero-jedynkową ABCD456:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
~Y = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y =1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1
Prawo sfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku.
Dowód wyżej.
Linie z zerami w wyniku (=0) nie biorą udziału w logice, są wyłącznie uzupełnieniem obszaru żywego (=1) do pełnego operatora logicznego.
Spójnik żywy „i”(*) w tabeli ABCD123 to wyłącznie linia A123
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Spójnik żywy „lub”(+) w tabeli ABCD456 to wyłącznie obszar BCD456
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Linia Aabc
Definicja spójnika żywego „i”(*) w logice dodatniej (bo Y), linia Aabc:
W.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Symboliczną definicję spójnika żywego „i”(*) widzimy w linii Aabc, natomiast jego kodowanie zero-jedynkowe to linia A123.
Obszar BCDdef
Definicja spójnika żywego „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
U1.
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1
Symboliczna definicja spójnika żywego „lub”(+) to obszar BCDdef, natomiast jego kodowanie zero-jedynkowe to obszar BCD456.
Minimalizujemy równanie U1.
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y = ~p*(~q+q) + p*~q
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
W: Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
U:~Y=~p+~q
Stąd otrzymujemy równanie spójnika żywego „lub”(+) po minimalizacji:
U: ~Y = ~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Widać to doskonale w obszarze BCD456.
Równanie tożsame wyprowadzone bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej BCD456:
U1: ~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Matematycznie zachodzi:
U:~Y = U1:~Y
stąd mamy pełną definicję spójnika żywego „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Doskonale widać, że operator AND nie jest jednolity.
Operator AND to złożenie spójnika żywego „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem żywym „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
Pełna, symboliczna definicja operatora AND.
[linki]
W równaniach algebry Boole’a zapisanych w postaci alternatywno-koniunkcyjnej wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek (do stanu neutralnego). W zerach i jedynkach w powyższej tabeli nie ma żadnej logiki.
Uproszczona, symboliczna definicja operatora AND to układ równań logicznych W i U po minimalizacji.
[linki]
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y = p*q = ~(~p+~q)
Podobnie:
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia.
~Y = ~(Y)
Podstawiając U i W mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y:
~Y = ~p+~q = ~(p*q)
Przykład:
Tata do Jasia (lat 5):
W.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Jaś (lat 5):
Tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Tata:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1).
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1).
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) wystarczy że nie pójdziemy w dowolne miejsce (~K=1 lub ~T=1) i już tata skłamie (~Y=1).
~Y=~K+~T
Stąd mamy:
~Y=~K*~T + ~K*~(~T) +~(~K)*~T
Korzystając z prawa podwójnego przeczenia mamy:
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
Wszystkie możliwe przypadki w których tata skłamie (~Y=1) to:
B: ~K*~T = 1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
D: K*~T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Porównajmy to z definicją formalną spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) wyprowadzoną wyżej:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Doskonale widać, że definicji algebry Kubusia nie musimy uczyć się na pamięć bo to jest naturalna logika człowieka, logika 5-cio latka. Dotyczy to wszelkich definicji algebry Kubusia.
Jaś:
Tata, a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru?
Tata:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y = K*T = ~(~K+~T) - tata dotrzyma słowa (prawo De Morgana)
Zauważmy, że prawa strona powyższej tożsamości nie jest postacią alternatywno-koniunkcyjną, zatem zmienne z prawej strony ~K i ~T nie są sprowadzone do jedynek (wartości neutralnej)
Jak sprawdzić poprawność takiej tożsamości logicznej?
Prawo Kangura:
Punktem odniesienia dla równań w logice dodatniej (Y=1) lub logice ujemnej (~Y=1) jest równanie logiczne bez wymuszonych nawiasów.
Wartościowanie zero-jedynkowe:
Wspólny punkt odniesienia ustalamy na nazwach zmiennych. Korzystając z nawiasów i prawa podwójnego przeczenia doprowadzamy do zgodności sygnałów po obu stronach tożsamości logicznej. W tym przypadku nazwy po obu stronach tożsamości logicznej są identyczne, migają nam zera i jedynki.
Nasz przykład:
Y = K*T = ~(~K+~T)
Punktem odniesienia w powyższym równaniu jest równanie alternatywno-koniunkcyjne (Y=K*T) gdzie mamy pewność iż wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do jedynek (do stanu neutralnego):
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Korzystając z nawiasów i prawa podwójnego przeczenia (tu nie ma potrzeby) wyodrębniamy identyczne zmienne po obu stronach tożsamości zgodnie z punktem odniesienia (Y=K*T):
Y = K*T = ~[~(K)+~(T)]
Dopiero teraz wartościujemy.
Wartościowanie 1
Dla K=1 i T=1 mamy:
Y = K*T = ~[~(K)+~(T)]
Y = 1*1 = ~[~(1)+~(1)] = ~[0+0] = ~[0] =1 - tata dotrzyma słowa
Wartościowanie 2
Dla K=0 i T=0 mamy:
Y = K*T = ~[~(K)+~(T)]
Y = 0*0 = ~[~(0)+~(0)] = ~[1+1] = ~[1] =0 - tata skłamie
Wartościowanie 3
Dla K=0 i T=1 mamy:
Y = K*T = ~[~(K)+~(T)]
Y = 0*1 = ~[~(0)+~(1)] = ~[1+0] = ~[1] =0 - tata skłamie
Wartościowanie 4
Dla K=0 i T=0 mamy:
Y = K*T = ~[~(K)+~(T)]
Y = 0*0 = ~[~(0)+~(0)] = ~[1+1] = ~[1] =0 - tata skłamie
Prawo Kangura:
Punktem odniesienia dla równań w logice dodatniej (Y=1) lub logice ujemnej (~Y=1) jest równanie logiczne bez wymuszonych nawiasów.
Wartościowanie symboliczne:
Wspólny punkt odniesienia ustalamy na wartości neutralnej (=1) w równaniu odniesienia. W tym przypadku na wejściach p i q w równaniu logicznym mamy zawsze stałe wartości logiczne (=1), migają nam przeczenia przy nazwach zmiennych. Korzystamy tu z nawiasów i prawa podwójnego przeczenia doprowadzając do zgodności logicznej zmiennych p i q po obu stronach tożsamości.
Nasz przykład:
W.
Y = K*T = ~(~K+~T)
Punkt odniesienia:
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Wartościowanie symboliczne 1
A: K*T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Mamy:
K=1, T=1
Korzystając z prawa podwójnego przeczenia i nawiasów doprowadzamy do zgodności logicznej z powyższymi zmiennymi:
Y = K*T = ~(~K+~T)
Y = K*T = ~[~(K) + ~(T)]
Dopiero teraz podstawiamy:
K=1, T=1
Y = K*T = 1*1 = 1*1 =1 - tata dotrzyma słowa
Y = ~[~(K) + ~(T)]
Y = ~[~(1)+~(1)] = ~[0+0] = ~[0] =1 - tata dotrzyma słowa
Wartościowanie symboliczne 2
B: ~K*~T = 1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Korzystając z prawa podwójnego przeczenia i nawiasów doprowadzamy do zgodności logicznej z powyższymi zmiennymi:
Y = K*T = ~(~K+~T)
Y = ~(~K)*~(~T) = ~[~K+~T]
Dopiero teraz podstawiamy:
~K=1, ~T=1
Y = ~(~K)*~(~T)
Y = ~(1)*~(1) = 0*0 =0 - tata skłamie
Y= ~[~K+~T]
Y = ~[1+1] = ~[1] =0 - tata skłamie
Wartościowanie symboliczne 3
C: ~K*T = 1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Mamy:
~K=1, T=1
Korzystając z prawa podwójnego przeczenia i nawiasów doprowadzamy do zgodności logicznej z powyższymi zmiennymi:
Y = K*T = ~(~K+~T)
Y = ~(~K)*T = ~[~K + ~(T)]
Dopiero teraz podstawiamy:
~K=1, T=1
Y = ~(~K)*T = ~(1)*1 = 0*1 =0 - tata skłamie
Y = ~[~K + ~(T)]
Y = ~[1+~(1)] = ~[1+0] = ~[1] =0 - tata skłamie
Wartościowanie symboliczne 4
D: K*~T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Korzystając z prawa podwójnego przeczenia i nawiasów doprowadzamy do zgodności logicznej z powyższymi zmiennymi:
Y = K*T = ~(~K+~T)
Y = K*~(~T) = ~[~(K)+~T]
Dopiero teraz podstawiamy:
K=1, ~T=1
Y = K*~(~T)
Y = 1*~(1) = 1*0 =0 - tata skłamie
Y= ~[~(K)+~T]
Y = ~[~(1)+1] = ~[0+1] = ~[1] =0 - tata skłamie
Matematyczne dialogi 5-cio latka:
Tata:
W.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
Jaś (lat 5):
Tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Tata:
U.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Jaś:
Tata, czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)?
Tata:
W1.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Y = K*T = ~(~K+~T)
Jaś:
Tata, a czy może się zdarzyć, że jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T) i skłamiesz?
Tata:
U1.
~Y=~K+~T = ~(K*T)
Jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru to skłamię (~Y)
~(K*T) =>~Y
Zdanie w drugą stronę także jest prawdziwe:
Jeśli skłamię to na pewno => nie zdarzy się ~(..), że jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru
~Y=>~(K*T)
Rozważmy wartościowanie ostatniego zdania:
U1: ~Y=~K+~T = ~(K*T)
Prawo Kangura:
Punktem odniesienia dla równań w logice dodatniej (Y=1) lub logice ujemnej (~Y=1) jest równanie logiczne bez wymuszonych nawiasów.
Wartościowanie zero-jedynkowe:
Wspólny punkt odniesienia ustalamy na nazwach zmiennych. Korzystając z nawiasów i prawa podwójnego przeczenia doprowadzamy do zgodności sygnałów po obu stronach tożsamości logicznej. W tym przypadku nazwy po obu stronach tożsamości logicznej są identyczne, migają nam zera i jedynki.
Nasze równanie:
~Y=~K+~T = ~(K*T)
Punktem odniesienia w powyższym równaniu jest równanie ~Y=~K*~T gdzie mamy pewność, iż wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do jedynek (do stanu neutralnego):
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Korzystając z nawiasów i prawa podwójnego przeczenia (tu nie ma potrzeby) wyodrębniamy identyczne zmienne po obu stronach tożsamości zgodnie z punktem odniesienia (~Y=~K+~T):
~Y = ~K+~T = ~[~(~K) * ~(~T)]
Dopiero teraz wartościujemy.
Wartościowanie 1
Dla ~K=1 i ~T=1 mamy:
~Y = ~K+~T = ~[~(~K)*~(~T)]
~Y = 1+1 = ~[~(1)*~(1)] = ~[0*0] = ~[0] =1 - tata skłamie
Wartościowanie 2
Dla ~K=1 i ~T=0 mamy:
~Y = ~K+~T = ~[~(~K)*~(~T)]
~Y = 1+0 = ~[~(1)*~(0)] = ~[0*1] = ~[0] =1 - tata skłamie
Wartościowanie 3
Dla ~K=0 i ~T=1 mamy:
~Y = ~K+~T = ~[~(~K)*~(~T)]
~Y = 0+1 = ~[~(0)*~(1)] = ~[1*0] = ~[0] =1 - tata skłamie
Wartościowanie 4
Dla ~K=0 i ~T=0 mamy:
~Y = ~K+~T = ~[~(~K)*~(~T)]
~Y = 0+0 = ~[~(0)*~(0)] = ~[1*1] = ~[1] =1 - tata dotrzyma słowa
II Prawo Prosiaczka
Prawda (=1) w logice ujemnej (~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej
(~Y=1) = (Y=0)
I Prawo Prosiaczka
Fałsz (=0) w logice ujemnej (~Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice dodatniej (Y)
(~Y=0) = (Y=1)
Stąd taka a nie inna interpretacja 0 i 1 w wartościowaniu równania zapisanego w logice ujemnej (~Y). dnia Pon 18:58, 02 Lut 2015, w całości zmieniany 3 razy
Historyczne przełomy w algebrze Kubusia
Kopernik:
Zatrzymal slońce ruszył Ziemię
Kubuś:
Zatrzymał szalejące zera i jedynki - w definicjach symbolicznych mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek ( do stanu neutralnego)
… ruszył zmienne!
W algebrze Kubusia nie ma żadnej logiki zero-jedynkowej (bo wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek - do stanu neutralnego), w definicjach symbolicznych migają nam przeczenia przy zmiennych!
Jaka jest różnica miedzy Kopernikiem a Kubusiem?
Odkrycie Kopernika wcześniej czy później musiałoby nastąpić, natomiast odkrycie Kubusia NIE musiało nastąpić.
Algebra Kubusia to niesamowity zbieg szczęśliwych okoliczności, poczynając od momentu narodzin Kubusia który urodził się równo z narodzinami techniki cyfrowej (bramki logiczne, mikroprocesory) po fenomenalne forum Wuja Zbója śfinia.fora.pl gdzie na mocy regulaminu istnieje zakaz banowania kogokolwiek, na Wielkim Inkwizytorze Fizyku kończąc, który gdyby się dorwał do adminowania forum ateista.pl przed przybyciem Kubusia zabiłby wszystko: Kubusia (niewinnego noworodka jeszcze w łonie matki natury) oraz kluczowych partnerów w dwuletniej dyskusji na ateiście.pl w wątku NTI (Fizyk, Windziarz, Sogors, Quebab) bo do takiej dyskusji nigdy by nie doszło. Oczywiście nie byłoby wówczas kluczowego partnera w dyskusji o algebrze Kubusia, Fiklita, przybyłego z matematyki.pl.
Kluczowa dyskusja na ateiście.pl jest tu:
http://www.ateista.pl/showpost.php?p=290441&postcount=1
Dlaczego ta dyskusja była Kluczowa:
… bo Kubuś broniąc swojej Idei, logiki matematycznej wszystkich 5-cio latków i humanistów, poznawał przy okazji całą głupotę logiki „matematycznej” Ziemian. Prawie 3000 postów napisanych w ciągu 2 lat sprawiło, że Kubuś był gotowy do kluczowej dyskusji wszech czasów z Fiklitem.
Fizyku, gdy zamykałeś watek NTI było 40tys wyświetleń, teraz jest 145tys … nadal będziesz uprawiał swoje „pierzenie kotka za pomocą młotka” iż algebra Kubusia do niebotyczne brednie (określenie Idioty - prawej ręki Fizyka)
Fizyku:
Czy zgadzasz się z powyższym?
Jeszcze nie jest za późno by po prostu powiedzieć: przepraszam
… na to słówko nigdy nie jest za późno.
Część I.
Temat:
Operator chaosu i operator śmierci
4.0 Zdania typu „Jeśli p to q”
Definicja logiki w algebrze Kubusia:
Logika to matematyczny opis nieznanego np. nieznanej przyszłości lub nieznanej przeszłości
Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy.
Ogólna definicja zdań typu:
Jeśli p to q
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
W naturalnej logice człowieka (także w matematyce ścisłej) przyjęły się nazwy:
p - poprzednik
q - następnik
Na zdania typu „Jeśli p to q” można spojrzeć z dwóch różnych punktów odniesienia.
Spojrzenie I
Logika matematyczna w zdaniach typu „Jeśli p to q” odpowiada na pytania:
Co się stanie jeśli zajdzie poprzednik p (p=1)?
lub
Co się stanie jeśli zajdzie poprzednik ~p (~p=1)?
Oczywiście przy okazji określa się tu również prawdziwość/fałszywość zdań wyrażonych spójnikami implikacyjnymi (=>, ~> i ~~>) występującymi wyłącznie w zdaniach typu „Jeśli p to q”.
Definicje:
1.
=> - spójnik „na pewno”, warunek wystarczający
Zbiór na podstawie wektora => zwiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Zdanie tożsame:
Zbiór na podstawie wektora => jest podzbiorem zbioru wskazywanego przez strzałkę wektora =>
2.
~> - spójnik „może”, warunek konieczny
Zbiór na podstawie wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Zdanie tożsame:
Zbiór na podstawie wektora ~> jest nadzbiorem zbioru wskazywanego przez strzałkę wektora ~>
3.
~~> - naturalny spójnik „może”
Zbiór na podstawie wektora ~~> ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Z powyższego wynikają tożsamości matematyczne:
p=>q
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q = zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q = zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Spojrzenie II.
Logika matematyczna w zdaniach „Jeśli p to q” odpowiada również na pytanie:
Kiedy zdanie „Jeśli p to q” wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*) będzie prawdziwe/fałszywe.
To są dwa różne spojrzenia na zdania typu „Jeśli p to q” których nie należy mieszać, oba są matematycznie poprawne.
Aksjomatyka algebry Kubusia:
Aksjomatyka algebry Kubusia to tabele zero-jedynkowe odpowiednich operatorów logicznych z których wyprowadzamy definicje symboliczne tych operatorów.
[linki]
[linki]
Definicja maszynowa operatora logicznego:
Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia [0,1] na wejściach p i q.
Z tej definicji wynika różność na mocy definicji wszystkich operatorów wyżej:
OR ## ~(OR) ## AND ## ~(AND) ## <=> ## ~(<=>) ## |=> ## ~(|=>) ## |~> ##~(|~>) ## |~~> ## ~(|~~>) etc
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Aksjomatyka algebry Kubusia nie ma nic wspólnego z jakimkolwiek ziemskim językiem. Nie są nam potrzebne żadne pojęcia typu „zdanie”, „zdanie prawdziwe”, „zdanie fałszywe” etc. znane z Klasycznego Rachunku Zdań czy też z Rachunku Predykatów.
W algebrze Kubusia najpierw wyprowadzamy definicje symboliczne operatorów logicznych na bazie nowej teorii zbiorów, a dopiero później sprawdzamy, iż pasują one idealnie do naturalnej logiki człowieka, czyli logiki wszystkich 5-cio latków i humanistów.
4.1 Operator chaosu
Wyprowadzenie symbolicznej definicji operatora chaosu z definicji zero-jedynkowej.
[linki]
Algorytm tworzenia równań cząstkowych prof. Newelskiego:
K1: (Krok 1)
Spisujemy z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 dokładnie to co widzimy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y =1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C:p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1
K2: (Krok 2)
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy zmienne wejściowe p i q do jedynek (stanu neutralnego).
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Y =1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
K3: (Krok 3)
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, zawsze możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące tabelę zero-jedynkową ABCD123:
Y = Ya + Yb + Yc + Yd
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y =1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Minimalizujemy równanie K3:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*(~q+q)
Y = p+~p =1
Jak widzimy matematycznie wszystko się zgadza, w wyniku mamy same jedynki.
Równanie K3 w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisuje wszystkie możliwe sytuacje jakie mogą wystąpić.
Z tabeli symbolicznej operatora chaosu (ABCD456) wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) widzimy że:
Linie AB45:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść cokolwiek q lub ~q
Linie CD45:
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść cokolwiek ~q lub q
W przełożeniu na zbiory oznacza to że zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim.
Dlaczego?
Gdyby zbiór p zawierał się w zbiorze q (lub odwrotnie) to na pewno zachodziłoby:
B: p*~q =0 lub D: ~p*q =0
co zobaczymy w implikacji i równoważności za chwilę.
Stąd mamy:
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
Definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach:
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się => w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)
Definicja tożsama:
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie jest podzbiorem => drugiego
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)
Znaczenie członów po prawej stronie:
1.
Zbiór na podstawie wektora ~~> ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q
2.
Zbiór p nie zawiera się => w zbiorze q
~(p=>q)
Nie jest prawdą ~(), że zbiór p zawiera się => w zbiorze q
Nie jest prawdą ~(), że zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
3.
Zbiór q nie zawiera się => z zbiorze p
~(q=>p)
Nie jest prawdą ~(), że zbiór q zawiera się => w zbiorze p
Nie jest prawdą ~(), że zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
Wszystkie zmienne w symbolicznej definicji operatora chaosu (ABCD789) mamy sprowadzone do jedynek (do stanu neutralnego), co wynika z techniki tworzenia równań cząstkowych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową (równania prof. Newelskiego).
W zdaniach „Jeśli p to q” (tabela ABCD789) opisanych spójnikami implikacyjnymi (=>, ~>, ~~>) nie zamieniamy na postać symboliczną wynikowych zer i jedynek, co widać w powyższej tabeli. Wolno nam tak zrobić, gdyż prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.
W zdaniach „Jeśli p to q” interesuje nas przede wszystkim, co się stanie jeśli zajdzie p, a co się stanie jeśli zajdzie ~p. To jest fundamentalnie inna informacja niż w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) gdzie interesowało nas wyłącznie które zdania są prawdziwe (Y=1), a które fałszywe (~Y=1)
Prawo Termita dla operatora chaosu:
Operator chaosu dzieli dziedzinę na której operuje zdanie „Jeśli p to q” na cztery i tylko cztery zbiory niepuste i rozłączne.
Wszystkie możliwe zbiory dla operatora dwuargumentowego to:
A: p*q
B: p*~q
C: ~p*~q
D: ~p*q
Z powyższego wynika, że nie ma zbiorów pustych w operatorze chaosu.
Prawo Mrówki dla operatora chaosu:
Y = (p|~~>q) = Ya+Yb+Yc+Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Zdanie p~~>q wchodzi w skład operatora chaosu |~~> wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory A, B, C i D wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*) w powyższym równaniu są niepuste i rozłączne, zaś ich suma logiczna jest dziedziną na której operuje zdanie p~~>q.
Prawo Mrówkojada dla operatora chaosu:
Y = (p|~~>q) = Ya+Yb+Yc+Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Zdanie p~>q wchodzi w skład operatora chaosu |~> wtedy i tylko wtedy gdy pokażemy po jednym elemencie zbiorów A, B, C i D.
Prawo Mrówki i prawo Mrówkojada można wykorzystać do rozstrzygania czy zdanie p~~>q wchodzi w skład operatora chaosu.
Prawo Mrówkojada jest prostszym sposobem udowodnienia iż zdanie p~~>q wchodzi w skład operatora chaosu.
Prawa Mrówki i Mrówkojada wynikają z definicji operatora chaosu w zbiorach.
Przykład:
Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Przyjmujemy dziedzinę dla zdania A:
LN = [1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Dziedzina dla operatora chaosu opisana jest wzorem:
p|~~>q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
nasz przykład:
P8|~~>P3 = A: P8*P3 + B: P8*~P3 + C: ~P8*~P3 + D: ~P8*P3
Obliczamy wszystkie potrzebne zbiory A, B, C i D
P8=[8,16,24..]
P3=[3,6,9..]
~P8 = LN-P8 = [1,2,3,4,5,6,7,8..]-[8,16,24..] = [1,2,3,4,5,6,7..9,10..]
~P3 = LN-P3 = [1,2,3,4,5,6,7,8..]-[3,6,9..] = [1,2..4,5..7,8..]
A: P8*P3 = [8,16,24..]*[3,6,9,12,15,18,21,24,27..] = [24..32..]
B: P8*~P3 = [8,26,24..]*[1,2..4,5..7,8..] = [8..]
C: ~P8*~P3 = [1,2,3,4,5,6,7..9,10..]*[ 1,2..4,5..7,8..]= [1,2..4,5..7..]
D: ~P8*P3 = [1,2,3,4,5,6,7..9,10..]*[3,6,9 ..] = [3,6,9..]
Zadanie dla czytelnika:
Udowodnij że zbiory A, B, C i D spełniają prawo Mrówki.
Oczywiście ten sam dowód można przeprowadzić nieporównywalnie prościej, bowiem symboliczna definicja operatora chaosu którą wyżej wyprowadziliśmy z tabeli zero-jedynkowej jest następująca.
Symboliczna definicja operatora chaosu:
[linki]
Prawo Mrówkojada:
Zdanie p~>q wchodzi w skład operatora chaosu |~> wtedy i tylko wtedy gdy pokażemy po jednym elemencie zbiorów A, B, C i D.
Nasz przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =P8*P3 =1 bo 24
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
Definicja symboliczna operatora chaosu |~~> w wersji skróconej:
[linki]
Dla udowodnienia iż zdanie p~~>q wchodzi w skład operatora chaosu |~~> potrzeba i wystarcza pokazać po jednym elemencie zbiorów A, B, C i D, co wyżej udowodniliśmy.
Jest oczywistym, że ten algorytm zbudowany na prawie Mrówkojada jest nieporównywalnie prostszy niż dowodzenie tego samego przy pomocy prawa Mrówki.
Tabelę zero-jedynkową operatora chaosu dla naszego przykładu otrzymamy idąc w kierunku dokładnie odwrotnym niż przy wyprowadzaniu symbolicznej definicji operatora chaosu z jego definicji zero-jedynkowej.
Przejdźmy z naszym przykładem do parametrów formalnych przyjmując:
p=P8
q=P3
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu.
A: p~~>q
W tabeli symbolicznej mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek (do stanu neutralnego):
A: (p=1)~~>(q=1)
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)
zapisujemy:
[linki]
[linki]
W definicji symbolicznej operatora chaosu mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek (do stanu neutralnego). W tabeli zero-jedynkowej operatora chaosu wszystkie linie kodujemy spójnikiem logicznym widniejącym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej, tu naturalnym spójnikiem „może” ~~>.
Algorytm tworzenia definicji zero-jedynkowej:
W tabeli symbolicznej, zastępujemy symbole p, ~p, q, ~q zerami i jedynkami zgodnie z prawem Prosiaczka dla wybranego punktu odniesienia. W naszej tabeli wybraliśmy za punkt odniesienia zdanie A.
Algorytm tożsamy tworzenia tabeli zero-jedynkowej:
1.
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli symbolicznej występuje zgodność poziomów logicznych z odpowiednim nagłówkiem tabeli zero-jedynkowej to wpisujemy jeden do tabeli zero-jedynkowej.
Przykład:
D2: (q=1) = D5: (q=1)
2.
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli symbolicznej występuje niezgodność poziomów logicznych z odpowiednim nagłówkiem tabeli zero-jedynkowej to wpisujemy zero do tabeli zero-jedynkowej.
Przykład:
D1: (~p=1) = D4: (p=0)
Definicja spójnika żywego:
Spójnik żywy, to spójnik biorący udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka
Definicja spójnika martwego:
Spójnik martwy, to spójnik nie biorący udziału w obsłudze naturalnej logiki człowieka
Prawo Bociana:
Tabele symboliczne operatorów logicznych, zawierają wyłącznie spójniki żywe (biorące udział w logice).
Kompletna tabela zero-jedynkowa operatora chaosu to spójnik żywy, biorący udział w logice. Nie ma tu matematycznej możliwości, aby którekolwiek ze zdań A, B, C i D mogło być fałszywe. Jeśli nie ma matematycznej możliwości to automatycznie nie ma fizycznej możliwości. To jedyny taki operator w palecie dwuargumentowych operatorów logicznych.
Definicja zdania zawsze prawdziwego:
Zdanie typu „Jeśli p to q” jest zawsze prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy jest prawdziwe z użyciem naturalnego spójnika „może”~~> dla wszystkich możliwych przeczeń p i q (zdania A, B, C i D).
Jeśli istnieje w logice zdanie zawsze prawdziwe to musi istnieć zdanie zawsze fałszywe.
Operatorem gdzie wszystkie zdania są fałszywe jest operator śmierci.
Zdanie zawsze fałszywe wchodzi w skład tego operatora.
Wyprowadzenie symbolicznej definicji śmierci z definicji zero-jedynkowej.
[linki]
Operator śmierci opisuje równanie logiczne:
~Y = ~Ya+~Yb+~Yc+~Yd
~Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
~Y = p*(q+~q) + ~p*(~q+q)
~Y = p+~p
~Y=1
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację stronami:
Y=0
Matematycznie wszystko się zgadza.
Interpretacja:
Operator śmierci to matematyczny opis zbioru pustego, który nie ma żadnego elementu.
Może to być np. matematyczny opis naszego Wszechświata przed jego powstaniem. dnia Pon 12:59, 09 Lut 2015, w całości zmieniany 9 razy
Wykłady z algebry Kubusia
Temat:
Implikacja prosta
4.2 Implikacja prosta
Wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji prostej z definicji zero-jedynkowej.
[linki]
Algorytm tworzenia równań cząstkowych prof. Newelskiego:
K1: (Krok 1)
Spisujemy z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 dokładnie to co widzimy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y =1 <=> A: p=1 i q=1 lub C:p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1
K2: (Krok 2)
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy zmienne wejściowe p i q do jedynek (stanu neutralnego).
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Y =1 <=> A: p=1 i q=1 lub C:~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
K3: (Krok 3)
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, zawsze możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące tabelę zero-jedynkową ABCD123:
Y = Ya + Yc + Yd
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y =1 <=> A: p=1 i q=1 lub C:~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Równanie K3 w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisuje poprawnie wszystkie możliwe sytuacje jakie mogą wystąpić w przyszłości.
Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Pojecie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
Czyli:
Istnienie pojęcia p wymusza => istnienie pojęcia ~p
i odwrotnie:
Istnienie pojęcia ~p wymusza => istnienie pojęcia p
W przełożeniu na zbiory:
Jeśli istnieje zbiór p to musi => istnieć zbiór ~p
i odwrotnie:
Jeśli istnieje zbiór ~p to musi => istnieć zbiór p
Najszerszą możliwą dziedziną w zbiorach dla zdania typu „Jeśli p to q” jest Uniwersum
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Zaprzeczeniem Uniwersum jest zbiór pusty [], zaprzeczeniem zbioru pustego [] jest Uniwersum.
~U=[]
~[]=U
Rozważmy pierwsze dwie linie z symbolicznej definicji implikacji prostej zapisanej w równaniach prof. Newelskiego.
A456: p*q =1
B456: p*~q =0
Sytuacja jak wyżej w zbiorach jest możliwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera się => w zbiorze q
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Twierdzenie:
Jeśli zbiór p zawiera się => w zbiorze q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
Stąd otrzymujemy w zbiorach:
p=>q = [p*q=p]
Twierdzenie:
Jeśli zbiór p zawiera się => w zbiorze q to zbiory p i ~q są rozłączne.
Dokładnie o to nam chodzi!
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =p*~q =[] =0
Zbiory p i ~q są rozłączne, zatem ich iloczyn logiczny jest zbiorem pustym.
Nie ma fizycznej możliwości, aby zdanie p~~>~q było prawdziwe.
Z obszaru CD456 widzimy, że jeśli zajdzie ~p to może zajść cokolwiek ~q lub q bowiem w obu przypadkach mamy tu wynikowe jedynki.
C456: ~p*~q =1
D456:~p*q =1
Z obszaru AB456 wywnioskowaliśmy, że:
Zbiór p musi zawierać się => w zbiorze q
Zbiór p musi być podzbiorem => zbioru q
Możliwości mamy teraz tylko i wyłącznie dwie:
1.
Implikacja prosta |=>:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
2.
Równoważność <=>:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Nie ma więcej możliwości matematycznych.
Wynikowe jedynki w liniach C456 i D456 oznaczają, że mamy tu do czynienia z implikacją prostą.
Stąd mamy definicję implikacji prostej |=> w zbiorach:
p|=> = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Zauważmy, że:
Z faktu iż zbiór p zawiera się w zbiorze q wynika => iż zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q.
(p=>q) => (~p~>~q)
Zachodzi też odwrotnie:
Z faktu iż zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q wynika => iż zbiór p zawiera się w zbiorze q
(~p~>~q)=> (p=>q)
Matematycznie zachodzi tu prawo Kubusia:
p=>q <=> ~p~>~q
Równoważność to w logice tożsamość logiczna „=” o znaczeniu:
p=>q = ~p~>~q
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie.
Prawo Kubusia zachodzi niezależnie od tego czy zbiory p i q nie są tożsame (~[p=q] - implikacja), czy też są tożsame ([p=q] - równoważność).
Implikacja prosta to obserwacja świata rzeczywistego widzianego z krawędzi brązowo-niebieskiej zaznaczonej strzałką X. Stojąc na tej krawędzi i patrząc w lewo mamy matematyczny opis co się stanie jeśli zajdzie p, natomiast patrząc w prawo mamy matematyczny opis co się stanie jeśli zajdzie ~p.
Symboliczną definicję implikacji prostej odczytujemy bezpośrednio z diagramu:
[linki]
Szczegółowa, symboliczna definicja implikacji prostej:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Dowolny element zbioru p zawiera się => w zbiorze q
Dowolny element zbioru p należy => do zbioru q
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej |=> w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Twierdzenie:
Jeśli zbiór p zawiera się => w zbiorze q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy p
Stąd mamy definicję warunku wystarczającego => w zbiorach:
A: p=>q = [p*q=p] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p zawiera się => w zbiorze q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Bezpośrednio z prawdziwości warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B.
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =[] =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zbiór pusty o wartości logicznej 0.
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego => A:
A: p=>q
Nazywamy zdanie B z zanegowanym następnikiem, kodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>:
B: p~~>~q
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego A (i odwrotnie)
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A (i odwrotnie)
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> dla zbioru ~q
Zabieram zbiór ~p i znika mi zbiór ~q
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej |~> w logice ujemnej (bo ~p):
Zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q i nie jest tożsamy ze zbirem ~q
~p|~>~q = (~p~>~q)*~[~p=~q]
Twierdzenie:
p~>q
Jeśli zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy q
Stąd mamy definicję warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q = [p*q=q] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
W przełożeniu na nasze zdanie C mamy:
~p~>~q = [~p*~q=~q] =1
co doskonale widać na diagramie implikacji prostej wyżej.
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
D: ~p~>q = B: p=>~q
Prawa strona tożsamości logicznej jest fałszem, zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny dla zbiorów ~p i q, wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia sytuacji ~p i q.
Z naszej analizy wynika, że:
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie A to musimy otrzymać zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo q).
A: p=>q
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)
zapisujemy:
[linki]
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C to musimy otrzymać zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej |~> w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p~>~q
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)
zapisujemy:
[linki]
[linki]
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa algebry Kubusia.
Prawo tożsamości implikacji:
p|=>q = ~p|~>~q
Implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną |~> w logice ujemnej (bo ~q).
Prawo Kubusia zachodzi na poziomie zdań, czyli na poziomie warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q).
Prawo Kubusia na poziomie zdań zachodzi niezależnie od faktu czy zbiory p i q nie są tożsame (~[p=q] - implikacja), czy też są tożsame ([p=q] - równoważność).
Matematycznie zachodzi:
[linki]
W definicji symbolicznej operatora implikacji prostej mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek (do stanu neutralnego). W tabeli zero-jedynkowej implikacji prostej wszystkie linie kodujemy spójnikiem logicznym widniejącym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej.
Spójnik logiczny „na pewno” => (warunek wystarczający) nie jest tożsamy z operatorem implikacji prostej |=>. Zdanie spełniające definicję warunku wystarczającego => to wyłącznie linia A w symbolicznej definicji implikacji prostej.
Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Definicja implikacji prostej:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Nasz przykład spełnia definicję implikacji prostej:
Zbiór P zawiera się w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L
P|=>4L = (P=>4L)*~[P=4L]
Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = [P*4L = P] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P=[pies] zawiera się => w zbiorze 4L=[pies, słoń..], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
Zbiór P zawiera się => w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L
P|=>4L = (P=>4L)*~[P=4L]
Bezpośrednio z warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = 0
Zdanie B w zbiorach:
B: P~~>~4L = P*~4L =[] =0
bo zbiory P i ~4L są rozłączne
… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = [~P*~4L=~4L] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~P=[kura, wąż, słoń ..] zawiera w sobie ~> zbiór ~4L=[kura, wąż..], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne, co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
Zbiór ~P zawiera w sobie ~> zbiór ~4L i nie jest tożsamy ze zbiorem ~4L
~P|~>~4L = (~P~>~4L)*~[~P=~4L]
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną (np. słoń..) co wymusza w wyniku 1 (zbiór niepusty)
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo zbiór ~P=[kura, wąż, słoń..] nie zawiera w sobie zbioru 4L=[pies, słoń ..] (w zbiorze ~P brakuje „psa”, natomiast w zbiorze 4L jest „pies”)
Najprostszy dowód tożsamy to skorzystanie z prawa Kubusia:
D: ~P~>4L = B: P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~P i 4L (np. słoń).
4.2.1 Spójniki żywe i martwe w implikacji prostej
Definicja spójnika żywego:
Spójnik żywy, to spójnik biorący udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
Definicja spójnika martwego:
Spójnik martwy, to spójnik nie biorący udziału w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
Spójnik martwy to zero-jedynkowe uzupełnienie spójnika żywego do pełnego operatora logicznego.
[linki]
Kolumny 45 są zanegowanymi kolumnami 12. Z tego powodu nagłówki symboliczne kolumn 45 muszą być zanegowane.
W równaniach algebry Boole’a, wszelkie zmienne sprowadzone są do jedynek (do stanu neutralnego), tu zmienne po stronie wejścia p i q. Dowodem jest tu wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji prostej z tabeli zero-jedynkowej tego operatora podane wyżej (równania prof. Newelskiego)
Pełna definicja spójnika żywego „na pewno” => (warunek wystarczający) w powyższej tabeli to wyłącznie obszar ABabc (kodowanie zero-jedynkowe AB123).
Wyłącznie w tym obszarze mamy odpowiedź na pytanie:
Co się dzieje gdy zajdzie p?
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0
Pełna definicja spójnika żywego „może” ~> (warunek konieczny) w powyższej tabeli to obszar CDdef (kodowanie zero-jedynkowe CD456).
Wyłącznie w tym obszarze mamy odpowiedź na pytanie:
Co się dzieje gdy zajdzie ~p?
C: ~p~>~q =1
D: ~p~~>q =1
Obszary CD123 i AB456 są martwe i nie biorą udziału w logice. To wyłącznie zero-jedynkowe uzupełnienie odpowiedniego spójnika żywego do pełnego operatora logicznego.
Prawo Bociana:
Tabele symboliczne operatorów logicznych, zawierają wyłącznie spójniki żywe (biorące udział w logice).
Tabela symboliczna operatora implikacji prostej |=> to:
Złożenie spójnika żywego „na pewno” => w logice dodatniej (bo q):
Obszar ABabc:
A: p=> q =1
B: p~~>~q =0
ze spójnikiem żywym „może” ~> w logice ujemnej (bo ~q):
Obszar CDdef:
C: ~p~>~q =1
D: ~p~~>q =1
4.2.2 Prawo Mrówki dla implikacji prostej
Prawo Termita dla implikacji prostej:
Operator implikacji prostej dzieli dziedzinę na trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne.
Wszystkie możliwe zbiory dla operatora dwuargumentowego to:
A: p*q
B: p*~q
C: ~p*~q
D: ~p*q
Z prawa Termita wynika, że czwarty zbiór musi być zbiorem pustym.
Prawo Mrówki dla implikacji prostej:
Y = (p|=>q) = Ya+Yc+Yd = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Zdanie p=>q wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=> wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory A, C i D wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*) w powyższym równaniu są niepuste i rozłączne, zaś ich suma logiczna jest dziedziną na której operuje zdanie p=>q.
Prawo Mrówkojada dla implikacji prostej:
Y = (p|=>q) = Ya+Yc+Yd = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Zdanie p=>q wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=> wtedy i tylko wtedy gdy pokażemy po jednym elemencie zbiorów A, C i D oraz udowodnimy iż zbiór B: p*~q jest zbiorem pustym.
Prawo Mrówki i prawo Mrówkojada można wykorzystać do rozstrzygania czy zdanie p=>q wchodzi w skład operatora implikacji prostej.
Prawo Mrówkojada jest prostszym sposobem udowodnienia iż zdanie p=>q wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=>.
Prawa Mrówki i Mrówkojada wynikają z definicji operatora implikacji |=> w zbiorach.
Przykład:
Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Prawo Mrówki dla implikacji prostej:
Y = (p|=>q) = Ya+Yc+Yd = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Zdanie p=>q wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=> wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory A, C i D wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*) w powyższym równaniu są rozłączne i niepuste, zaś ich suma logiczna jest dziedziną na której operuje zdanie p=>q.
Nasz przykład:
Y = A: P*4L + C: ~P*~4L + D: ~P*4L
Jak udowodnić prawdziwość tego zdania?
Iterujemy po wszystkich zwierzątkach na naszej Ziemi, od pchły po słonia.
A: P*4L=1*1=1 - zwierzęta które są psami (P=1) i mają cztery łapy (4L=1)
A=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”
C: ~P*~4L=1*1=1 - zwierzęta które nie są psami (~P=1) i nie mają czterech łap (~4L=1)
C=[kura, wąż ..]
D: ~P*4L=1*1=1 - zwierzęta które nie są psami (~P=1) i mają cztery łapy (4L=1)
D=[słoń, koń ..]
Trzeba teraz udowodnić iż suma logiczna wszystkich tych zbiorów to dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Prawo Mrówkojada dla implikacji prostej:
Y = (p|=>q) = Ya+Yc+Yd = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Zdanie p=>q wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=> wtedy i tylko wtedy gdy pokażemy po jednym elemencie zbiorów A, C i D oraz udowodnimy iż zbiór B: p*~q jest zbiorem pustym.
Nasz przykład:
Y = A: P*4L + C: ~P*~4L + D: ~P*4L
Jak udowodnić prawdziwość tego zdania?
W tym przypadku wystarczy pokazać po jednym zwierzątku wchodzącym w skład każdego ze zbiorów A, C i D oraz udowodnić fałszywość zdania B: P*~4L
Dowodzimy:
A.
P*4L =1*1=1 bo pies
Istnieje zwierzę które jest psem (P=1) i ma cztery łapy (4L=1)
C.
~P*~4L=1*1=1 bo kura
Istnieje zwierzę które nie jest psem (~P=1) i nie ma czterech łap (~4L=1)
D.
~P*4L=1*1=1 bo słoń
Istnieje zwierzę które nie jest psem (~P=1) i nie ma czterech łap (4L=1)
Dodatkowo musimy wykazać iż zbiór B jest zbiorem pustym.
B: P*~4L=[] =0
Tu oczywistość bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura, wąż ..] to zbiory rozłączne.
Oba zbiory istnieją (P=1) i (~4L=1), ale są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty, o wartości logicznej zero (=0).
Jak widzimy, dowodzenie iż zdanie p=>q wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=> przy pomocy prawa Mrówkojada jest nieporównywalnie prostsze niż dowodzenie tego samego przy pomocy prawa Mrówki.
4.2.2 Implikacja prosta w zdarzeniach
Twierdzenie Pandy:
Implikacja prosta może zachodzić tylko i wyłącznie w zbiorach albo w zdarzeniach możliwych
Nie ma więcej możliwości matematycznych.
Dla dwóch argumentów p i q możliwe są tylko i wyłącznie cztery zdarzenia rozłączne:
A: p*q
B: p*~q
C: ~p*~q
D: ~p*q
Implikację zachodzącą w zbiorach już znamy.
Implikacja w zdarzeniach możliwych jest banalna, omówimy ją na przykładzie.
Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno
Padanie deszczu daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Dodatkowo pojęcia pada i chmury nie są tożsame, bo nie zawsze kiedy są chmury, pada.
Wymusza to definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo CH):
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH]
Z prawdziwości zdania A wynika fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH= P*~CH =0
Niemożliwe jest jednoczesne wystąpienie zdarzeń „pada” (P=1) i „nie ma chmur” (~CH=1).
… a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak deszczu jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno, bo zawsze gdy pada to na pewno => są chmury.
Stąd mamy prawo Kubusia wyprowadzone w naturalnej logice 5-cio latka:
~P~>~CH = P=>CH
Dodatkowo pojęcia „nie pada” i „nie jest pochmurno” nie są tożsame bo nie zawsze gdy „nie pada”, „nie jest pochmurno”. Możliwa jest sytuacja „nie pada” i „jest pochmurno”.
Wymusza to definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~CH):
~P|~>~CH = (~P~>~CH)*~[~P=~CH]
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padło to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - jest taka możliwość
Możliwa jest sytuacja „nie pada” (~P=1) i „jest pochmurno” (CH=1)
Brak opadów nie jest warunkiem koniecznym ~> aby było pochmurno bo prawo Kubusia:
D: ~P~>CH = B: P=>~CH =0
Prawa strona tożsamości logicznej jest fałszem, zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy sama możliwość zajścia
4.2.3 Implikacja prosta w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
W tym spojrzeniu na implikację prostą zatrzymujemy się na równaniach w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową.
Interesuje nas wyłącznie kiedy zdanie Y = (p|=>q) będzie prawdziwe (Y=1) a kiedy fałszywe (~Y=1)
Nie ma tu mowy o jakichkolwiek spójnikach implikacyjnych które poznaliśmy typu:
=> - warunek wystarczający (spójnik „na pewno” między p i q)
~> - warunek konieczny (spójnik „może” ~> między p i q)
~~> - naturalny spójnik „może” ~~> między p i q
W tym spojrzeniu na implikację istnieją wyłącznie spójniki „lub”(+) i „i”(*).
Spojrzenie to opisuje poprawnie wszystkie możliwe sytuacje w których zdanie Y=(p|=>q) będzie prawdziwe (Y=1), oraz kiedy będzie fałszywe (~Y=1)… i nic więcej!
[linki]
Algorytm tworzenia równań cząstkowych prof. Newelskiego:
K1: (Krok 1)
Spisujemy z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 dokładnie to co widzimy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y =1 <=> A: p=1 i q=1 lub C:p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1
K2: (Krok 2)
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy zmienne wejściowe p i q do jedynek (stanu neutralnego).
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Y =1 <=> A: p=1 i q=1 lub C:~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
K3: (Krok 3)
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, zawsze możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące tabelę zero-jedynkową ABCD123 w logice dodatniej (bo Y):
Y = Ya + Yc + Yd
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y =1 <=> A: p=1 i q=1 lub C:~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Równanie K3 w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisuje poprawnie wszystkie możliwe sytuacje jakie mogą wystąpić w przyszłości, w których zdanie Y=(p|=>q) będzie prawdziwe (Y=1).
… a kiedy zdanie Y=(p|=>q) będzie fałszywe (~Y=1)?
Tworzymy równania prof. Newelskiego dla wynikowych zer w tabeli zero-jedynkowej, tu mamy wyłącznie jedno.
K1: (Krok 1)
Spisujemy z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 dokładnie to co widzimy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y=0 <=> p=1 i q=0
K2: (Krok 2)
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy zmienne wejściowe p i q do jedynek (stanu neutralnego).
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
K3: (Krok 3)
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, zawsze możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie algebry Boole’a opisujące tabelę zero-jedynkową ABCD123 w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Definicja obszaru żywego w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) obszar żywy, to obszar biorący udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
Definicja obszaru martwego w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) obszar martwy, to obszar nie biorący udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
Obszar martwy to zero-jedynkowe uzupełnienie obszaru żywego do pełnego operatora logicznego.
Operator implikacji prostej:
[linki]
Kolumna 6 to zanegowana kolumna 3. Z tego powodu nagłówek w kolumnie 6 musi być zanegowany.
W równaniach algebry Boole’a, wszelkie zmienne sprowadzone są do jedynek (do stanu neutralnego), tu zarówno zmienne po stronie wejścia p i q jak i zmienna wyjściowa Y. Dowodem jest tu wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji prostej z tabeli zero-jedynkowej tego operatora podane wyżej (równania prof. Newelskiego)
Pełna definicja obszaru żywego opisująca wszystkie możliwe przypadki w których zdanie Y=(p|=>q) będzie prawdziwe (Y=1) to równania symboliczne ACDabc o definicji zero-jedynkowej ACD123:
W: Y=Ya+Yc+Yd = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Linia B123 jest obszarem martwym będącym uzupełnieniem obszaru żywego do operatora:
Y=(p|=>q)
Pełna definicja obszary żywego opisująca wszystkie możliwe przypadki w których zdanie Y=(p|=>q) będzie fałszywe (~Y=1) to linia Bdef o definicji zero-jedynkowej B456:
U: ~Y = ~Yb = ~(p|=>q) = p*~q
Obszar ACD456 jest obszarem martwym będącym uzupełnieniem do pełnego operatora:
~Y = ~(p|=>q)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając U mamy:
Y=~(p*~q)
Korzystając z prawa De Morgana mamy:
W1: Y = (p|=>q) = ~p+q
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
W1: Y=~p+q = W: Y= A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
W naturalnym języku mówionym zdanie W będzie doskonale rozumiane przez każdego 5-cio latka, natomiast zdanie W1 nie będzie zrozumiałe dla nikogo, co za chwilę zobaczymy na przykładzie.
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej Y=(p|=>q) opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) to złożenie spójnika żywego w logice dodatniej (bo Y) i spójnika żywego w logice ujemnej (bo ~Y).
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej Y=(p|=>q) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) odpowiada poprawnie kiedy to zdanie będzie prawdziwe (Y=1) a kiedy fałszywe (~Y=1).
Symboliczna definicja implikacji prostej Y=(p|=>q) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*).
[linki]
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta na mocy definicji:
Spełnienie warunku nagrody W jest warunkiem wystarczającym => otrzymania nagrody.
Dodatkowo pojęcia „warunek W” i „nagroda N” nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo N):
W|=>N = (W=>N)*~[W=N]
Przykład:
W.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K
Wszystkie możliwe sytuacje w których ojciec nie skłamie (Y=1) to:
Y=(E|=>K) = A:E*K + C:~E*~K + D: ~E*K
czyli:
Ojciec nie skłamie (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = E*K =1*1 =1 - zdam egzamin (E=1) i dostanę komputer (K=1)
lub
C: Yc =~E*~K = 1*1 =1 - nie zdam egzaminu (~E=1) i nie dostanę komputera (~K=1)
lub
D: Yd= ~E*K = 1*1 =1 - nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)
Powyższe zdanie złożone zrozumie każdy 5-cio latek.
Zauważmy, że zdanie W1 nie jest naturalną logiką człowieka.
W1.
Y = (E|=>K) = ~E+K
czytamy:
Ojciec nie skłamie (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdam egzaminu (~E=1) lub dostanę komputer (K=1)
Y=~E+K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Konia z rzędem temu, kto w naturalnej logice człowieka załapie matematyczną tożsamość zdań W i W1. W spójnikach „lub”(+) i „i”(*) taka tożsamość zachodzi.
Wszystkie możliwe sytuacje w których ojciec skłamie (~Y=1) to:
U: B: ~Yb = E*~K =1*1 =1 - zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1)
W dowolnym równaniu logicznym w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) interesuje nas tylko i wyłącznie kiedy zdanie będzie prawdziwe (Y=1) a kiedy fałszywe (~Y=1), nie badamy tu żadnych innych warunków typu warunek wystarczający => czy też konieczny ~>. dnia Sob 10:22, 14 Lut 2015, w całości zmieniany 2 razy