polsk riksdag
4.002 Człowiek posiada zdolność budowania języków, które pozwalają wyrazić każdy sens - nie mając przy tym pojęcia, co i jak każde słowo oznacza. - Podobnie też mówimy, nie wiedząc, jak wytwarzane są poszczególne głoski.
Język potoczny stanowi część organizmu ludzkiego i jest nie mniej niż on skomplikowany.
Wydobycie logiki języka wprost z języka potocznego jest niepodobieństwem.
Język przesłania myśl. Tak mianowicie, że z zewnętrznej formy szaty nie można wnosić o formie przybranej w nią myśli. Kształtowaniu szaty przyświecają bowiem zgoła inne cele, niż ujawnianie formy ciała.
Ciche umowy co do rozumienia języka potocznego są niebywale skomplikowane.
Język potoczny musi mieć kręgosłup matematyczny inaczej człowiek z człowiekiem nigdy by się nie dogadał. Ten kręgosłup to Algebra Kubusia.
Algebra Kubusia to matematyka każdego 5-cio latka, więc gdzie tu jest to „niebywałe skomplikowanie”?
Spis treści:
Część I
Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego
1.0 Notacja
1.1 Sprowadzanie zmiennych do jedynek
1.2 Podstawowe operacje na zbiorach
2.0 Algebra Kubusia w pigułce
2.1 Aksjomatyka algebry Kubusia
2.2 Aksjomaty Kubusia w praktyce języka mówionego
2.3 Operatory OR i AND
2.4 Operatory implikacji i równoważności
3.0 Operatory OR i AND
3.1 Spójniki “i”(*) i “lub”(+)
3.2 Spójniki „i”(*) i „lub”(+) w zbiorach
3.3 Definicja operatora OR
3.4 Operator OR w zbiorach
3.5 Definicja operatora AND
3.6 Operator AND w zbiorach
4.0 Operatory implikacji i równoważności
4.1 Operatory implikacji
4.2 Definicje implikacji w bramkach logicznych
4.3 Definicja implikacji prostej
4.4 Operator implikacji prostej w zbiorach
4.5 Definicja implikacji odwrotnej
4.6 Operator implikacji odwrotnej w zbiorach
4.7 Operator równoważności
4.8 Równoważność w zbiorach
5.0 Równoważność czy implikacja
5.1 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności
5.2 Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności
5.3 Licealne definicja implikacji i równoważności
5.4 Kwadrat logiczny równoważności
5.5 Kwadrat logiczny implikacji
5.6 Algorytmy dowodzenia twierdzeń matematycznych
5.7 Matematyczne związki w implikacji
5.8 Implikacje nietypowe
5.9 Operator implikacji prostej zdefiniowany spójnikiem “i”(*)
6.0 Algebra Kubusia w równaniach logicznych
6.1 Prawa wynikające z definicji operatora AND
6.2 Prawa wynikające z definicji operatora OR
6.3 Najważniejsze prawa algebry Kubusia
6.4 Metody upraszczania równań algebry Kubusia
6.5 Tworzenie równań algebry Kubusia z tabel zero-jedynkowych
7.0 Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych
7.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
7.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
7.3 Operatory transmisji P i Q
7.4 operatory negacji NP i NQ
Część II
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
9.0 Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
9.1 Nieznane prawa logiki
9.2 Świat niezdeterminowany
9.3 Świat zdeterminowany
9.4 Prawa eliminacji fałszu ze spójnika „lub”(+)
9.5 Prawa eliminacji fałszu ze spójnika „i”(*)
9.6 Operatory OR i AND w świecie zdeterminowanym
10.0 Operatory implikacji w świecie zdeterminowanym
10.1 Podstawowe analizy implikacji prostej i odwrotnej
10.2 Złożona implikacja prosta w świecie zdeterminowanym
10.3 Złożona implikacja odwrotna w świecie zdeterminowanym
11.0 Obietnice i groźby
11.1 Obietnica
11.2 Groźba
11.3 Analiza złożonej obietnicy
11.4 Analiza złożonej groźby
11.5 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
11.6 Rodzaje obietnic
12.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych
12.1 Obietnica w równaniach matematycznych
12.2 Groźba w równaniach matematycznych
1.0 Notacja
W algebrze Kubusia zera i jedynki oznaczają.
1 - prawda, zawsze i wszędzie, niezależna od logiki dodatniej i ujemnej
0 - fałsz, zawsze i wszędzie, niezależnie od logiki dodatniej i ujemnej
W nowej teorii zbiorów zera i jedynki oznaczają:
1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
~ - symbol przeczenia NIE
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy = Nieprawdą jest ~(…), że jestem nieuczciwy
U = ~(~U)
# - różne
Prawda # Fałsz
1 # 0
Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
Prawda to NIE fałsz
1 = ~0
Ziemia jest płaska
ZP=0 - fałsz
Ziemia nie jest płaska
~ZP=~0=1 - prawda
Fałsz to NIE prawda
0 = ~1
Ziemia jest kulą
ZK=1 - prawda
Ziemia nie jest kulą
~ZK=~1=0 - fałsz
## - różne na mocy definicji
Y=p+q ## Y=p*q
p=>q ## p~>q
Spójniki logiczne
W całej matematyce mamy zaledwie pięć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)
Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia zdanie to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.
Zdanie musi mieć sens w danym języku.
Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym lub koniecznym albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek.
1.1 Sprowadzanie zmiennych do jedynek
Twierdzenie:
Warunkiem koniecznym dla zrozumienia naturalnej logiki człowieka jest akceptacja banalnej logiki dodatniej i ujemnej oraz przejście na równania algebry Boole’a, czyli odcięcie się od bezwzględnych zer i jedynek.
Prawo algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Naturalna logika człowieka wymaga sprowadzenia wszystkich zmiennych do jedynek na mocy powyższego prawa.
O co chodzi?
Rozważmy zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K - logika dodatnia bo Y (niezanegowane)
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1)
... a kiedy skłamię?
Oczywistość każdego 5-cio latka:
Skłamię, wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina
To zdanie możemy zapisać poprawnie matematycznie na dwa sposoby:
B.
Skłamię (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (K=0)
Y=0 <=> K=0
W tym przypadku całą logikę mamy zakodowaną w zerach jedynkach!
Tymczasem wszystkie prawa logiczne działają w zapisach symbolicznych po uwolnieniu się od idiotycznych zer i jedynek.
Jak pozbyć się tych zer i jedynek?
Matematyczne podejście do problemu jest takie:
... a kiedy skłamię?
Przechodzimy do logiki ujemnej negując dwustronnie tożsamość A:
~Y=~K - logika ujemna bo ~Y (zanegowane)
Co matematycznie oznacza:
C.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1), że skłamałem (~Y)
~K=1 - prawdą jest (=1), że nie byłem w kinie (~K)
Porównanie kodowania w logice dodatniej i ujemnej
Zdanie B.
Skłamię (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (K=0)
Y=0 <=> K=0
Logika dodatnia bo K (bez przeczenia):
K=0 - nie byłem w kinie, zapisane w logice dodatniej
Zdanie B musimy czytać:
Fałszem jest (=0), że byłem w kinie (K)
co ma się nijak do zdania B, bowiem w zdaniu B jest przeczenie przy „kinie” a tu go totalnie nie widać.
Zdanie C.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1
Logika ujemna bo ~K (jest przeczenie)
Zdanie C czytamy:
C1: ~K=1 - prawdą jest (=1), że nie byłem w kinie (~K)
C2: ~K=1 - nie byłem w kinie
C3: ~K - nie byłem w kinie
Jak widzimy, mamy tu aż trzy równoważne sposoby zapisu i odczytu, wszystkie w 100% zgodne z naturalną logiką człowieka, wiernie odzwierciedlające to, co mówimy w zdaniu C.
W zdaniu C3 pozbyliśmy się idiotycznych zer i jedynek totalnie, a mimo wszystko ten zapis jest zrozumiały dla wszystkich.
C3: ~K - nie byłem w kinie
A3: K - byłem w kinie
Widać jak na dłoni, iż w poprawnej logice matematycznej rolę zer i jedynek przejmują zmienne.
Jutro pójdę do kina
K - logika dodatnia bo K
Jutro nie pójdę do kina
~K - logika ujemna bo ~K
Jak widzimy w logice symbolicznej zera i jedynki w ogóle się nie pojawiają, ich role przejmują zmienne zaprzeczone i niezaprzeczone.
Weźmy teraz takie zdanie:
Pies miauczy
P=>M
P=1 => M=0
Mamy tu 100% determinizm, to zdanie jest zawsze fałszywe, zatem w tym przypadku musimy zapisać zero w wyniku (M=0). Zwierzę „nie pies” (~P) nas totalnie nie interesuje bo nic o tym to zdanie nie mówi. Poza tym w poprawnej logice fałszów się nie analizuje, bowiem nie istnieje prawo matematyczne któryby z fałszu mogło zrobić prawdę.
1.2 Podstawowe operacje na zbiorach
Podane niżej podstawowe operacje logiczne na zbiorach są wystarczające do obsługi pełnej listy dwuargumentowych operatorów logicznych, gdzie obowiązuje rachunek zero-jedynkowy.
Działania te są również wystarczające do obsługi rozszerzonej teorii zbiorów, gdzie nie obowiązuje rachunek zero-jedynkowy (cześć II podręcznika).
W teorii zbiorów zera i jedynki oznaczają:
1 - zbiór istnieje (niepusty), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
1.
Zbiory tożsame = identyczne
TR = zbiór trójkątów równobocznych
KR = zbiór trójkątów o równych kątach
Oczywiście zachodzi tożsamość:
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
Zbiór TR = Zbiór KR
~TR = zbiór trójkątów nierównobocznych
~KR = zbiór trójkątów nie mających kątów równych
Oczywiście zachodzi tożsamość:
Zbiór trójkątów nierównobocznych = Zbiór trójkątów o nie równych kątach
Zbiór ~TR = Zbiór ~KR
2.
Iloczyn logiczny zbiorów = wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń (operacja AND)
Y=A*B
A=[1,2], B=[1,2,3,4]
Y=A*B=[1,2]
3.
Suma logiczna zbiorów = wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń (operacja OR)
Y=A+B
A=[1,2], B=[1,2,3,4]
Y=A+B = [1,2,3,4]
4.
Różnica zbiorów A-B = elementy zbioru A pomniejszone o cześć wspólna zbiorów A i B
Y=A-B
A=[1,2,3,4], B=[1,2]
Y=A-B = [3,4]
Y=B-A = 0 - zbiór pusty !
5.
Zbiór pusty = brak wspólnej części zbiorów w operacji AND, albo różnica zbiorów pusta jak wyżej
Y=A*B=0
A=[1,2], B=[3,4]
Y=A*B =0 - brak części wspólnej, zbiór pusty !
Przykład:
Dane są trzy zbiory:
A=[1,2,3,4]
B=[3,4,5,6]
C=[5,6,7,8]
Iloczyn logiczny:
A*B*C = 0 bo: A*C=0
Suma logiczna:
A+B+C = [1,2,3,4,5,6,7,8]
Różnica zbiorów:
A-B = [1,2]
A-C = [1,2,3,4]
Pojęcie zbioru jako zbioru przypadkowych elementów jest matematycznie bez sensu.
Jednorodność zbioru:
Zbiór musi być jednorodny w określonej dziedzinie
Oznacza to, że nie wolno do jednego zbioru wkładać psa, krzesła, samochodu, wąsów dziadka itp
Implikacja:
p=>q
Jeśli p to q
p - poprzednik
q - następnik
Równoważność
p<=>q
p wtedy i tylko wtedy gdy q
Definicja dziedziny:
Dziedzina to kompletny zbiór na którym operuje implikacja lub równoważność
W algebrze Kubusia musi być spełnione:
p+~p=1 - zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p=0 - żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p
q+~q=1 - zbiór ~q jest dopełnieniem zbioru q do wspólnej dziedziny D
q*~q=0 - żaden element zbioru ~q nie należy do zbioru q
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Dziedzina po stronie p:
P + ~P=1
P*~P=0
P - zbiór wszystkich psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Dziedzina po stronie q:
4L+~4L=1
4L*~4L=0
4L - zbiór zwierząt mających 4 łapy
~4L - zbiór zwierząt nie mających 4 łap
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Doskonale widać, że wszystkie powyższe zbiory operują w tej samej dziedzinie.
Zbiór bieżący (aktualny):
Zbiór bieżący (aktualny) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli p to q”
Uwaga:
W zdaniach najczęściej wypowiadanych oba zbiory p i q należą do tej samej dziedziny jak to pokazano na przykładzie wyżej nie są rozłączne.
W ogólnym przypadku nie jest to wymagane, prawdziwe są takie implikacje:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1
Zbiór psów i zbiór kotów to zbiory rozłączne, należące do tej samej dziedziny: zbiór zwierząt
Zbiór psów P zawiera się w całości w zbiorze zwierząt nie będących kotami (~K).
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
Zbiór psów i zbiór samochodów to zbiory rozłączne, należące do różnych dziedzin.
Zbiór psów P zawiera się w całości w zbiorze ~S.
Oczywiście takich zdań ludzie normalni nie wymawiają, chyba że w czasie nauki języka 2-latka, albo w dowcipach. Tego typu zdaniami prawdziwymi, gdzie następnik q jest negacją zbioru rozłącznego w stosunku do p, zajmiemy się w dalszej części podręcznika.
2.0 Algebra Kubusia w pigułce
Algebra Kubusia w pigułce to wyłącznie definicje formalne, czyli to co najważniejsze bez zbędnych przykładów. Oczywiście przy pierwszym czytaniu ten punkt może nie być zrozumiały. Właściwy podręcznik rozpoczyna się od pkt. 3.0.
Notacja:
1 -prawda, niezależnie od logiki dodatniej czy ujemnej
0 - fałsz, niezależnie od logiki dodatniej czy ujemnej
2.1 Aksjomatyka algebry Kubusia
Wikipedia:
Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej.
We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:
Aksjomaty są zdaniami wyodrębnionymi spośród wszystkich twierdzeń danej teorii, wybranymi tak, aby wynikały z nich wszystkie pozostałe twierdzenia tej teorii. Taki układ aksjomatów nazywany jest aksjomatyką.
Aksjomatyka algebry Kubusia to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.
Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
[linki]
Uwagi
1.
Definicje zero-jedynkowe wszystkich operatorów logicznych zapisane dla świata totalnie niezdeterminowanego gdzie nie jest znana wartość logiczna ani p, ani q.
2.
Twierdzenie Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne p i q są znane z góry, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
3.
W nowej teorii zbiorów zbiory p i q muszą mieć wspólną część, inaczej nie ma gwarancji spełnienia w 100% tabel zero-jedynkowych powyższych operatorów.
Na dzień dzisiejszy operatory logiczne są poprawnie rozszyfrowane z punktu odniesienia banalnych bramek logicznych będących sprzętowym fundamentem każdego komputera.
W teorii bramek logicznych zachodzi tożsamość:
Algebra Kubusia = Algebra Boole’a
Trzeba tu jednak zdecydowanie odróżnić sprzęt od oprogramowania. Sprzęt komputerowy to fundamentalnie co innego niż program komputerowy napisany przez człowieka. Pisząc program komputerowy posługujemy się naturalną logiką człowieka, jak do tej pory totalnie nierozszyfrowaną od strony matematycznej.
Zadaniem tego podręcznika jest pokazanie jak nieprawdopodobnie banalna jest od strony matematycznej naturalna logika człowieka, algebra Kubusia, którą doskonale znają i posługują się w praktyce wszyscy od 5-cio latka po profesora.
Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy, to jedyny znaczek będący równocześnie spójnikiem i operatorem logicznym.
Aksjomatyka algebry Kubusia!
I aksjomat Kubusia.
Operator OR w równaniach algebry Boole’a:
Y=p+q
~Y=~p*~q
gdzie:
Y=p+q
Y - dotrzymam słowa (Y), logika dodatnia bo Y
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q
~Y - skłamię (~Y), logika ujemna bo ~Y
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
stąd:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana
Uwaga!
Prawo de’Morgana nie daje odpowiedzi na pytanie:
Kiedy skłamię (~Y)?
Dlatego w języku potocznym jest praktycznie nie używane.
II aksjomat Kubusia.
Operator AND w równaniach algebry Boole’a:
Y=p*q
~Y=~p+q
gdzie:
Y=p*q
Y - dotrzymam słowa (Y), logika dodatnia bo Y
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
~Y - skłamię (~Y), logika ujemna bo ~Y
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
stąd:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana
Uwaga!
Prawo de’Morgana nie daje odpowiedzi na pytanie:
Kiedy skłamię (~Y)?
Dlatego w języku potocznym jest praktycznie nie używane.
III aksjomat Kubusia.
Operator implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
gdzie:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p musi być wystarczające => dla q
Logika dodatnia bo q
... a jeśli zajdzie ~p?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p musi być konieczne ~> dla ~q
Logika ujemna bo ~q
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” => w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” ~> w implikacji
Spełnienie warunku wystarczającego => z jednej strony tożsamości Kubusia wymusza spełnienie warunku koniecznego ~> z drugiej strony równania Kubusia i odwrotnie.
Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo ~q):
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że zdanie p=>~q musi być fałszem.
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna
Równoważna definicja implikacji prostej
Implikacja prosta to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna:
p=>q = ~p~>~q = ~(p*~q)
IV aksjomat Kubusia.
Operator implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
p~>q
Jeśli zajdzie p to na może ~> zajść q
p musi być konieczne ~> dla q
Logika dodatnia bo q
... a jeśli zajdzie ~p?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników.
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p musi być wystarczające => dla ~q
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” ~> w implikacji
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” => w całym obszarze logiki
Spełnienie warunku koniecznego ~> z jednej strony tożsamości Kubusia wymusza spełnienie warunku wystarczającego => z drugiej strony równania Kubusia i odwrotnie.
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zdanie ~p=>q musi być fałszem.
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna
Równoważna definicja implikacji odwrotnej
Implikacja odwrotna to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna:
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q)
V aksjomat Kubusia.
Operator równoważności w równaniu algebry Boole’a:
p<=>q= (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q).
Równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
Uwaga:
Wyłącznie w równoważności mamy do czynienia z iloczynem logicznym implikacji wirtualnych niedostępnych w świecie rzeczywistym, gdzie warunek konieczny ~> (spójnik „może”) jest wycinany przez definicję równoważności i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Wirtualna definicja implikacji prostej:
p=>q = [~p~>~q] - prawo Kubusia
Wirtualna definicja implikacji odwrotnej:
[p~>q] = ~p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
[ ... ] - część wirtualna, niedostępna w świecie rzeczywistym
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki
[~>] - wirtualny warunek konieczny o definicji:
[p~>q] = ~p=>~q - prawo Kubusia
[~p~>~q] = p=>q - prawo Kubusia
W równoważności, znany z implikacji spójnik „może” ~> jest blokowany przez definicję równoważności i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
W równoważności mamy do czynienia ze 100% determinizmem (spójnik „na pewno” =>) zarówno po stronie p jak i po stronie ~p.
W świecie rzeczywistym mamy do czynienia wyłącznie z iloczynem logicznym warunku wystarczającego w logice dodatniej => (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q).
Równoważna definicja równoważności
Równoważność to dwie gwarancje matematyczne:
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja A
~p=>~q = ~(~p*q) - gwarancja B
VI aksjomat Kubusia.
Operator zdania zawsze prawdziwego ~~>
p~~>q=1
Zdanie prawdziwe dla dowolnych przeczeń p i q
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Uwaga!
Bezpośrednio z aksjomatów III, IV i V wynika prawo ateisty.pl
Definicja warunku koniecznego w całym obszarze logiki:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Z powyższego wynika, że całą logikę w zakresie rozstrzygania o prawdziwości/fałszywości implikacji i równoważności możemy sprowadzić do badania banalnych warunków wystarczających!
Podsumowanie:
Jak widzimy, spójnik logiczny to zawsze tylko połówka odpowiedniego operatora (wyjątkiem jest tu <=>).
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Spójnik logiczny ## operator logiczny
gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.2 Aksjomaty Kubusia w praktyce języka mówionego
Dlaczego prawa de’Mograna i prawa Kubusia to najważniejsze prawa w całej logice matematycznej?
... bo to są najzwyklejsze definicje operatorów logicznych:
OR, AND, implikacji prostej, implikacji odwrotnej!
Zapisane w równaniach algebry Boole’a!
Dowód!
Prawa de’Morgana znane człowiekowi:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
Praw de’Morgana zapisanych w tej postaci człowiek praktycznie NIGDY nie używa!
Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora używa praw de’Morgana milion razy na dobę, ale nie tych wyżej, lecz tych niżej!
Prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y - dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y - skłamię, logika ujemna bo ~Y
~Y=~p*~q
To co wyżej to pełna definicja operatora logicznego OR zapisana w równaniach algebry Boole’a!
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd prawo de’Morgana znane człowiekowi:
p+q = ~(~p*~q)
Przykład użycia:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
Prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*):
Y - dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y - skłamię, logika ujemna bo ~Y
~Y=~p+~q
To co wyżej to pełna definicja operatora logicznego AND zapisana w równaniach algebry Boole’a!
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd prawo de’Morgana znane człowiekowi:
p*q = ~(~p+~q)
Przykład użycia:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
Prawa Kubusia!
p~>q = ~p=>~q - definicja operatora implikacji odwrotnej
p=>q = ~p~>~q - definicja operatora implikacji prostej
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji:
Zdanie jest wypowiedziane w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane (q).
Zdanie jest wypowiedziane w logice ujemnej wtedy i tylko wtedy gdy q jest zanegowane (~q)
Przykład użycia prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1 - istnieje taka możliwość, „rzucanie monetą”!
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu!
... a jak nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
stąd:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 - oczywistość, gwarancja matematyczna!
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym aby jutro nie padało!
Przykład użycia drugiego prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 - oczywistość, gwarancja matematyczna!
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym aby jutro było pochmurno!
... a jak nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
stąd:
Jeśli jutro nie będzie padło to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 - istnieje taka możliwość, „rzucanie monetą”!
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie było pochmurno!
Jak widać z powyższego prawa Kubusia to matematyczne związki między warunkiem koniecznym ~> a warunkiem wystarczającym => !
Prawa Kubusia to najważniejsze prawa w logice matematycznej!
p~>q = ~p=>~q - definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a
p=>q = ~p~>~q - definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a
Czyli:
Jeśli zachodzi warunek wystarczający => (100% pewność) z jednej strony prawa Kubusia to z drugiej strony musi zachodzić warunek konieczny~> („rzucanie monetą”), albo odwrotnie!
Nie ma przeproś!
To jest prawo matematyczne pod które wszyscy podlegamy, człowiek nie ma tu nic do gadania, choćby się nie wiem jak napinał to tych praw NIGDY nie złamie!
Wniosek:
Nie ma implikacji, ani prostej, ani odwrotnej, bez warunku koniecznego ~>, czyli najzwyklejszego „rzucania monetą”
Dlaczego prawa Kubusia są najważniejsze?
Bo sterują wszelkim życiem na ziemi, OR i AND to tylko dodatek do kożucha.
Dowód!
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji!
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Fundamentem życia na Ziemi jest odróżnianie kary od nagrody przez wszelkie istoty żywe!
Zwierzątka które tego nie odróżniały dawno wyginęły!
Definicja warunku koniecznego w całym obszarze logiki matematycznej!
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia
Prosty przykład rozstrzygnięcia o braku zachodzenia warunku koniecznego ~> między p i q.
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH ??? ~P=1 - istnieje taka możliwość.
Sprawdzamy prawem Kubusia czy między p i q zachodzi warunek konieczny:
CH~>~P = ~CH=>P=0 - prawo Kubusia
Prawa strona tożsamości Kubusia brzmi:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 - oczywisty fałsz!
Prawa strona równania Kubusia jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny~>!
Nie możemy zatem zdania B zakodować symbolem warunku koniecznego ~>!
Zdanie B jest jednak ewidentnie prawdziwe, bowiem w spójniku „może” wystarczy pokazać jeden przypadek dla którego całe zdanie jest prawdziwe.
Cóż więc robić?
Oczywiście musimy sięgnąć po ten symbol:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH ~~> ~P=1 - istnieje taka możliwość.
2.3 Operatory OR i AND
Symboliczna definicja operatora OR:
[linki]
gdzie:
W - zdanie wypowiedziane
U - zdanie przeciwne do wypowiedzianego
~ - przeczenie NIE z naturalnego języka mówionego
„*” - spójnik logiczny „i”(*) z naturalnego języka mówionego
„+” - spójnik logiczny „lub”(+) z naturalnego języka mówionego
Y - dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
~Y - skłamię, logika ujemne bo ~Y
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
W.
Y=p+q
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) lub zajdzie q (q=1)
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Równoważna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
W.
Y=p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
D.
~Y=~p*~q - logika ujemne bo ~Y
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y= ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i D mamy prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Symboliczna definicja operatora AND:
[linki]
gdzie:
W - zdanie wypowiedziane
U - zdanie przeciwne do wypowiedzianego
~ - przeczenie NIE z naturalnego języka mówionego
„*” - spójnik logiczny „i”(*) z naturalnego języka mówionego
„+” - spójnik logiczny „lub”(+) z naturalnego języka mówionego
Y - dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
~Y - skłamię, logika ujemne bo ~Y
Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W.
Y=p*q
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i zajdzie q (q=1)
Y=1 <=> p=1 i q=1
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~p+~q
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p (~p=1) lub zajdzie ~q (~q=1)
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Definicja równoważna:
Wszystkie inne kombinacje zmiennych p i q różne od W.
U.
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y= ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
2.4 Operatory implikacji i równoważności
Symboliczna definicja implikacji prostej:
[linki]
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - spójnik „na pewno” miedzy p i q, warunek wystarczający o definicji wyłącznie w A i B
~> - spójnik „może” miedzy p i q, warunek konieczny o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Gwarancja matematyczna wyrażona spójnikiem „i”(*):
p=>q = ~(p*~q)
W implikacji prostej mamy gwarancję po stronie p i totalny brak gwarancji po stronie ~p.
Po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Stąd.
Licealna definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna
p=>q = ~(p*~q)
~p=>~q=0
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno będzie pochmurno
P=>CH = ~(P*~CH)=1 - gwarancja matematyczna
Nie może się zdarzyć ~(...) że jutro będzie padało i nie będzie pochmurno
~(P*~CH)
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
[linki]
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - spójnik „na pewno”, warunek wystarczający o definicji wyłącznie w C i D
~> - spójnik „może”, warunek konieczny o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Gwarancja matematyczna wyrażona spójnikiem „i”(*):
~p=>~q = ~(~p*q)
W implikacji odwrotnej mamy gwarancję po stronie ~p i totalny brak gwarancji po stronie p.
Po stronie p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Stąd.
Licealna definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna
~p=>~q = ~(~p*q)
p=>q=0
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
... a jak nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P=~CH=>~P
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P = ~(~CH*P)=1 - gwarancja matematyczna
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie będzie pochmurno i będzie padało
~(CH*P)
Na mocy powyższych definicji mamy najważniejsze definicje w całej logice matematycznej!
To definicje warunku wystarczającego w logice dodatniej i ujemnej.
1.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padło to na pewno będzie pochmurno
P=>CH
P=>~CH=0
2.
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Przykład:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P
~CH=>P=0
Ogólna definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia
Z powyższego wynika, że całą logikę w zakresie implikacji możemy sprowadzić do badania banalnych warunków wystarczających o definicjach jak wyżej.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny wirtualnej implikacji prostej i odwrotnej.
[linki]
gdzie:
[…] - część wirtualna, niedostępna w świecie rzeczywistym
Warunek konieczny w implikacji prostej (linie C i D):
[~p~>~q]
jest wycinany przez warunek wystarczający implikacji odwrotnej (C i D) i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Stąd:
[~p~>~q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym
W świecie rzeczywistym w liniach C i D widzimy wyłącznie warunek wystarczający:
~p=>~q = ~(~p*q) - gwarancja matematyczna
Analogicznie:
Warunek konieczny w implikacji odwrotnej (linie A i B):
[p~>q]
jest wycinany przez warunek wystarczający implikacji prostej (A i B) i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Stąd:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym
W świecie rzeczywistym w liniach A i B widzimy wyłącznie warunek wystarczający:
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja matematyczna
Stąd.
Licealna definicja równoważności:
Równoważność to dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne:
p=>q = ~(p*~q)=1 - gwarancja matematyczna A
~p=>~q = ~(~p*q) - gwarancja matematyczna B
Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR = ~(TR*~KR)=1
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to nie ma katów równych
~TR=>~KR=~(~TR*KR)=1
Wniosek:
Mamy tu do czynienia z równoważnością!
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = 1*1=1
Na podstawie powyższego mamy.
Symboliczna definicja równoważności:
[linki]
Równania rachunku zero-jedynkowego opisujące równoważność:
p<=>p = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
Możliwe są dwie równoważne interpretacje słowne prawej strony równania:
p=>q - warunek wystarczający o definicji jak w liniach A i B
p=>q - implikacja wirtualna gdzie „rzucanie monetą” jest przykryte przez linie C i D powyższej definicji.
~p=>~q - warunek wystarczający o definicji jak w liniach C i D
~p=>~q - implikacja wirtualna gdzie „rzucanie monetą” jest przykryte przez linie A i B powyższej definicji
Definicja równoważności w postaci gwarancji matematycznych:
p=>q = ~(p*~q)
~p=>~q = ~(~p*q)
stąd:
p<=>q = [~(p*~q)]*[~(~p*q)] =1*1=1
Muszą zachodzić dwie gwarancje matematyczne!
Wtedy i tylko wtedy zdanie jest równoważnością.
Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)=1*1=1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
czyli:
p=>q - p jest wystarczające dla q
i
[p~>q] - p jest konieczne dla q
Stąd mamy śfińską definicję równoważności niżej.
Najważniejsze definicje do rozstrzygania o prawdziwości/fałszywości dowolnej implikacji i równoważności
Wszystkie poniższe definicje sprowadzają się do badania banalnych warunków wystarczających o definicji wyżej.
ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] =1*1=1
Równoważność, to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q
p=>q=1
p~>q=~p=>~q=1
Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => miedzy p i q
p=>q=1
p~>q=~p=>~q=0
Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między p i q
p~>q=~p=>~q=1
p=>q=0
Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności
Implikacja to wynikanie => wyłącznie w jedną stronę:
Implikacja prosta:
Implikacja prosta to warunek wystarczający => wyłącznie w kierunku p=>q
p=>q=~p~>~q =1
q=>p=0
Implikacja odwrotna:
Implikacja odwrotna to warunek wystarczający wyłącznie w kierunku ~p=>~q
~p=>~q = p~>q =1
~q=>~p=0
Równoważność:
Równoważność to wynikanie => w dwie strony.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p=>q=1
q=>p=1
albo:
Definicja równoważna:
p<=>q = ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
~p=>~q=1
~q=>~p=1
Licealne definicja implikacji i równoważności:
Implikacja to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna
Implikacja prosta:
p=>q=~(p*~q)=1
~p=>~q=0
Implikacja odwrotna:
~p=>~q=~(~p*q)=1
p=>q=0
Równoważność:
Równoważność to dwie gwarancje matematyczne
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q=~(p*~q)=1 - gwarancja A
~p=>~q=~(~p*q)=1 - gwarancja B
Kwadrat logiczny równoważności
[linki]
Wszystkie możliwe definicje równoważności to dowolny bok kwadratu:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (q=>p)*(~q=>~p) = (p=>q)*(q=>p) = (~p=>~q)*(~q=>~p)
W równoważności między dowolnymi dwoma wierzchołkami zachodzą jednocześnie warunki wystarczający rzeczywisty => i warunek konieczny wirtualny ~>.
Wirtualny warunek konieczny ~> (rzucanie monetą) nie jest dostępny w świecie rzeczywistym!
W świecie rzeczywistym dostępne są wyłącznie warunki wystarczające => o definicjach jak wyżej.
Oczywiście w równoważności zachodzą też warunki wystarczający => i konieczny wirtualny ~> po przekątnych kwadratu:
p???q = (p=>q)*(~q=>~p) = (~p=>~q)*(q=>p)
Dlaczego to nie są definicje równoważności?
Odpowiedź:
Bo operator ??? nie jest jednoznaczny.
??? - to może być operator zarówno równoważności jak i czegoś fundamentalnie innego, implikacji!
Równoważność to fundamentalnie co innego niż implikacja.
Nic co jest równoważnością prawdziwą nie ma prawa być implikacją prawdziwą i odwrotnie.
Kwadrat logiczny implikacji
[linki]
W kwadracie logicznym implikacji zachodzą tożsamościowe prawa matematyczne wyłącznie w pionach.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q=1 - prawo Kubusia
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q=1 - prawo Kubusia
Oczywiście na mocy definicji mamy:
p=>q = ~p>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji.
W pionach mamy do czynienia z dwom izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne, ani w poziomie, ani po przekątnych!
Pod p i q w obu pionach możemy sobie podstawiać co nam się żywcem podoba.
Przykładowo:
Jeśli stwierdzimy warunek wystarczający w punkcie C1:
~p=>~q=1
oraz brak warunku wystarczającego w punkcie A1:
p=>q=0
To możemy być pewni iż nasze zdanie to piękna implikacja odwrotna, czyli coś fundamentalnie innego niż implikacja prosta czy też równoważność!
3.0 Operatory OR i AND
Zmienna binarna:
Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości:
1 - prawda
0 - fałsz
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
[linki]
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
[linki]
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
3.1 Spójniki “i”(*) i “lub”(+)
Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.
Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.
Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji
Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p=p
p*~p=0
Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+ 1 =1
p+p=p
p+~p = 1
Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Przykłady:
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina
Y=K*~K=0 - zdanie sprzeczne wewnętrznie
Zbiory K i ~K są rozłączne
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
Y = K+~K=1
Zbiór ~K jest dopełnieniem zbioru K do wspólnej dziedziny.
Tu dziedzina: wszelkie dostępne możliwości
Cokolwiek nie zrobię to dotrzymam słowa, nie ma tu szans na kłamstwo.
3.2 Spójniki „i”(*) i „lub”(+) w zbiorach
Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach
Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i zajdzie q (q=1)
Koniec !
O niczym innym zdanie A nie mówi.
Symboliczna definicja spójnika „i”:
[linki]
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach
Na podstawie powyższego diagramu mamy dwie równoważne definicje spójnika “lub”(+) w logice dodatniej (bo Y).
A.
Y=p+q
B.
Y= p*q + p*~q + ~p*q
Oczywiście:
Y=Y
stąd definicja równoważna spójnika „lub”(+)
C.
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Doskonale widać poprawność powyższej tożsamości w zbiorach.
Oczywiście wszystkie te zbiory realnie istnieją.
Znaczenie jedynki i zera w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Stąd matematycznie powyższe równanie możemy rozpisać jako:
A.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
B.
Y= p*q + p*~q + ~p*q
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Na mocy definicji spójnika „lub” możemy symbolicznie zapisać:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Co matematycznie oznacza:
p*q=Y - dotrzymam słowa (Y=1) jeśli zajdzie p=1 i q=1
lub
p*~q=Y - dotrzymam słowa (Y=1) jeśli zajdzie p=1 i ~q=1
lub
~p*q=Y - dotrzymam słowa (Y=1) jeśli zajdzie ~p=1 i q=1
Stąd definicja symboliczna spójnika „lub”:
[linki]
dnia Nie 1:35, 05 Lut 2012, w całości zmieniany 1 raz
3.3 Definicja operatora OR
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
[linki]
Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.
Najprostsze równanie dla powyższej tabeli otrzymamy dla linii D bowiem mamy tu samotne zero.
D.
Y=0 <=> p=0 i q=0
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
D.
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Jak widzimy, na mocy definicji spójnika „i”(*) w równaniu D możemy wykopać w kosmos bezwzględne jedynki otrzymując równanie algebry Kubusia opisujące powyższą tabele zero-jedynkową.
Mamy zatem:
D.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
W tym przypadku „i”(*) na „lub”(+) i odwrotnie.
Przechodzimy z równaniem D do logiki przeciwnej otrzymując:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Zauważmy, że mamy tu 100% zgodność z definicją spójnika „lub”(+).
Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Równoważną definicje spójnika „lub”(+) otrzymamy opisując same jedynki w definicji zero-jedynkowej.
Mamy:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Stąd mamy równoważną definicję spójnika ‘lub”(+):
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR I AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)
Stąd:
Symboliczna definicja operatora OR:
[linki]
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając E i D mam prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
[linki]
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono te linie tabeli zero-jedynkowej, które biorą udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka. Doskonale widać zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*) w tabeli ~Y=~p*~q
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatorów OR i AND:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia Y w operatorach OR i AND znaczenie sygnałów jest następujące:
Dotrzymam słowa (Y):
Y=1 /linie A,B,C kolumny Y=p+q
Skłamię (~Y)
~Y=1 /linia D kolumny ~Y=~p*~q
W operatorach OR i AND linie z zerami w wyniku są nieistotne, gdyż interesuje nas wyłącznie odpowiedź na dwa pytania:
E.
Kiedy dotrzymam słowa?
Y=1 /linie A,B,C kolumny Y=p+q
D.
Kiedy skłamię?
~Y=1 /linia D kolumny ~Y=~p*~q
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych trzeciej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa de’Morgana:
Y=p+q = ~(~p*~q)
Z prawa de’Morgana wynika układ zastępczy bramki OR w technice cyfrowych układów logicznych:
Negujemy wejścia p i q oraz wyjście Y bramki AND, otrzymując bramkę OR.
Doświadczenie 1.
Zbudować poniższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora OR przedstawionymi wyżej.
Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy, po lewej i prawej stronie, dają identyczną tabele zero-jedynkową operatora OR.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
Y=p+q = ~(~p*~q)
Zero-jedynkowa definicja bramki OR (operatora OR):
[linki]
Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Kiedy dotrzymam słowa?
Y=1 /linie A,B,C kolumny Y=p+q
Mamy w punkcie odniesienia: Y=p+q
Natomiast odpowiedź na pytanie:
Kiedy skłamię?
~Y=1 /linia D kolumny ~Y=~p*~q
Mamy w punkcie odniesienia: ~Y=~p*~q
W laboratorium techniki cyfrowej wymuszamy na wejściach p i q dowolne zera i jedynki przełącznikami. Próbnikiem stanów logicznych sprawdzamy zgodność rzeczywistości z tabelami zero-jedynkowymi wyżej.
Znaczenie światełek w próbniku stanów logicznych:
0 - zielona dioda świecąca LED
1 - czerwona dioda świecąca LED
Pewne jest, że algebra Kubusia ma 100% pokrycie w teorii i praktyce bramek logicznych.
Przykład:
Jutro Pojdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Poprawny odczyt symboli:
K=1 - prawdą jest (=1), że wczoraj byłem w kinie (K)
~K=1 - prawdą jest (=1), że wczoraj nie byłem w kinie (~K)
Y=1 - prawdą jest (=1), że dotrzymałem słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że skłamałem (~Y)
Równoważną odpowiedź na pytanie „Kiedy dotrzymam słowa?” otrzymujemy z linii A,B,C definicji symbolicznej.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
Oczywiście jutro wyłącznie jeden z przypadków A,B,C ma szansę zaistnieć, pozostałe zdania będą fałszywe.
Twierdzenie Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne p i q są znane z góry, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Przykład:
A.
Mickiewicz był Polakiem lub napisał „Pana Tadeusza”
M => P+PT
Oczywiście za takie zdanie każdy polonista postawi pałę.
Dlaczego?
Zauważmy, że mamy tu 100% determinizm.
P=1 - twarda prawda
PT=1 - twarda prawda
z powyższego wynika:
~P=0 - twardy fałsz
~PT=0 - twardy fałsz
Rozwijamy prawą stronę przez symboliczną definicję spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+p*~q+~p*q
stąd dla naszego przykładu:
B.
P+PT = (P*PT=1*1=1) lub (P*~PT=1*0=0) lub (~P*PT=0*1=0)
Po minimalizacji funkcji, czyli usunięciu wszelkich fałszów logicznych mamy:
C.
P+PT=P*PT
Zdanie wzorcowe po minimalizacji funkcji A brzmi:
D.
Mickiewicz był Polakiem i napisał „Pana Tadeusza”
M=>P*PT
M=1 => P=1 i PT=1
Oczywiście w żartach, kabarecie, czy nawet ze zwykłego niedbalstwa językowego człowiek może powiedzieć zdanie A.
Zauważmy, że forma A jest po prostu śmieszna, wskazuje iż nadawca robi sobie jaja, bowiem wszyscy znamy zdanie wzorcowe D.
... i o to chodzi w kabarecie.
Sprawdźmy działanie prawa Sowy:
A.
Mickiewicz był Polakiem lub napisał „Pana Tadeusza”
M=>P+PT
M=1 => P=1 + PT=1
Mamy świat w 100% zdeterminowany:
P=1, ~P=0
PT=1, ~PT=0
Badamy odpowiedź układu logicznego na wszystkie możliwe przeczenia p i q.
[linki]
Jak widzimy w świecie totalnie zdeterminowanym mamy do czynienia z operatorem AND, co potwierdza prawo Sowy.
3.4 Operator OR w zbiorach
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y).
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach w logice dodatniej (bo Y):
A.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja równoważna na podstawie powyższego diagramu:
A1.
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
stąd:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Definicja spójnika “I”(*) w zbiorach w logice ujemnej (bo ~Y)
B.
~Y=~p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
W teorii zbiorów zera i jedynki oznaczają.
Po stronie wejścia p i q:
1 - zbiór istnieje, niepusty
0 - zbiór pusty, nie istnieje
Po stronie wyjścia Y:
1 - iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem niepustym
0 - iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem pustym
Zauważmy, że oba diagramy razem opisują zdanie Y=p+q w kompletnej dziedzinie.
3.5 Definicja operatora AND
Zero-jedynkowa definicja operatora AND:
[linki]
Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.
Najprostsze równanie dla powyższej tabeli otrzymamy dla linii A bowiem mamy tu samotną jedynkę.
A.
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Jak widzimy, na mocy definicji spójnika „i”(*) w równaniu A możemy usunąć bezwzględne jedynki otrzymując równanie algebry Kubusia opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową.
Mamy zatem:
A.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
W tym przypadku „i”(*) na „lub”(+) i odwrotnie.
Przechodzimy z równaniem A do logiki przeciwnej otrzymując:
B1.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Równanie równoważne do B1 otrzymamy z linii B,C,D gdzie mamy zera w wyniku:
Mamy:
B: Y=0 <=> p=0 i q=0
lub
C: Y=0 <=> p=0 i q=1
lub
D: Y=0 <=> p=1 i q=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
B: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub
C: ~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
lub
D: ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Opuszczamy jedynki i mamy równoważne równanie opisujące spójnik logiczny „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR I AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)
Stąd:
Symboliczna definicja operatora AND:
[linki]
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i S mam prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
[linki]
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono te linie tabeli zero-jedynkowej, które biorą udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka. Doskonale widać zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) w tabeli ~Y=~p+~q
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatorów OR i AND:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera w tabeli zero-jedynkowej oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia Y w operatorach OR i AND znaczenie sygnałów jest następujące:
Dotrzymam słowa (Y):
Y=1 /linia A kolumny Y=p*q
Skłamię (~Y):
~Y=1 /linie B,C,D kolumny ~Y=~p+~q
W operatorach OR i AND linie z zerami w wyniku są nieistotne, gdyż interesuje nas wyłącznie odpowiedź na dwa pytania:
A.
Kiedy dotrzymam słowa?
Y=1 /linia A kolumny Y=p*q
Kiedy skłamię?
~Y=1 /linie B,C,D kolumny ~Y=~p+~q
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych trzeciej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa de’Morgana:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Z prawa de’Morgana wynika układ zastępczy bramki AND w technice cyfrowych układów logicznych:
Negujemy wejścia p i q oraz wyjście Y bramki OR otrzymując bramkę AND.
Doświadczenie 2.
Zbudować poniższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora AND przedstawionymi wyżej.
Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabele zero-jedynkową operatora AND.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Zero-jedynkowa definicja bramki AND (operatora AND):
[linki]
Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Kiedy dotrzymam słowa?
Y=1 /linia A kolumny Y=p*q
Mamy w punkcie odniesienia: Y=p*q
Natomiast odpowiedź na pytanie:
Kiedy skłamię?
~Y=1 /linie B,C,D kolumny ~Y=~p+~q
Mamy w punkcie odniesienia: ~Y=~p+~q
Wróćmy do naturalnego języka mówionego …
Przykład:
Jutro Pojdę do kina i do teatru
Y=K*T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
Y=1 <=> K=1 i T=1
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Na mocy definicji symbolicznej mamy równoważną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
C: ~K*~T=1 - nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
D: ~K*T=1 - nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
E: K*~T=1 - pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Oczywiście jutro tylko i wyłącznie jeden z przypadków C,D,E ma szansę zaistnieć, pozostałe zdania będą fałszywe.
3.6 Operatora AND w zbiorach
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y).
Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach w logice dodatniej (bo Y):
A.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
B.
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Definicja równoważna na podstawie powyższego diagramu:
B1.
~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)
stąd:
~Y=~p+~q =~p*~q + ~p*q + p*~q
Zauważmy, że oba diagramy razem opisują zdanie Y=p*q w kompletnej dziedzinie.
W teorii zbiorów zera i jedynki oznaczają.
1 - zbiór istnieje, niepusty
0 - zbiór pusty, nie istnieje
4.0 Operatory implikacji i równoważności
Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia zdanie to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.
Zdanie musi mieć sens w danym języku.
Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym lub koniecznym albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek.
4.1 Operatory implikacji
Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q - Prawo Kubusia
Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q - Prawo Kubusia
Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji:
Zdanie wypowiedziane jest w logice dodatniej gdy wyjście q jest niezanegowane, w logice ujemnej gdy wyjście q jest zanegowane.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
p=>q - logika dodatnia bo q niezanegowane
~p~>~q - logika ujemna bo q zanegowane
Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Z czego wynika że drugie zdanie musi być fałszem
Z czego wynika że zbiór p musi się zawierać w całości w zbiorze q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” („na pewno”) miedzy p i q w całym obszarze logiki
Przykład:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
Wniosek:
Warunek wystarczający w zdaniu P=>CH spełniony
Logika dodatnia bo CH.
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że ~p jest wystarczające dla ~q
Z czego wynika że drugie zdanie musi być fałszem
Z czego wynika że zbiór ~p musi się zawierać w całości w zbiorze ~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” („na pewno”) miedzy p i q w całym obszarze matematyki
Przykład:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P =1
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
~CH=>P =0
Wniosek:
Warunek wystarczający w zdaniu ~CH=>~P spełniony
Logika ujemna bo ~P.
Definicja warunku koniecznego ~> w algebrze Kubusia:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” (na pewno) miedzy p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q (nie w równoważności! )
Z powyższego wynika, że całą logikę w zakresie implikacji możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających.
4.2 Definicje implikacji w bramkach logicznych
Definicja implikacji prostej
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
[linki]
Definicja implikacji prostej wyrażona w bramkach OR i AND.
Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.
Dla powyższej tabeli najprostsze równanie otrzymamy z linii B, bowiem tu mamy samotne zero.
Dla linii B zapisujemy:
B.
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Sprowadzamy wszystkie sygnały do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
stąd:
B.
~(p=>q)=1 <=> p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Porównując tą definicję z B widzimy, że w równaniu B możemy opuścić bezwzględne jedynki otrzymując poprawne równanie algebry Kubusia opisujące tabele zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
B.
~(p=>q) = p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
p=>q = ~p+q
Widzimy, że operator implikacji prostej to najzwyklejsza bramka OR z zanegowana w środku linią p.
Taką bramkę logiczną nazwiemy bramką „musi” =>
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
[linki]
Definicja implikacji prostej wyrażona w bramkach OR i AND.
Dla linii D zapisujemy:
D.
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Sprowadzamy wszystkie sygnały do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
stąd:
D.
~(p~>q)=1 <=> ~p=1 i q=1
Stąd równanie algebry Kubusia dla powyższej tabeli zero-jedynkowej:
D.
~(p~>q) = ~p*q
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
p~>q = p+~q
Widzimy, że operator implikacji odwrotnej to najzwyklejsza bramka OR z zanegowana w środku linią q.
Taką bramkę logiczną nazwiemy bramką „może” ~>
Zauważmy w zero-jedynkowych definicjach wyżej, nie jest spełniona definicja spójnika „lub”.
Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.
Y=p+q
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Definicję tą w powyższych tabelach gwałcą linie 1 0 =0 oraz 0 1 =0.
Implikacja to zatem zdecydowanie ani operator OR, ani też AND!
O co więc chodzi w implikacji?
Oczywiście o prawa Kubusia!
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Po lewej stronie mamy odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Natomiast po prawej stronie mamy odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
4.3 Definicja implikacji prostej
Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
Symboliczna definicja implikacji prostej.
[linki]
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Zdanie D: nie może być warunkiem koniecznym ~> bo nie jest spełnione prawo Kubusia:
D: ~p~>q = B: p=>~q=0
Zdanie B jest fałszem, zatem D nie może być warunkiem koniecznym ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
D: ~p~~>q=1
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
[linki]
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych trzeciej i ostatniej jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane. Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej w kolumnach ~p~>~q.
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji prostej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy 1 i 0 w warunku wystarczającym:
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
oraz:
Po stronie wyjścia mamy 1 i 1 w warunku koniecznym:
[linki]
~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia
Narysujmy schemat ideowy implikacji prostej w bramkach logicznych:
Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
p=>q = ~p~>~q
Odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „musi” => bowiem tylko tu widzimy niezanegowane wejście p (p).
Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „może” ~> bowiem tylko tu mamy zanegowane wejście (~p).
Doświadczenie 3.
Zbudować powyższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora implikacji prostej wyżej
Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Mamy w liniach:
[linki]
Bramki „musi” =>
Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jak zajdzie ~p?
Mamy w liniach:
[linki]
Bramki „może” ~>
Wróćmy do naturalnego języka mówionego …
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
Padanie deszczu wystarcza dla istnienia chmur
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0 – twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
.. a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
Brak deszczu jest warunkiem koniecznym aby nie było chmur.
LUB
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
W zdaniu C zachodzi warunek konieczny na mocy prawa Kubusia.
C: ~P~>~CH = A: P=>CH =1
Prawa strona jest prawdą, zatem w zdaniu C zachodzi warunek konieczny
Interpretacja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q):
Wymuszając padanie deszczu, wymuszamy istnienie chmur
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
D: ~P~>CH = B: P=>~CH =0
Prawa strona (zdanie B) jest fałszem, zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
4.4 Operator implikacji prostej w zbiorach
Definicja operatora implikacji prostej:
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika, że p musi być wystarczające dla q.
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Stąd mamy definicję warunku wystarczającego w zbiorach:
Z wykresu odczytujemy definicję symboliczną warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1 - zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p*~q=0
Zbiory p i ~q są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0, co doskonale widać na diagramie.
Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny zbiorów p*q jest zbiorem niepustym oraz iloczyn logiczny zbiorów p*~q jest zbiorem pustym.
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Zobaczmy ten przypadek na diagramie.
Z wykresu odczytujemy definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p*~q=1 - istnieje cześć wspólna
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zbiory:
~p*q=1 - istnieje część wspólna
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Zdanie B jest fałszywe zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Symboliczna definicja implikacji prostej:
[linki]
p=>q = ~p~>~q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” (nie w równoważności!)
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Z definicji tej wynika, że całą logikę matematyczną możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających =>.
Definicja operatora implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
[linki]
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych trzeciej i ostatniej jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane. Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej w kolumnach ~p~>~q.
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji prostej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy 1 i 0 w warunku wystarczającym:
[linki]
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
oraz:
Po stronie wyjścia mamy 1 i 1 w warunku koniecznym:
[linki]
~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia
Wnioski:
1.
Mózg człowieka operuje wyłącznie na zbiorach, poszukując części wspólnej zbiorów, wtedy i tylko wtedy zdanie jest prawdziwe.
2.
Matematycznie, z punktu widzenia świata zewnętrznego widzimy zero-jedynkową definicje operatora implikacji prostej albo implikacji odwrotnej w zależności od przyjętego punktu odniesienia.
3.
Sposób kodowania zero-jedynkowego nie wpływa na treść samych zdań, stąd oba kodowania zero-jedynkowe są równoważne.
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16… - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze bez wyjątków
Zbiory:
P8=[8,16…]
P2=[2,4,8,16..]
P8*P2=1 bo 8,16…
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
P8=[8,16..]
~P2=[1,3,5…]
P8*~P2=0 – zbiory P8 i ~P2 istnieją, ale są rozłączne, stąd 0 w wyniku
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3,5.. – miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
Zbiory:
~P8=[2,3,5…]
~P2=[3,5,7…]
~P8*~P2=1 bo 3,5…
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
Zbiory:
~P8=[2,4,5…]
P2=[2,4,6…]
~P8*P2=1 bo 2,4…
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
D: ~P8~>P2 = B: P8=>~P2=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
[linki]
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.
Twierdzenie Sowy:
W świecie zdeterminowanym (gdy znamy rozwiązanie) zdanie prawdziwe wchodzące w skład dowolnego operatora ulega redukcji do spójnika „i”(*).
Definicja implikacji w zbiorach:
[linki]
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 8 (P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L3=>P8*P2
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P8=1 i P2=1
stąd dla liczby 8 mamy:
~P8=0, ~P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
[linki]
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i nie jest podzielna przez 2 (~P2=1)
L3=>~P8*~P2
Co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P8=1 i ~P2=1
stąd dla liczby 3 mamy:
P8=0, P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
[linki]
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie D będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L2=>~P8*P2
co matematycznie oznacza:
L2=1 => ~P8=1 i P2=1
Stąd dla liczby 2 mamy:
P8=0, ~P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
[linki]
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
4.5 Definicja implikacji odwrotnej
Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
[linki]
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
[linki]
Tożsamość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane. Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej w kolumnach ~p=>~q.
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji odwrotnej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy 1 i 1 w warunku koniecznym:
[linki]
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
oraz:
Po stronie wyjścia mamy 1 i 0 w warunku wystarczającym:
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi => zajść ~q
Narysujmy schemat ideowy implikacji odwrotnej:
Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
p~>q = ~p=>~q
Odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „może” ~> bowiem tylko tu widzimy niezanegowane wejście p (p).
Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „musi” => bowiem tylko tu mamy zanegowane wejście (~p).
Doświadczenie 4.
Zbudować powyższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora implikacji odwrotnej wyżej.
Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Mamy w liniach:
[linki]
Bramki „może” ~>
Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jak zajdzie ~p?
Mamy w liniach:
[linki]
Bramki „musi” =>
Wróćmy do naturalnego języka mówionego …
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
Chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu.
LUB
B.
Jeśli będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
Brak chmur wystarcza aby nie padało.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zauważmy że:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P =1
Zdanie C jest prawdziwe, zatem w zdaniu A musi zachodzić warunek konieczny ~>.
Znaczenie warunku koniecznego w logice dodatniej (bo P)
Zabieramy chmury wykluczając możliwość padania.
Zauważmy, że jak jutro będzie pochmurno to mamy rzucanie monetą, może padać (zdanie A) albo może nie padać (zdanie B).
stąd:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q, w implikacji to po prostu „rzucanie monetą”
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny bo nie zachodzi tu prawo Kubusia:
B: CH~>~P = D: ~CH=>P=0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
4.6 Operator implikacji odwrotnej w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” miedzy p i q
=> - warunek wystarczający, w implikacji spójnik „musi” między p i q
Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Warunek konieczny w diagramie logiki wygląda następująco:
p~>q
Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie B
Zbiory:
p*q=1 - istnieje cześć wspólna zbiorów p i q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie A
Zbiory:
p*~q=1 - istnieje część wspólna zbiorów p i ~q
… a jeśli nie zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zobaczmy to na diagramie logicznym:
~p=>~q
Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze, bez wyjątków
Zbiory:
~p*~q=1 - zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q!
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p*q=0
Zbiory ~p i q istnieją, ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0, co doskonale widać na diagramie.
Zauważmy, że w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo q):
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny zbiorów ~p*~q jest zbiorem niepustym oraz iloczyn logiczny zbiorów ~p*q jest zbiorem pustym.
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
[linki]
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
bo druga linia p~~>~q też ma prawo wystąpić
Gdzie:
~> - warunek konieczny
=> - warunek wystarczający
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Z definicji tej wynika, że całą logikę matematyczną możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających =>.
Definicja operatora implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
[linki]
Tożsamość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane. Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej w kolumnach ~p=>~q.
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji odwrotnej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy 1 i 1 w warunku koniecznym:
[linki]
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
oraz:
Po stronie wyjścia mamy 1 i 0 w warunku wystarczającym:
[linki]
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi => zajść ~q
Jak widzimy, mózg człowieka operuje wyłącznie na zbiorach, poszukując części wspólnej zbiorów, wtedy i tylko wtedy zdanie jest prawdziwe.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Analiza matematyczna:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Zbiory:
P2=[2,4,8,16..]
P8=[8,16…]
P2*P8=1 bo 8,16…
LUB
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
P2=[2,4,6…]
~P8=[2,4,5…]
P2*~P8=1 bo 2,4…
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ?
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 3,5… - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~P2=[3,5,7…]
~P8=[2,3,5…]
~P2*~P8=1 bo 3,5…
stad:
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~P2=[1,3,5…]
P8=[8,16..]
~P2*P8=0 - zbiory rozłączne, wynik =0
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
B: ~P2~>P8 = D: P2=>~P8=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu B nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0
[linki]
Po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.
Twierdzenie Sowy:
W świecie zdeterminowanym (gdy znamy rozwiązanie) zdanie prawdziwe wchodzące w skład dowolnego operatora ulega redukcji do spójnika „i”(*),
Definicja implikacji w zbiorach:
[linki]
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 2 (P2=1) i jest podzielna przez 8 (P8=1)
L8=>P2*P8
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P2=1 i P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P2=1, ~P2=0
P8=1. ~P8=0
[linki]
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie B będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to jest ona podzielna przez 2 (P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
L2=>P2*~P8
Co matematycznie oznacza:
L2=1 => P2=1 i ~P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P2=1, ~P2=0
~P8=1. P8=0
[linki]
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 2 (~P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
L3=>~P2*~P8
co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P2=1 i ~P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
~P2=1, P2=0
~P8=1. P8=0
[linki]
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.