polsk riksdag
2012-07-24
Końcowa wersja algebry Kubusia:
Elementarz logiki człowieka
Ta wersja jest cenna ze względu na omówiony tu rachunek zero-jedynkowy, logikę w bramkach logicznych oraz dużą ilość niuansów i przykładów.
… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12
Przyjaciele Kubusia to wszyscy interlokutorzy biorący udział w 6 letniej dyskusji.
Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.
Podręcznik w oryginale:
BIBLIA: Algebra Kubusia - logika naszego Wszechświata
Szczególne podziękowania dla:
www.sfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna - za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.
www.ateista.pl
Fizyka, Windziarza i Sogorsa - za długą i ciekawą dyskusję
Quebaba - za fantastyczną, finałową dyskusję
Wstęp
Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora, doskonale zna algebrę Kubusia i posługuje się nią na co dzień w naturalnym języku mówionym.
Algebra Kubusia obowiązuje w całym naszym Wszechświecie, zarówno martwym, jak i żywym, dlatego to jest matematyka naszego Wszechświata.
Nie ma żadnych wyjątków, algebra Kubusia opisuje naturalny język mówiony człowieka i jego logikę, działa doskonale także w obszarze matematyki.
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia = Algebra zbiorów => Definicje spójników logicznych => Definicje operatorów logicznych => Algebra bramek logicznych
Definicje spójników logicznych => Algebra naturalnego języka mówionego => Logika człowieka
Fundamentem algebry Kubusia jest pełna, zero-jedynkowa lista operatorów logicznych zapisana w formie równań algebry Kubusia (Boole’a!). Równania te wyprowadzone zostały z aksjomatycznych, zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych, oraz niezależnie z nowej teorii zbiorów. Nowa teoria zbiorów jest w 100% zgodna z aksjomatycznymi, zero-jedynkowymi definicjami operatorów logicznych. Algebra Kubusia jest zgodna z teorią i praktyką bramek logicznych, jest więc weryfikowalna doświadczalnie. Czytając ten podręcznik od początku do końca nie powinniśmy napotkać pojęcia, które wcześniej nie zostałoby wyjaśnione. Proszę czytelników o sygnały, w którym miejscu jest jakikolwiek schodek, wspólnie będziemy doskonalić AK.
Zawodowym matematykom (i nie tylko) polecam rozpoczęcie przygody z algebrą Kubusia od zapoznania się z pkt. 15.0 „Wszechświat się śmieje” … z matematycznej logiki Ziemian oczywiście.
Od Autora:
Wirtualnie autorem „Algebry Kubusia” jest Kubuś wraz przyjaciółmi, biorącymi udział w 6-letniej wojnie wszechczasów AK vs KRZiP, i niech tak zostanie.
Kim jest Kubuś w rzeczywistości?
Kubuś to absolwent elektroniki na Politechnice Warszawskiej 1974-1980. Były to czasy największej świetności bramek logicznych (1961-1974). Pierwszy przyzwoity mikroprocesor i8080 pojawił się na rynku w 1974. Praca magisterska to działający w realu wieloprocesorowy system (na i8080) ze wspólną pamięcią i portami we/wy na widok którego komisja bez żadnego pytania postawiła w indeksie 5. Tuż po studiach Kubuś skonstruował pierwszy sterownik edukacyjny na i8085 dla hobbystów-elektroników. Okazało się jednak że hobbystom często brakuje wiedzy podstawowej z zakresu elektroniki, a co tu mówić o mikroprocesorach.
W 1984 Kubuś wpadł na niezwykły pomysł, aby skonstruować mikroprocesorowy sterownik edukacyjny adresowany do absolwenta szkoły podstawowej, gdzie wymaganą wiedzą wstępną będzie „tabliczka mnożenia”. Po dwóch latach szalonej pracy ukazał się CA80 na mikroprocesorze Z80 wraz z 6-cio tomową dokumentacją MIK01-06, zawierającą śmietankę wiedzy o elektronie od prawa Ohma po wiedzę uniwersytecką. Przedsięwzięcie zakończyło się sukcesem, czego dowód w tym linku.
Przytoczę dwie spośród setek recenzji Kubusiowych podręczników do nauki elektroniki:
1.
Serdecznie dziękuję za MIK01 i MIK02. Są one naprawdę doskonale napisane. Mimo, że przesyłke dostałem dwa dni temu to już zdążyłem je obie przeczytać - bardzo trudno się od nich oderwać.
Obecnie jestem uczniem I klasy Technikum Elektronicznego ...
2.
Jestem zachwycony Pańskimi podręcznikami na temat mikroprocesorów. Książki są wyjątkowo przejrzyście napisane. Takiej metodyki mogą pozazdrościć najlepsze uczelnie w kraju - jednej z nich jestem absolwentem.
Już choćby z powyższego widać, że dokumentacja CA80 jest wciągającą lekturą zarówno dla 15-latka, jak i absolwenta wyższej uczelni.
Algebra Kubusia to dzieło mojego życia, na Ziemi.
Kubuś-Kosmita
Kubuś w aktualnym wcieleniu ...
Spis treści:
Część I
Algebra Kubusia - logika naszego Wszechświata
1.0 Notacja
2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
2.1 Podstawowe definicje algebry Kubusia
3.0 Nowa teoria zbiorów
3.1 Podstawowe działania na zbiorach
4.0 Operatory OR i AND w zbiorach
4.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
4.2 Operator OR w zbiorach
4.3 Operator AND w zbiorach
4.4 Właściwości operatorów OR i AND
4.5 Tworzenie równań algebry Kubusia
4.6 Minimalizacja funkcji logicznych
4.7 Operator OR w bramkach logicznych
4.8 Operator AND w bramkach logicznych
4.9 Osiem równań opisujących operator OR
4.10 Osiem równań opisujących operator AND
4.11 Logika zero
5.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata
5.1 Warunki wystarczający i konieczny
5.2 Równoważność
5.3 Implikacja prosta
5.4 Implikacja odwrotna
5.5 Operator chaosu
5.6 Operator śmierci
6.0 Operatory implikacji w zbiorach
6.1 Warunki wystarczający => i konieczny ~>
6.2 Implikacja prosta w zbiorach
6.3 Implikacja prosta w bramkach logicznych
6.4 Implikacja odwrotna w zbiorach
6.5 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych
6.6 Właściwości operatorów implikacji
7.0 Operator równoważności w zbiorach
7.1 Równoważność w bramkach logicznych
7.2 Równoważność w zbiorach
7.3 Wirtualny warunek konieczny [~>]
8.0 Najważniejsze definicje równoważności i implikacji
8.1 Definicje w warunkach wystarczających i koniecznych
8.2 Definicje w gwarancjach matematycznych
8.3 Definicje wykorzystujące przemienność argumentów
8.4 Definicje wykorzystujące ilość zbiorów
9.0 Dowodzenie twierdzeń matematycznych
9.1 Schemat dowodzenia twierdzeń matematycznych
9.2 Dowodzenie warunku wystarczającego
9.3 Dowodzenie warunku koniecznego
10.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia
10.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
10.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
10.3 Operatory transmisji P i Q
10.4 Operatory negacji NP i NQ
11.0 Algebra zbiorów rozłącznych
11.1 Operator XOR
11.2 Zbiory minimalne w implikacji i równoważności
12.0 Punkt odniesienia, najważniejsza rzecz w logice
12.1 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)
12.2 Operator OR vs operatory implikacji
12.3 „Prawo” eliminacji implikacji
12.4 Obalenie „prawa” eliminacji implikacji rozumowaniem logicznym
12.5 Gwarancja fałszu w operatorze OR i operatorach implikacji
12.6 Nietypowe warunki wystarczające
Część II
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
13.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
13.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
13.2 Złożona implikacja prosta
13.3 Złożona implikacja odwrotna
13.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
13.5 Zdania złożone typu p*(q+r)
14.0 Obietnice i groźby
14.1 Obietnica
14.2 Groźba
14.3 Obietnica w równaniach logicznych
14.4 Groźba w równaniach logicznych
14.5 Analiza złożonej obietnicy
14.6 Analiza złożonej groźby
14.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
14.8 Rodzaje obietnic
Dodatek A
15.0 Wszechświat się śmieje
15.1 Dlaczego stara matematyka działa?
16.0 Katastrofalna logika Ziemian
16.1 Formalne obalenie prawa eliminacji implikacji
16.2 Zakpijmy sobie z „matematyki” Ziemian!
16.3 Tragiczna logika Ziemian w blasku księżyca
16.4 O co chodzi w operatorach implikacji?
1.0 Notacja
Skróty używane w podręczniku:
AK - algebra Kubusia
KRZ - klasyczny rachunek zdań
KRZiP - klasyczny rachunek zdań i predykatów
1.0.1
Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1
1.0.2
~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
~1=0
~0=1
Wnioski:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli p=1 to ~p=0
1.0.3
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
1.0.4
Zera i jedynki w dowolnym operatorze logicznym oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
1.0.5
Przykład:
Jutro będzie padało
Matematycznie powyższe zdanie jest równoważne zdaniu:
Jutro na pewno => będzie padało
J=>P =?
To nie jest zdanie w sensie matematycznym, bo nie da się określić jego prawdziwości.
Zbiór „będzie padło” może okazać się zbiorem pustym (gdy nie będzie padać), albo zbiorem niepustym (gdy będzie padać).
To zdanie może więc być albo prawdziwe, albo fałszywe.
ale!
1.0.6
Jutro może padać
J~~>P=1
To jest zdanie prawdziwe w sensie matematycznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
Zbiór „może padać” jest zbiorem pełnym, cokolwiek jutro nie zajdzie to zdanie będzie prawdziwe.
Matematycznie zdanie to jest równoważne zdaniu:
Jutro będzie padać lub nie będzie padać
J=>P+~P=1
Cokolwiek nie zajdzie, zdanie będzie prawdziwe.
Prawo algebry Kubusia:
p+~p=1
1.0.7
# - różne
Zbiór niepusty # zbiór pusty
Prawda # Fałsz
1 # 0
## - różne na mocy definicji
1.0.8
Prawa de’Morgana:
Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND
1.0.9
Prawa Kubusia:
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.
1.0.10
= - znak tożsamości
Tożsamość zbiorów:
A = B - identyczne elementy w zbiorach A i B
Tożsamość bramek logicznych:
Y = p*q = ~(~p+~q) - identyczne bramki logiczne
W dowolnym układzie logicznym w miejsce bramki:
Y=p*q
można wstawić bramkę:
Y = ~(~p+~q)
Takie bramki z punktu widzenia logiki są nierozróżnialne (tożsame), czyli generują identyczne tabele zero-jedynkowe (funkcje logiczne).
1.0.11
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p
1.0.12
Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
1.0.13
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)
1.0.14
Zdanie:
Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać wartość fałsz lub prawda, zrozumiałe dla człowieka.
Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Inaczej zdanie jest fałszywe.
1.0.15
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
1.0.16
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.
Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q.
Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.
1.0.17
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1
Algebra Kubusia to przede wszystkim algebra równań logicznych, bowiem człowiek w swej naturalnej logice posługuje się wyłącznie równaniami algebry Kubusia, nigdy tabelami zero-jedynkowymi. Oczywiście wszelkie równania logiczne mają swoje 100% odbicie w tabelach zero-jedynkowych.
1.0.18
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y
1.0.19
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
1.0.20
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład 1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Przykład 2.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)
1.0.21
Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0
2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
Aksjomatyka algebry Kubusia to wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.
2.0.1
Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1.
2.0.2
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y
2.0.3
Przeczenie
~ - symbol przeczenia, w języku potocznym NIE
2.0.4
Fundamentalne właściwości przeczenia NIE:
~0=1
~1=0
Wnioski:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli p=1 to ~p=0
Dowód:
Jeśli p=0 to ~(0)=1
Jeśli p=1 to ~(1)=0
2.0.5
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Dowód:
Jeśli p=1 to ~[~(1)]= ~[0] =1
Jeśli p=0 to ~[~(0)]= ~[1] =0
Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p uzyskując zgodność, co jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia.
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
[linki]
Zgodność kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy = nieprawdą jest że jestem nieuczciwy
U = ~(~U)
2.0.6
Fundament matematyczny algebry Kubusia:
Iloczyn kartezjański dla dwóch zmiennych binarnych p i q
[p,q] = (1,1), (1,0), (0,1), (0,0)
Funkcja to jednoznaczne przyporządkowanie wyjścia Y dla wejścia p i q
[linki]
Dla czterech wartości x w pionie możliwe jest zdefiniowanie 2^4=16 różnych funkcji logicznych (operatorów logicznych).
2.0.7
Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
[linki]
Równania algebry Kubusia to równoważny, lecz zdecydowanie lepszy opis operatorów logicznych bowiem jest on zgodny z naturalną logiką człowieka. Logika człowieka to równania algebry Kubusia, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Kubusia i odwrotnie.
2.0.8
Techniczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q
2.0.9
Fizyczny model operatora logicznego:
Operator logiczny to czarna skrzynka z dwoma kabelkami wejściowymi p i q i jednym kabelkiem wyjściowym Y. Na wejścia p i q podajemy wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1. Czarna skrzynka odpowiada nam jednoznaczną sekwencją na wyjściu Y.
Definicja operatora OR:
[linki]
W technice cyfrowej TTL odpowiednikiem 0 i 1 są poziomy napięć:
0 = 0-0.4V
1 = 2.4-5.0V
Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.
2.0.10
Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
2.0.11
W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
2.0.12
[linki]
gdzie:
* - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń)
2.0.13
Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu:
1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe
0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe
2.0.14
Świętość algebry Kubusia:
Wszelkie przekształcenia tabel zero-jedynkowych muszą mieć swoje 100% odbicie w równaniach algebry Kubusia.
2.0.15
Definicja logiki w algebrze Kubusia
Logika to narzędzia do rozwiązywania problemów a nie rozwiązywanie konkretnego problemu.
Układ równań liniowych można rozwiązać na dziesiątki rożnych sposobów. Logika to algorytmy tych rozwiązań a nie rozwiązanie konkretnego układu równań. Rozwiązanie układu równań liniowych według wybranego algorytmu, to zero pracy twórczej, to zadanie czysto mechaniczne, dobre dla komputera.
Logika w pisaniu programu komputerowego to wybór najlepszych algorytmów a nie techniczne kodowanie i uruchamianie programu:
1. Program główny powinien być zbiorem dobrze pomyślanych procedur.
2. Im dłużej się myśli, tym lepsze procedury można wymyśleć.
3. Myślenie w nieskończoność nie ma sensu.
2.1 Podstawowe definicje algebry Kubusia
2.1.1
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
2.1.2
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK =1
Definicja operatora równoważności.
[linki]
gdzie:
* - spójnik „i” z naturalnej logiki człowieka
Definicję symboliczną utworzono korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
Kolumny wynikowe są identycznie zatem twierdzenie Pitagorasa jest bezdyskusyjną równoważnością.
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
p<=>q=1 <=> (p=1 i q=1) lub (~p=1 i ~q=1)
Nasz przykład:
TP<=>SK = (TP=1 i SK=1) lub (~TP=1 i ~SK=1)
Wszystkie te zbiory istnieją (nie są puste), dlatego ich wartość logiczna jest równa 1
TP = SK =1 - zbiory tożsame
~TP=~SK=1 - zbiory tożsame
To jest algebra Kubusia, zatem w pozostałych możliwych przeczeniach musimy uzyskać 0.
p*~q=0
i
~p*q=0
co doskonale widać w powyższej tabeli.
2.1.3
Analiza matematyczna:
Linia A
Interpretacja w naturalnej logice człowieka:
Zadajemy sobie pytanie:
A: TP*SK=1
Czy istnieje trójkąt prostokątny (TP) w którym zachodzi suma kwadratów (SK)?
Oczywista odpowiedź: TAK
co wymusza w wyniku 1
Interpretacja w zbiorach:
A: TP*SK = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i maję część wspólną co wymusza w wyniku 1
Linia B
Interpretacja w naturalnej logice człowieka:
Zadajemy sobie pytanie:
B: TP*~SK=0
Czy istnieje trójkąt prostokątny (TP) w którym suma kwadratów nie jest spełniona (~SK)?
Oczywista odpowiedź: NIE
co wymusza w wyniku 0
Interpretacja w zbiorach:
B: TP*~SK=1*1=0
Oba zbiory istnieją (TP=1 i ~SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Linia C
Interpretacja w naturalnej logice człowieka:
Zadajemy sobie pytanie:
C: ~TP*~SK=1
Czy istnieje trójkąt nie prostokątny (~TP) w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK)?
Oczywista odpowiedź: TAK
co wymusza w wyniku 1
Interpretacja w zbiorach:
C: ~TP*~SK = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~TP=1 i ~SK=1) i maję część wspólną co wymusza w wyniku 1
Linia D
Interpretacja w naturalnej logice człowieka:
Zadajemy sobie pytanie:
D: ~TP*SK=0
Czy istnieje trójkąt nie prostokątny (~TP) w którym suma kwadratów jest spełniona (SK)?
Oczywista odpowiedź: NIE
co wymusza w wyniku 0
Interpretacja w zbiorach:
D: ~TP*SK=1*1=0
Oba zbiory istnieją (~TP=1 i SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Z powyższego wynika, że aby stwierdzić z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia musimy sprawdzić odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q, zgodnie z definicją operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a i algebrze Kubusia.
2.1.4
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.
Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q.
Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.
2.1.5
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1
Algebra Kubusia to algebra równań logicznych, bowiem człowiek w swej naturalnej logice posługuje się wyłącznie równaniami algebry Kubusia, nigdy tabelami zero-jedynkowymi. Oczywiście wszelkie równania logiczne mają swoje 100% odbicie w tabelach zero-jedynkowych.
2.1.6
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y
2.1.7
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
2.1.8
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład 1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Przykład 2.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)
2.1.9
Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0
Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
Y=p+~p=1
Zdanie zawsze prawdziwe (=1), cokolwiek nie zrobię to nie zostanę kłamcą
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina
Y=K*~K=0
Sytuacja niemożliwa, zdanie fałszywe (=0)
2.1.10
Prawo algebry Kubusia z którego będziemy korzystać przy przechodzeniu z tabel zero-jedynkowych na postać symboliczną.
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
3.0 Nowa teoria zbiorów
Podstawowe działania na zbiorach są identyczne jak w klasycznej algebrze zbiorów.
3.0.1
Różnice w stosunku do klasycznej algebry zbiorów:
1.
Zbiór pusty jest rozłączny z dowolnym zbiorem niepustym (nie jest częścią tego zbioru!).
2.
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną.
Zera i jedynki w dowolnym operatorze logicznym oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce nie jest żółte
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe
3.0.2
Definicja zbioru:
Zbiór w sensie matematycznym musi spełniać fundament algebry Kubusia:
p+~p=1 - definicja dziedziny
Zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do dziedziny
p*~p=0
Żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Dziedzina po stronie p:
P +~P=1
P*~P=0
P - zbiór wszystkich psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Dziedzina po stronie q:
4L+~4L=1
4L*~4L=0
4L - zbiór zwierząt mających 4 łapy
~4L - zbiór zwierząt nie mających 4 łap
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Doskonale widać, że wszystkie powyższe zbiory ulokowane są w tej samej dziedzinie.
3.0.3
Zbiór aktualny (bieżący):
Zbiór aktualny (bieżący) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli p to q”
Uwaga:
W zdaniach najczęściej wypowiadanych zbiory p i q nie są rozłączne i należą do tej samej dziedziny jak to pokazano na przykładzie wyżej.
3.0.4
W ogólnym przypadku nie jest to wymagane, prawdziwe są takie zdania:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1
P*~K = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~K, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór kotów to zbiory rozłączne, należące do tej samej dziedziny: zbiór zwierząt
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
P*~S = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~S, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór samochodów to zbiory rozłączne, należące do różnych dziedzin.
W tym przypadku zbiór:
~S - to uniwersum, wszelkie możliwe pojęcia
3.1 Podstawowe działania na zbiorach
Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
3.1.1
Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
3.1.2
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p*q=[1,2]
3.1.3
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]
3.1.4
Różnica zbiorów:
Różnica zbiorów p-q to elementy zbioru p pomniejszone o część wspólną zbiorów p i q
Y=p-q
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y= p-q = [3,4]
Y= q-p = [5,6]
3.1.5
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero elementów
Stąd:
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
Zbiór pusty to brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
3.1.6
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
@ - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p+@ = p+0 = p
p*@ = p*0 = 0
W algebrze Kubusia zbiór pusty @ to po prostu logiczne zero.
Nie jest nam potrzebny specjalny znaczek zbioru pustego @.
3.1.7
Przykład.
Słońce nie jest czarne
1 - zbiór niepusty, Bowiem w zbiorze „nie czarnych słońc” znajduje się zbiór „słońce jest żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce jest czarne
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońce czarne”, zdanie fałszywe
3.1.8
Przykład:
A.
Mickiewicz był polakiem lub napisał Pana Tadeusza
Y=MP+PT
Mamy tu świat totalnie zdeterminowany gdzie wartości logiczne p i q znamy z góry
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
MP+PT = (MP*PT=1*1=1) + (MP*~PT=1*0=0) + (~MP*PT=0*1=0) := MP*PT
gdzie:
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy definicji spójnika „lub”(+)
Na mocy prawa Sowy, jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
B.
Mickiewicz był polakiem i napisał Pana Tadeusza
Y=MP*PT
Za każde inne zdanie różne od B, ekspert algebry Kubusia, ten straszny polonista, postawi pałę.
Interpretacja:
Mickiewicz był polakiem
MP=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie był polakiem
~MP=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
Mickiewicz napisał Pana Tadeusza
PT=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie napisał Pana Tadeusza
~PT=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
4.0 Operatory OR i AND w zbiorach
Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora operuje na zbiorach opisywalnych aksjomatycznymi operatorami logicznymi.
Znaczenie 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
4.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
4.1.1
Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.
4.1.2
Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0
4.1.3
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
[linki]
gdzie:
* - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej
Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p*q
4.1.4
Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.
4.1.5
Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika ‘lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1
4.1.6
Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Dowód:
[linki]
Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p (pierwsza kolumna).
Ostatnie dwie kolumny są dowodem poprawności fundamentu algebry Kubusia.
4.1.7
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
[linki]
gdzie:
+ - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej
Prawo algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Stąd mamy tabelę symboliczną spójnika „lub”(+):
[linki]
W powyższej tabeli wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) wyżej, mamy równoważną definicję spójnika „lub”(+):
Y = p*q+p*~q+~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
4.2 Operator OR w zbiorach
4.2.1
Definicja operatora OR w równaniach algebry Kubusia:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
4.2.2
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
4.2.3
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
D: ~Y=~p*~q
4.2.4
Symboliczna definicja operatora OR:
[linki]
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p*~q
4.2.5
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i D mam prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Jak widzimy wyżej operator OR nie jest tworem jednorodnym. Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y).
4.2.6
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR w logice dodatniej (bo Y)
[linki]
Gdzie:
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC789 w powyższej tabeli.
Symbol „+” jest wystarczającym opisem powyższej tabeli zero-jedynkowej mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.
Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
Odczyt linii D123: w powiązaniu z D456:
~p*~q=~Y
Oba zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1 (~Y=1)
Wynika z tego że logika człowieka jest w pełni symboliczna, niezależna o zer i jedynek. Cała logika jest tu przerzucona na zmienne zaprzeczone i niezaprzeczone.
Przykład:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię
4.2.7
Pełna definicja operatora OR, opisująca wszystkie cztery linie tabeli symbolicznej to układ równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator AND:
C: ~Y=~p+~q
D: Y=p*q
To jest pełna definicja operatora AND.
cnd
To jest automatycznie dowód iż znaczek „+” (spójnik „lub”) nie może być operatorem logicznym opisującym wszystkie cztery linie operatora OR bo negujemy zmienne p, q i Y i nie otrzymujemy operatora AND. Z równania A otrzymamy wyłącznie C, brakuje B i D.
4.2.8
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym D otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y).
[linki]
4.2.9
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD9 (Tabela 2) i ABCDa (Tabela 3) jest dowodem formalnym prawa de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
4.2.10
Po obu stronach tożsamości de’Morgana mamy definicję spójnika „lub”(+) względem sygnałów p i q (tabela 2) a nie względem sygnałów ~p i ~q (tabela 3).
Sprawdzenie względem sygnałów p i q dla tabeli 2:
p=1 i q=1 - linia A w tabeli 2
~(~p*~q)
~[~(1)*~(1)] = ~[0*0] = ~0=1
Sekwencja spójnika „lub”(+):
1 1 =1 - ok.
Względem sygnałów ~p i ~q (tabela 3) otrzymamy sekwencję:
~(~p*~q)
~p=0, ~q=0 - linia A w tabeli 3
~[0*0]=~0=1
Uzyskana sekwencja:
0 0 =1 - to nie jest sekwencja spójnika „lub”(+)!
Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
4.2.11
Zdanie wypowiedziane:
W.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Z powyższego wynika, że odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w obszarze ABC123 = ABC789 w tabeli 2, bo tylko tu mamy poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) w obszarze ABC789.
Kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
D.
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) mamy w linii D123 = D789 tabeli 3, bo tylko tu mamy poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*), w pozostałej części tabeli (ABC789) muszą być zera w wyniku.
4.2.12
Tabela ABCD789 powstała z tabeli symbolicznej ABCD123 dla kodowania zgodnego z przyjętym punktem odniesienia.
Stworzyliśmy tabele zero-jedynkowe dla dwóch punktów odniesienia:
Y=p+q - dotrzymam słowa
~Y=~p*~q - skłamię
Jak uzyskać działanie odwrotne?
4.2.13
Twierdzenie:
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli.
Zamiana na postać symboliczną dowolnej tabeli zero-jedynkowej to sprowadzenie wszystkich zmiennych do jedynek względem nagłówka tabeli!
4.2.14
Weźmy linię B789 tabeli 3.
[linki]
Spis z natury:
B789: ~Y=0 <=> ~p=0 i ~q=1
Korzystając z prawa Kubusia:
Jeśli ~p=0 to p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
B789: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd równanie algebry Kubusia dla linii B789:
B789: Y = p*~q
Co jest zgodne z linią symboliczną B123.
4.2.15
Algorytm uproszczony
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej mamy 1 to przepisujemy nagłówek tabeli.
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli.
Stąd dla naszej linii B789 mamy natychmiast równanie końcowe:
Y = p*~q
Ten banalny algorytm warto zapamiętać.
4.2.16
Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
4.2.17
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
4.2.18
Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
4.2.19
Tabela logiki dla naszego przykładu:
[linki]
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Zbiory dla naszego przykładu to możliwe przyszłe zdarzenia.
4.2.20
Linia D123:
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Jutro może się zdarzyć, że nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1).
Wtedy skłamałem:
~Y=1
Kłamstwo w logice dodatniej (tabela ABCD789) to:
Y=0
co widać w punkcie D9.
4.2.21
Interpretacja operatora OR (obszar ABCD789) wyłącznie w logice dodatniej:
1.
Operator OR odpowiada na pytanie:
Kiedy w przyszłości dotrzymam słowa?
Y=1
Kiedy w przyszłości skłamię?
Y=0
2.
Wynikowe jedynki w operatorze OR definiują spójnik „lub”(+):
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Zgodnie z definicją spójnika „lub”(+) dowolny składnik sumy logicznej ustawiony na 1 wymusza Y=1.
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Z tego powodu jedynki w operatorze OR są jedynkami miękkimi, nieważne która z nich zajdzie i już będzie Y=1. Zauważmy, że nie możemy znać z góry która z tych jedynek zajdzie w przyszłości, bo wtedy operator OR leży w gruzach, pozostałe człony będą automatycznie zerami.
4.2.22
Świat zdeterminowany
Świat zdeterminowany to świat w którym znamy z góry wartości logiczne zmiennych p i q
Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Załóżmy, że jest już pojutrze i nie byłem w kinie (~K=1) oraz byłem w teatrze (T=1), czyli dotrzymałem słowa (Y=1):
Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0
4.2.23
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
[linki]
4.2.24
Doskonale widać działanie prawa Sowy.
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego:
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Y=~K*T=1*1=1
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.
Znając nasza obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć:
B.
Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y=K+T=0
czy też:
C.
Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y = ~K+T=0
Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe!
Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki którzy w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B lub C!
Wniosek:
Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę.
4.2.25
Podsumowanie:
[linki]
4.2.26
Jak widzimy, definicja symboliczna może być kodowana z dwóch różnych punktów odniesienia.
1.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
Y=p+q
to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora OR (obszar ABCD456).
2.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
~Y=~p*~q
to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND (obszar ABCD789)
4.2.27
Zauważmy że:
1.
Zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+):
Y=p+q
mamy wyłącznie w obszarze ABC456
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje sygnałów i wymianę spójników:
~Y=~p*~q
.. i teraz uwaga!
W linii D456 nie mamy definicji spójnika „i”(*) bowiem definicja tego spójnika jest taka:
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Linia D456 to tylko zapchaj dziura, w logice człowieka nie używana.
2.
Definicję spójnika „i”(*) mamy wyłącznie w linii D789!
~Y=~p*~q / 1 1 =1
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
… czyli przechodzimy do fundamentalnie innego operatora logicznego, zero-jedynkowo operatora AND (obszar ABCD789).
Przejście z powyższym równaniem do logiki przeciwnej poprzez negacje sygnałów i wymianę spójników:
Y=p+q
Co na mocy definicji spójnika „lub”(+) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
… i znów uwaga!
Obszar ABC789 nie jest zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+), bowiem linie B789 i C789 gwałcą definicję spójnika „lub”(+).
Obszar ABC789 jest wiec kolejną zapchaj dziurą w logice człowieka nie używaną.
Poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) mamy wyłącznie w obszarze ABC456 i do tego obszaru musimy zawędrować w obsłudze spójnika „lub”(+).
Linie ignorowane przez mózg każdego człowieka oznaczono znakiem #.
4.2.28
Zastanówmy się co oznacza prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Z powyższego mamy dwie niezależne funkcje logiczne:
Y = p+q - obszar ABCD456
Y = ~(~p*~q) - obszar ABCD45 plus wynik w kolumnie ABCDa
4.2.29
W tabeli zero-jedynkowej doskonale widać że to są tożsame funkcje logiczne.
W świecie fizyki są to identyczne bramki logiczne OR o tabeli prawdy:
[linki]
Prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
nie jest zatem prawem eliminacji operatora OR, bo to jest niewykonalne, na mocy definicji!
4.2.30
Prawo de’Morgana mówi tylko w jaki sposób przy pomocy bramki OR zbudować bramkę AND, lub odwrotnie.
Pełna definicja bramki OR:
Y = p+q = ~(~p*~q)
1.
Negujemy sygnały wejściowe p i q:
y = ~p+~q = ~(p*q)
2.
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p+~q) = p*q
To jest oczywiście pełna definicja bramki AND.
W 1 i 2 wyłącznie zanegowaliśmy sygnały p, q, Y bez zmiany spójników, są to więc fundamentalnie różne funkcje logiczne. Dodatkowo mamy dowód iż operator AND (~y) jest logiką ujemną w stosunku do operatora OR (Y), albo odwrotnie.
4.2.31
Oczywiście 1 i 2 to dwie fundamentalnie różne bramki logiczne (funkcje logiczne) na mocy definicji.
Definicja zero-jedynkowa bramki AND:
[linki]
4.2.32
Na mocy definicji zachodzi:
Y = p+q = ~(~p*~q) ## Y = p*q = ~(~p+~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Oczywiście Y po lewej stronie znaku ## nie ma nic wspólnego z Y po prawej stronie znaku ##.
To dwie fundamentalnie różne bramki logiczne (funkcje logiczne), pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości logiczne.
4.2.33
Przykład:
[linki]
Po obu stronach znaku ## mamy dwa różne zdania, znaczące fundamentalnie co innego. Nie da się zastąpić jednego drugim!
dnia Pią 0:27, 03 Sie 2012, w całości zmieniany 64 razy