polsk riksdag
Końcowa wersja algebry Kubusia w podpisie lub w tym linku:
Algebra Kubusia 2013-05-05
… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12
Algebra Kubusia
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele
Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia
Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita i Yorgina.
Wstęp.
Algebra Kubusia to matematyka pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy, człowiek nie jest tu wyjątkiem. Fundamentem algebry Kubusia jest nowa teoria zbiorów. Z punktu widzenia logiki teoria zbiorów to zaledwie dwa zbiory p i q we wszystkich możliwych wzajemnych położeniach z których wynikają zero-jedynkowe definicje znanych człowiekowi operatorów logicznych.
Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.
W świecie techniki inżynierowie przyjmują za aksjomat zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalny rachunek zero-jedynkowy z którego wynikają wszelkie prawa logiczne.
Takie podejście jest poprawne jeśli interesuje nas fizyczne zbudowanie komputera (hardware), jednak sprzęt bez oprogramowania (software) to tylko bezużyteczna kupa złomu. Software (naturalna logika człowieka) to zupełnie co innego niż hardware, mimo że w obu przypadkach fundamentem jest ta sama, symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia).
Jest oczywistym, że jeśli istnieje matematyka pod którą podlega człowiek, to musi być ona absolutnie banalna, na poziomie 5-cio latka. Ta maksyma przyświecała Kubusiowi od samego początku walki o rozszyfrowanie matematycznych podstaw naturalnej logiki człowieka.
W nowej teorii zbiorów znaczenie zer i jedynek wewnątrz operatorów logicznych jest inne niż w aktualnej logice matematycznej. Algebra Kubusia jest totalnie odwrotna w stosunku do logiki matematycznej Ziemian. Z tego powodu praktycznie niemożliwa jest dyskusja na rzeczowe argumenty. Warunkiem koniecznym zrozumienia nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia jest odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z logiki matematycznej uczonej w ziemskich szkołach i zaczęcie wszystkiego od zera.
Pisząc ten podręcznik starałem się aby zupełnie nowa wiedza, jaką jest algebra Kubusia, została podana po równi pochyłej od najprostszych pojęć poczynając. Proszę o sygnały w którym miejscu są ewentualne schody, będziemy je wspólnie likwidować.
Spis treści:
Część I
Nowa teoria zbiorów
1.0 Notacja
1.1 Kompendium algebry Kubusia w zbiorach
2.0 Nowa teoria zbiorów
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach
3.0 Operatory jednoargumentowe
3.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego
3.2 Operator transmisji w zbiorach
3.3 Operator negacji w zbiorach
3.4 Czym różni się tożsamość od równoważności?
4.0 Operatory implikacji i równoważności
4.1 Operator chaosu w zbiorach
4.2 Implikacja prosta w zbiorach
4.3 Implikacja odwrotna w zbiorach
4.4 Równoważność w zbiorach
4.5 Mutacje definicji równoważności
4.6 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ
5.0 Operatory OR i AND
5.1 Operator OR w zbiorach
5.2 Operator AND w zbiorach
5.3 Prawo przejścia do logiki przeciwnej
5.4 Operator XOR
5.5 Nietypowa równoważność
5.6 Nietypowa implikacja prosta
5.7 Samodzielny warunek wystarczający
5.8 Pseudo-operator Słonia
6.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata
6.1 Alternatywne definicje implikacji i równoważności
6.2 Implikacja i równoważność wyrażona spójnikiem „i”(*)
Cześć II
Techniczna algebra Boole’a
7.0 Techniczna algebra Boole’a
7.1 Pełna lista operatorów dwuargumentowych w algebrze Boole’a
7.2 Rachunek zero-jedynkowy w algebrze Boole’a
7.3 Najważniejsze prawa technicznej algebry Boole’a
8.0 Równania algebry Boole’a
8.1 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych
8.2 Tworzenie równań logicznych w logice zero
8.3 Osiem równań opisujących operator OR
8.4 Osiem równań opisujących operator AND
8.5 Definicje operatorów w bramkach logicznych
8.6 Operatory jednoargumentowe w tabeli operatorów dwuargumentowych
Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
9.0 Obietnice i groźby
9.1 Definicje obietnicy i groźby
9.2 Obietnica
9.3 Groźba
9.4 Obietnica w równaniach logicznych
9.5 Groźba w równaniach logicznych
9.6 Analiza złożonej obietnicy
9.7 Analiza złożonej groźby
9.8 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
9.9 Rodzaje obietnic
10.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
10.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
10.2 Złożona implikacja prosta
10.3 Złożona implikacja odwrotna
10.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
10.5 Zdania złożone typu p*(q+r)
Część IV
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia
Część I
Nowa teoria zbiorów
1.0 Notacja
Zera i jedynki w nowej teorii zbiorów (NTZ) oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
W całej matematyce mamy zaledwie osiem różnych spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka
1.1 Kompendium algebry Kubusia w zbiorach
Nowa teoria zbiorów
Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element
W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką, zdanie prawdziwe
Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów
W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem, zdanie fałszywe
W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.
Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.
Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1
Zbiory tożsame to zbiory identyczne.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny
W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru
„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”
Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=[3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia
Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]
Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
~0=1
~1=0
Definicja naturalnego spójnika "może" ~~> w zbiorach:
p~~>q
Zbiory p i q mają przynajmniej jeden element wspólny
Ogólna definicja znaczka ~~>:
p~~>q
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
~~> - symbol naturalnego spójnika „może”
~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element należący do zbioru p i zbioru q.
Nic innego nas kompletnie nie interesuje.
Definicja operatora chaosu w zbiorach:
p~~>q=1
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A: P8~~>P3=1 bo 24
B: P8~~>~P3=1 bo 8
C: ~P8~~>~P3=1 bo 5
D: ~P8~~>P3=1 bo 3
Zdanie zawsze prawdziwe, czyli spełniające definicję operatora chaosu, to matematyczny śmieć.
Miedzy dowolnym p i q nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też warunek konieczny ~>.
Komu w matematyce potrzebne są twierdzenia typu A?
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Ogólna definicja znaczka =>:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
=> - symbol warunku wystarczającego
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Symboliczna definicja implikacji prostej:
[linki]
gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w A i B.
Ogólna definicja znaczka =>:
p=>q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji:
~p~>~q = p=>q
Ogólna definicja znaczka ~>:
~p~>~q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy
Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Zabieram p i musi zniknąć q
Ogólna definicja znaczka ~>:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść zajdzie q
~> - symbol warunku koniecznego
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
[linki]
gdzie:
1.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Ogólna definicja znaczka ~>:
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
2.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w C i D.
Ogólna definicja znaczka =>:
~p=>~q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy
Definicja implikacji w zbiorach jest użyteczną definicją warunku koniecznego.
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Użyteczność tej definicji polega na tym, że warunki wystarczające => dowodzi się dużo prościej z powodu kontrprzykładu. Kontrprzykład to w świecie matematyki najczęstsze obalanie warunku wystarczającego =>, i słusznie.
Definicja równoważności w zbiorach
Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
W równoważności tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p =~q
Definicja symboliczna równoważności:
[linki]
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Równoważności można dowieść wyłącznie w sposób pośredni, dowodząc prawdziwość zdań cząstkowych p=>q i ~p=>~q
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór TP zawiera się w zbiorze SK
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza =>, aby zachodziła suma kwadratów
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK=1
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo:
Zbiór ~TP zawiera się w zbiorze ~SK
Bycie trójkątem nie prostokątnym wystarcza =>, aby nie zachodziła suma kwadratów
Definicje operatorów OR i AND:
Definicja spójnika „lub”(+) w naturalnej logiki człowieka:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Stąd otrzymujemy prawo De Morgana:
Y=p+q = ~(~p*~q)
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
~Y=~K*~Y
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Czytamy!
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Definicja spójnika „i”(*) w naturalnej logiki człowieka:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q
~Y=~p+~q
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Stąd otrzymujemy prawo De Morgana:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
~Y=~K+~Y
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
Czytamy!
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
Definicja spójnika „albo”($) w naturalnej logice człowieka:
p$q = p*~q +~p*q
Zbiory p i q są rozłączne
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka
Definicja operatora XOR:
p$q = p*~q +~p*q
~(p$q) = ~p*~q
Zbiory p i q są rozłączne i istnieje zbiór ~p*~q
p*q=0
~p*~q=1
Dziedzina:
p*~q + ~p*q + ~p*~q =1
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem albo kotem to na pewno ma cztery łapy
P$K=>4L
Zbiory P i K są rozłączne
P*K=0
Istnieje zwierzę które nie jest psem i nie jest kotem:
~P*~K=1 bo kura
Dziedzina:
P*~K + ~P*K + ~P*~K =1
Nietypowa równoważność:
p<=>~q = p*~q + ~p*q
Zbiory p i q są rozłączne i nie istnieje zbiór ~p*~q
p*q=0
~p*~q=0
Dziedzina:
p*~q + ~p*q =1
Przykład:
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~M=>K)
Zbiory M i K są rozłączne, oraz nie istnieje zbiór ~M*~K
M*K=0
Nie istnieje człowiek który nie jest mężczyzną i nie jest kobietą
~M*~K =0
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) gdzie nie istnieją zbiory M*K i ~M*~K
M*K=0
~M*~K=0
Dowolny człowiek jest mężczyzną albo kobietą
M$K = M*~K + ~M*K
M*K=0
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną i nie jest kobietą
~M*~K=0
Dziedzina:
M*~K + ~M*K =1
2.0 Nowa teoria zbiorów
Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element
W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką, zdanie prawdziwe
Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów
W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem, zdanie fałszywe
W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.
Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.
Zauważmy, że w teorii zbiorów nie mają sensu sformułowania „zbiór prawdziwy”, czy też „zbiór fałszywy”. Nowa teoria zbiorów to matematyka ścisła pod którą podlega naturalna logika człowieka i tu już jest sens mówienia o „zdaniu prawdziwym (=1)” i „zdaniu fałszywym (=0)”.
Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce nie jest żółte
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe
Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1
Zbiory tożsame to zbiory identyczne:
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach
Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.
1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]
2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]
3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] =0 - zbiór pusty
4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny
W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru
„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”
Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=[3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia
Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]
Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
~0=1
~1=0
W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum
Definicja:
Uniwersum = wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest galaktyką
Pies to nie galaktyka
P=>~G =1
Zbiory: P*~G = P
Uzasadnienie:
Zbiór galaktyka =1 (niepusty)
Przyjmujemy dziedzinę:
Uniwersum
Zaprzeczenie galaktyki w tym przypadku to Uniwersum pomniejszone o galaktykę (U-G)
Oczywiście „pies” mieści się w takim zbiorze „nie galaktyka” (~G)
stąd:
P*~G=P
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być galaktyką
P~~>G=0
Zbiory: P*G = 1*1 =0
Dziedzina:
Uniwersum
Oba zbiory istnieją (P=1 i G=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0.
Zdania A i B to definicja warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia, za chwilę to poznamy.
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest galaktyką
Pies to nie galaktyka
P=>~G =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => na to, aby nie być galaktyką.
2.2 Prawo podwójnego przeczenia
Prawo podwójnego przeczenia to najważniejsze prawo nowej teorii zbiorów (i algebry Boole’a):
p=~(~p)
Rozważmy zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Stąd mamy:
~p=[3,4]
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p) = ~[3,4] = [1,2] = p
W naszej ustalonej dziedzinie:
D=[1,2,3,4]
Zbiór przeciwny (negacja „~”) do zbioru ~p to oczywiście zbiór p (dopełnienie do dziedziny)
3.0 Operatory jednoargumentowe
Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej
Możliwe są dwa takie operatory:
Y=p - operator transmisji
Y=~p - operator negacji
3.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego
Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę w której pracuje dwóch krasnoludków, Transmiterek i Negatorek.
Na przedniej ściance skrzynki zamontowany jest najzwyklejszy wyłącznik światła sterujący lampką człowieka typu zaświeć/zgaś. Po przeciwnej stronie skrzynki znajduje się lampka sterowana wyłącznie przez krasnoludka pracującego w środku skrzynki.
Po stronie człowieka dostępne są jeszcze dwa tajemnicze przyciski z opisem:
A - zezwalaj na pracę Transmiterka
A=1 - zezwalaj
A=0 - zabroń
B - zezwalaj na pracę Negatorka
B=1 - zezwalaj
B=0 - zabroń
Ustawmy na początek krasnoludkowe przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
1.
Jak widzimy lampką człowieka możemy sterować zaświecając ją i gasząc przełącznikiem, jednak lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona.
2.
Pozwólmy na pracę wyłącznie Transmiterka ustawiając przełączniki:
A=1 i B=0
Jak widzimy, jeśli zaświecimy lampkę człowieka to automatycznie zapali się lampka krasnoludka, jeśli ją zgasimy to lampka krasnoludka również zgaśnie.
3.
Ustawmy teraz przełączniki w pozycję:
A=0 i B=1
pozwalając pracować wyłącznie Negatorkowi
Tym razem każde zaświecenie lampki człowieka skutkuje wygaszeniem lampki krasnoludka i odwrotnie.
4.
Ostatnia możliwość to zezwolenie na jednoczesną pracę obu krasnoludków poprzez ustawienie przełączników w pozycję:
A=1 i B=1
Ajajaj!
Jak widzimy możemy bez problemów zapalać i gasić lampkę człowieka jednak żarówka krasnoludka ledwie się pali, na dodatek z pudła wydobywa się czarny dym co jest dowodem walki na śmierć i życie między Tansmiterkiem a Negatorkiem. Jeden za wszelką cenę chce zaświecić lampkę, a drugi za wszelką cenę ją zgasić.
Ustawmy szybko przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
Nie możemy przecież dopuścić do zagłady krasnoludków, bo co powiedzą nasze dzieci?
W naszym abstrakcyjnym modelu wejściową zmienną binarną p jest lampka człowieka.
Wyjściem w tym modelu jest lampka krasnoludka którą oznaczamy Y.
Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej
Definicja operatora transmisji:
Y=p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka też się świeci (Y=1)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to również lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)
Stąd mamy zero-jedynkową definicje operatora transmisji:
Y=p
[linki]
Definicja operatora negacji:
Y=~p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to lampka krasnoludka się świeci (Y=1)
Stąd mamy zero-jedynkową definicję operatora negacji:
Y=~p
[linki]
… a jeśli nie wiemy który krasnoludek aktualnie pracuje, to czy możemy rozszyfrować który?
Oczywiście że tak.
Na wejściu p wymuszamy wszystkie możliwe stany. Odpowiedź na wyjściu Y jednoznacznie definiuje nam operator. Najważniejsze operatory jednoargumentowe właśnie poznaliśmy.
Definicja operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zer i jedynek na wejściu układu.
Nie jest prawdą, że możemy zdefiniować wyłącznie dwa operatory jednoargumentowe jak wyżej.
Dwa kolejne operatory jednoargumentowe to:
1.
Jednoargumentowy operator chaosu o definicji:
[linki]
Jak widzimy, tu lampka krasnoludka pali się cały czas, bez względu na stan wejściowej lampki człowieka p. Nazwę zaczerpnięto z definicji operatorów dwuargumentowych, gdzie analogiczny operator to operator chaosu. Materia istnieje (Y=1) ale jest w kompletnym chaosie, wszystko może się zdarzyć.
2.
Jednoargumentowy operator śmierci:
[linki]
Tu lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona, bez wzglądu na to co też ten człowiek na wejściu p sobie wyprawia. To jest stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem, materia nie istnieje, żadne pojęcie rodem z naszego Wszechświata nie jest zdefiniowane.
Definicja operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zer i jedynek na wejściu układu.
W logice wyróżniamy:
1.
Operatory jednoargumentowe o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y
2.
Operatory dwuargumentowe o dwóch wejściach p i q i jednym wyjściu Y.
Przy dwóch wejściach p i q możliwe są cztery różne wymuszenia na wejściach p i q.
Ogólna definicja operatora dwuargumentowego:
[linki]
Jak widzimy przy dwóch wejściach p i q możemy zdefiniować 16 różnych stanów na wyjściu Y, czyli 16 różnych na mocy definicji operatorów logicznych.
Najważniejsze operatory dwuargumentowe to:
[linki]
1.
Operator OR
Y=p+q
~Y=~p*~q
2.
Operator AND
Y=p*q
~Y=~p+~q
3.
Operator implikacji prostej
p=>q = ~p~>~q
4.
Operator implikacji odwrotnej
p~>q = ~p=>~q
5.
Operator równoważności
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p)
6.
Operator XOR
pXORq = p*~q + ~p*q
7.
Operator chaosu
p~~>q =1
3.2 Operator transmisji w zbiorach
Operator transmisji to funkcja niezanegowanej zmiennej wejściowej p
Y=p
Operator transmisji w zbiorach:
Pełna definicja operatora transmisji to układ dwóch równań logicznych opisujących dwa rozłączne obszary Y i ~Y:
Y=p
~Y=~p
Jak widzimy, suma logiczna zbiorów Y i ~Y definiuje nam dziedzinę.
Utwórzmy tabelę zero-jedynkową operatora transmisji wędrując zgodnie ze strzałkami.
Tabela prawdy operatora transmisji:
[linki]
Zarówno z tabeli zero-jedynkowej jak i z diagramu w zbiorach odczytujemy:
Y =p = ~(~p)
~Y = ~p = ~(p)
bo kolumny wynikowe są identyczne.
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn wynikowych 1 i 4 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia.
To jest dowód prawa podwójnego przeczenia na gruncie rachunku zero-jedynkowego (algebry Boole’a). Interpretację tego samego prawa w zbiorach poznaliśmy wyżej, przypomnijmy.
Przykład:
Dany jest zbiór
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd przeczenie (uzupełnienie do dziedziny):
~p=[3,4]
Y = p= [1,2]
~Y = ~p = [3,4]
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y=~(~Y) = ~[3,4] = [1,2]
Negacja zbioru [3,4] do dziedziny to zbiór [1,2]
Związek teorii zbiorów z naturalną logiką człowieka to punkty A1 i B3.
Przykład przedszkolaka:
A1.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
B3.
… a kiedy skłamię?
Przechodzimy z równaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację stronami:
~Y=~K
Stąd:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla funkcji logicznej Y:
Y - dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
~Y - skłamię, logika ujemna bo ~Y
Oczywiście matematyczne zachodzi:
Y # ~Y - bo kolumny wynikowe są różne
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A1 i B3 mamy:
Y=K = ~(~K)
Stąd zdanie równoważne do A1:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro nie pójdę do kina
Y=~(~K)
3.3 Operator negacji w zbiorach
Operator negacji to funkcja zanegowanej zmiennej wejściowej p
Y=~p
Operator negacji w zbiorach:
Pełna definicja operatora negacji to układ dwóch równań logicznych opisujących dwa rozłączne obszary Y i ~Y:
Y=~p
~Y=p
Jak widzimy, suma logiczna zbiorów Y i ~Y definiuje nam dziedzinę.
Wędrujemy według strzałek.
Tabela prawdy operatora negacji:
[linki]
Zarówno z tabeli zero-jedynkowej jak i z diagramu w zbiorach odczytujemy:
Y =~p = ~(p)
~Y = p = ~(~p)
bo kolumny wynikowe są identyczne.
Przykład:
Y=~p = [3,4]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4]
~Y=p = [1,2]
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y=~(~Y) = ~[1,2] = [3,4]
Przykład przedszkolaka:
A.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
… a kiedy skłamię?
Negujemy dwustronnie.
~Y=K
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K)
~Y=K
3.4 Czym różni się tożsamość od równoważności?
Przypomnijmy sobie operator transmisji w zbiorach.
Definicja:
Operator transmisji to funkcja niezanegowanej zmiennej wejściowej p
Y=p
Operator transmisji w zbiorach:
Pełna definicja operatora transmisji to układ dwóch równań logicznych opisujących dwa rozłączne obszary Y i ~Y:
Y=p
~Y=~p
Jak widzimy, suma logiczna zbiorów Y i ~Y definiuje nam dziedzinę.
Definicja tożsamości dwóch funkcji logicznych w zbiorach:
Funkcja logiczna Q jest tożsama z funkcją logiczną R wtedy i tylko wtedy gdy opisuje ten sam obszar w zbiorach
Z powyższego diagramu odczytujemy wszystkie możliwe funkcje tożsame:
Q: Y=p
R: Y=~(~p)
Y=Y
stąd:
p=~(~p)
W przełożeniu na naturalną logikę człowieka będą to przykładowe zdania:
Q.
Jutro pójdę do kina
Y=K
R.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K)
Y=~(~K)
Kolejne dwie funkcje tożsame to oczywiście funkcje ~Y:
S: ~Y=~p
T: ~Y=~(p)
S.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K)
~Y=~K
T.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(…), że jutro pójdę do kina (K)
~Y=~(K)
Przypomnijmy sobie tabelę zero-jedynkową opisującą szczegółowo operator transmisji.
Tabela prawdy operatora transmisji:
[linki]
Zarówno z tabeli zero-jedynkowej jak i z diagramu w zbiorach odczytujemy:
Q=R: Y =p = ~(~p)
S=T: ~Y = ~p = ~(p)
bo kolumny wynikowe są identyczne, bo odpowiednie zbiory są identyczne.
Definicja tożsamości funkcji logicznych Q i R w tabelach zero-jedynkowych:
Dwie funkcje logiczne Q i R są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczne kolumny wynikowe Y
Oczywiście nie są tożsame funkcje:
Q=R: Y = p = ~(~p) # S=T: ~Y =~p=~(p)
… bo kolumny wynikowe są różne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu
Jeśli Y=1 to ~Y=0
Jeśli Y=0 to ~Y=1
W powyższej tabeli zachodzi też równoważność, czyli wynikanie w dwie strony:
A.
Jeśli wiem kiedy dotrzymam słowa (Y) to automatycznie wiem kiedy skłamię (~Y)
Y=>~Y
C.
Jeśli wiem kiedy skłamię (~Y) to automatycznie wiem kiedy dotrzymam słowa (Y)
~Y=>Y
Definicja równoważności:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście definicja równoważności to zupełnie co innego niż definicja transmitera.
Powyższa równoważność nosi nazwę prawa Prosiaczka:
Y<=>~Y
stąd mamy:
I prawo Prosiaczka:
Y=0 <=> ~Y=1
II prawo Prosiaczka:
Y=1 <=> ~Y=0
Prawa Prosiaczka to jedne z najważniejszych praw algebry Boole’a. Bez nich niemożliwe jest przejście z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równań algebry Boole’a ją opisujących.
Zobaczmy jak to wygląda w naturalnej logice człowieka.
Q.
Jutro pójdę do kina
Y=K - funkcja zapisana w logice dodatniej bo Y
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Y=1 <=> K=1
.. a kiedy skłamię?
Negujemy równanie Q dwustronnie:
~Y=~K - funkcja zapisana w logice ujemnej bo ~Y
stąd:
S.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1
Tabela prawdy operatora transmisji dla naszego przykładu:
[linki]
Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla funkcji logicznej Y:
Y - funkcja Y zapisana jest w logice dodatniej jeśli nie jest zanegowana
~Y - funkcja Y zapisana jest w logice ujemnej gdy jest zanegowana
Matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
… bo kolumny wynikowe są różne
Znaczenie zer i jedynek w logice dodatniej w kolumnie AB1:
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię
Znaczenie zer i jedynek w logice ujemnej w kolumnie AB3:
~Y=1 - skłamię
~Y=0 - dotrzymam słowa
Matematycznie wynika z tego.
I prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
Dotrzymam słowa w logice dodatniej (Y=1) jest tożsame z dotrzymam słowa w logice ujemnej (~Y=0)
oraz:
II prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Skłamię w logice ujemnej (~Y=1) jest tożsame ze skłamię w logice dodatniej (Y=0)
Z powyższego wynika że nasze zdanie Q możemy matematycznie opisać na dwa sposoby i oba będą matematycznie poprawne.
1.
Naturalna logika człowieka:
Q.
Jutro pójdę do kina
Y=1
2.
Logika zero, totalnie odwrotna do logiki człowieka:
Q1.
Jutro pójdę do kina
~Y=0
Logika człowieka i logika zero to logiki równoważne, ale totalnie odwrotne. Jedną z nich musimy wykopać w kosmos, oczywiście logikę zero.
Definicja naturalnej logiki człowieka:
Naturalna logika człowieka to funkcja logiczna (Y lub ~Y) z jedynkami w kolumnie wynikowej.
Kompletnie nas nie interesują te wiersze w tabeli zero-jedynkowej, gdzie w wyniku mamy 0.
Wróćmy jeszcze raz do naszego operatora transmisji w zbiorach gdzie doskonale widać czym różni się tożsamość od równoważności.
Operator transmisji w zbiorach:
Pełna definicja operatora transmisji to oczywiście dwa równania logiczne, nie tożsame:
Y=p
~Y=~p
Matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
W zbiorach są to dwa rozłączne obszary uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Udajmy się do przedszkola:
Pani:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Czy Pani musi mówić 5-cio latkom kiedy skłamie?
Oczywiście NIE, bo wszyscy podlegamy pod banalną matematykę ścisłą, teorię zbiorów z algebry Kubusia.
Chyba nikt nie ma wątpliwości że człowiek wypowiadający za każdym razem kiedy w przyszłości dotrzyma słowa i kiedy skłamie to idiota, nie znający matematyki pod którą sam podlega.
Pani przedszkolanka nie znająca matematyki pod którą sama podlega:
A.
Drogie dzieci, jutro pójdziemy do kina
Y=K
B.
… co oznacza że skłamię jeśli jutro nie pójdziemy do kina.
~Y=~K
Doskonale widać, że samo zdanie A nie jest kompletnym operatorem transmisji.
Kompletny operator transmisji to zdanie A wypowiedziane w logice dodatniej (bo Y) plus zdanie B wypowiedziane w logice ujemnej (bo ~Y),
Twierdzenie Kłapouchego:
Żadne zdanie z naturalnego języka mówionego (z wyjątkiem równoważności <=>) nie jest odpowiednikiem kompletnego operatora logicznego.
Spójnik logiczny ## operator logiczny
gdzie:
## - różne na mocy definicji (wyjątek <=>)
Błędem jest zatem mówienie, że spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego (z naturalnej logiki człowieka) to kompletny operator OR.
To samo dotyczy matematycznych spójników „i”(*), „na pewno” => (warunek wystarczający), „może” ~> (warunek konieczny) i „może” ~~> (naturalny spójnik „może”).
4.0 Operatory implikacji i równoważności
Operatory implikacji równoważności to najważniejsze operatory dwuargumentowe, o dwóch wejściach p i q oraz jednym wyjściu Y.
Algebra Kubusia = nowa teoria zbiorów = symboliczna algebra Boole’a
Definicja:
Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a z poprawnie rozszyfrowanym znaczeniem wszystkich zer i jedynek wewnątrz operatorów logicznych.
Konstrukcja zdania warunkowego:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnie
Możliwe są trzy różne formy zdania „Jeśli p to q”:
1.
Warunek wystarczający:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Zbiór P8 zawiera się w zbiorze P2
2.
Warunek konieczny:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Zbiór P2 zawiera w sobie zbiór P8
3.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q
Zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
4.1 Operator chaosu w zbiorach
Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu ~~>:
[linki]
Ta sama definicja w równaniu algebry Kubusia:
p~~>q =1
Definicja operatora chaosu w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
p~~>q =1
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim.
Ogólne znaczenie znaczka ~~> (naturalnego spójnika „może”):
p~~>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> ma przynajmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Zauważmy, że na mocy definicji zachodzi:
Operator chaosu ## naturalny spójnik „może” ~~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden element prawdziwy (jeden element należący do zbiorów p i q), wystarczy sama możliwość zajścia.
Nie ma tu wymagania, aby zbiory p i q były ze sobą w takiej a nie innej korelacji.
Definicja spójnika „może” (partykuły) ze słownika języka polskiego:
„może” - partykuła nadająca całej wypowiedzi lub jej części odcień przypuszczenia
Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
Wszyscy wiemy, że taka możliwość istnieje, dlatego zdanie to spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt.
Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania.
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Symboliczna definicja operatora chaosu:
[linki]
Gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden element wspólny, wystarczy sama możliwość zaistnienia
Prosty przykład operatora chaosu w zbiorach:
Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Na mocy definicji musi to być operator chaosu.
Na gruncie nowej teorii zbiorów można łatwo udowodnić iż nasz przykład spełnia definicję operatora chaosu. Załóżmy na początek, że nie znamy powyższej definicji operatora chaosu i spróbujmy rozstrzygnąć definicję jakiego operatora spełnia nasza relacja zbiorów p i q.
Symboliczna definicja operatora logicznego w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Zacznijmy od zapisania wszystkich możliwych przeczeń p i q.
Symboliczna definicja operatora w zbiorach:
A: p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4] =1 - zbiór niepusty
B: p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] =[1,2] =1 - zbiór niepusty
C: ~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] =[7,8] =1 - zbiór niepusty
D: ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] =[5,6] =1 zbiór niepusty
stąd:
Symboliczna definicja operatora:
[linki]
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu.
A: p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Stąd otrzymujemy:
[linki]
Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0
Algorytm odwrotny jest oczywisty.
Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne p i q łączymy w wierszach spójnikiem „i”(*)
Mając tabelę zero-jedynkową zaglądamy do definicji wszystkich możliwych operatorów logicznych (jest ich 16) gdzie rozstrzygamy, iż uzyskana tabela zero-jedynkowa to definicja operatora chaosu.
Zauważmy, że w teorii zbiorów wystarczy rozstrzygnąć iż zbiory wynikowe A, B, C i D nie są puste.
Twierdzenie:
W dowolnym zdaniu z dwoma parametrami p i q z naturalnego języka mówionego, dla rozstrzygnięcia definicję jakiego operatora logicznego spełnia to zdanie wystarczy rozpatrzyć cztery przypadki uwzględniające wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Przykład wyżej.
To jest metoda najprostsza, ale zarazem najgorsza, nie pozwalająca operować prawami zakodowanymi wewnątrz tabeli zero-jedynkowej każdego operatora, zgodnymi z naturalną logiką człowieka.
O co tu chodzi?
Wróćmy do naszego przykładu.
Mamy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]
Posiłkując się diagramem operatora chaosu wyżej przeanalizujmy ten przykład przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~~>q =1
Zbiory:
p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4] =1 - zbiór niepusty
p*q =1*1=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q
p~~>~q =1
Zbiory:
p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] =[1,2] =1 - zbiór niepusty
p*~q =1*1=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
C.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q
~p~~>~q =1
Zbiory:
~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] =[7,8] =1 - zbiór niepusty
~p*~q =1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
~p~~>q =1
Zbiory:
~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] =[5,6] =1 zbiór niepusty
~p*q =1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu:
A: p~~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
[linki]
Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0
Algorytm odwrotny jest oczywisty.
Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
Zauważmy, że w operatorze chaosu nie ma znaczenia które zdanie przyjmiemy za punkt odniesienia, bowiem zawsze dostaniemy zero-jedynkową definicję tego operatora.
Przyjmijmy dla przykładu za punkt odniesienia zdanie C:
C: ~p~~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
[linki]
Zasady tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123 i odwrotnie są identyczne jak wyżej.
Doskonale widać, że zero-jedynkowo mamy cały czas ten sam operator chaosu.
Operator chaosu to zatem zdanie zawsze prawdziwe, bez względu na przeczenia p i q.
W algebrze Kubusia, zdanie zawsze prawdziwe to matematyczny śmieć czyli nie mamy żadnej gwarancji matematycznej we wszystkich czterech liniach, dlatego ten operator nosi nazwę operatora chaosu.
Symetrycznym do operatora chaosu jest operator śmierci, gdzie w wyniku mamy same zera.
Definicja operatora śmierci:
[linki]
Ta sama definicja w równaniu algebry Kubusia:
N(p~~>q) =0
Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem, żadne pojęcie nie jest jeszcze zdefiniowane. Nie istnieje totalnie nic, nie istnieje materia.
Przykład z matematycznego przedszkola:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 =1 bo 8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 =1 bo 5
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
~P8~~>P3 =1 bo 3
Wystarczy znaleźć po jednym elemencie wspólnym dla A, B, C, D i mamy rozstrzygnięcie.
Zdanie A jest zawsze prawdziwe, niezależnie od przeczeń p i q zatem jest to matematyczny śmieć.
Komu potrzebne są twierdzenia tego typu w matematyce?
Twierdzenie:
W operatorze chaosu argumenty są przemienne, zatem jeśli zdanie p~~>q spełnia definicję operatora chaosu to zdanie q~~>p również spełnia definicję operatora chaosu.
Nasze zdanie A po zamianie p i q przyjmuje postać:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Dowód formalny przemienności argumentów w operatorze chaosu:
[linki]
Tożsamość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem formalnym przemienności argumentów w operatorze chaosu.
4.2 Implikacja prosta w zbiorach
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
[linki]
Ta sama definicja w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
[linki]
Ta sama definicja w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Na mocy definicji zachodzi równanie ogólne implikacji:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q to mamy do czynienia z definicją implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Dokładnie tą definicję ilustruje powyższy diagram.
Jeśli zbiory p i q są tożsame, to mamy do czynienia zupełnie z inną bajką, równoważnością.
Symboliczna definicja implikacji prostej:
[linki]
gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w A i B.
Ogólna definicja znaczka =>:
p=>q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji:
~p~>~q = p=>q
Ogólna definicja znaczka ~>:
~p~>~q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
Z powyższej tożsamości wynika, że aby dowieść zachodzący warunek konieczny między ~p~>~q wystarczy dowieść warunek wystarczający p=>q zdefiniowany wyłącznie w liniach A i B w powyższej definicji.
… ale uwaga!
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego p=>q w liniach A i B o niczym nie rozstrzyga, bowiem ten sam warunek wystarczający może wchodzić w skład definicji implikacji prostej, albo w skład definicji równoważności, to musimy dopiero udowodnić. Równoważność, gdzie „rzucanie monetą” nie występuje, to zupełnie inna bajka niż implikacja, gdzie „rzucanie monetą” zawsze występuje.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q - to jest identyczny warunek wystarczający wchodzący w skład definicji implikacji prostej albo równoważności.
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający ## implikacja prosta ## równoważność
p=>q ## p=>q=~p~>~q ## p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd
Prosty przykład implikacji prostej w zbiorach:
Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd otrzymujemy:
~p=[3,4,5,6]
~q=[5,6]
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Na mocy definicji musi to być implikacja prosta.
Na gruncie nowej teorii zbiorów można łatwo udowodnić iż nasz przykład spełnia definicję operatora implikacji prostej. Załóżmy na początek, że nie znamy powyższej definicji implikacji prostej i spróbujmy rozstrzygnąć definicję jakiego operatora spełnia nasza relacja zbiorów p i q.
Symboliczna definicja operatora logicznego w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Zacznijmy od zapisania wszystkich możliwych przeczeń p i q.
Symboliczna definicja operatora w zbiorach:
A: p*q = [1,2]*[1,2,3,4] =[1,2] =1 - zbiór niepusty
B: p*~q = [1,2]*[3,4,5,6] =[] =0 - zbiór pusty
C: ~p*~q = [3,4,5,6]*[5,6] =[5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~p*q = [3,4,5,6]*[1,2,3,4] =[3,4] =1 zbiór niepusty
stąd:
Symboliczna definicja operatora:
[linki]
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
A: p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Stąd otrzymujemy:
[linki]
Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0
Algorytm odwrotny jest oczywisty.
Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne p i q łączymy w wierszach spójnikiem „i”(*)
Mając tabelę zero-jedynkową zaglądamy do definicji wszystkich możliwych operatorów logicznych (jest ich 16) gdzie rozstrzygamy, iż uzyskana tabela zero-jedynkowa to definicja implikacji prostej.
Zauważmy, że w teorii zbiorów wystarczy rozstrzygnąć iż zbiory wynikowe A, C i D nie są puste, natomiast zbiór wynikowy B jest zbiorem pustym.
B: p*~q = [1,2]*[5,6]=[] =0
Twierdzenie:
W dowolnym zdaniu z dwoma parametrami p i q z naturalnego języka mówionego, dla rozstrzygnięcia definicję jakiego operatora logicznego spełnia to zdanie wystarczy rozpatrzyć cztery przypadki uwzględniające wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Przykład wyżej.
To jest metoda najprostsza, ale zarazem najgorsza, nie pozwalająca operować prawami zakodowanymi wewnątrz tabeli zero-jedynkowej każdego operatora, zgodnymi z naturalną logiką człowieka.
dnia Nie 14:44, 05 Maj 2013, w całości zmieniany 62 razy