polsk riksdag
Algebra Kubusia
Podręcznik dla liceum
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele
Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.
Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
http://www.ateista.pl/showpost.php?p=423929&postcount=2865
Forum yrizona.freeforums.org:
http://yrizona.freeforums.org/studium-bada-nad-monomani-im-a-a-milne-a-f29.html
Forum matematyka.pl:
http://www.matematyka.pl/331178,75.htm#p5081983
Wstęp.
Algebra Kubusia to końcowy efekt dziewięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl.
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla Rafała3006 (śfinia), Wuja Zbója (śfinia) i Fiklita (matematyka.pl, yrizona, śfinia), bez których algebra Kubusia nigdy by nie powstała. Specjalne podziękowania dla dzieci z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie od których Kubuś nauczył się logiki matematycznej. Zawsze, gdy nie był pewien czy dobrze rozumuje udawał się do przedszkola i otrzymywał odpowiedź, maluchy nigdy go nie zawiodły.
Podręcznik podzielony jest na cztery niezależne części, w zasadzie do zrozumienia każdej z tych części nie jest potrzebna jakakolwiek wiedza wstępna. Oczywiście przy pierwszym czytaniu zaleca się przeczytać ze zrozumieniem po kolei wszystkie części podręcznika.
Część I Mała teoria zbiorów (MTZ)
Część II Operatory logiczne w małej zbiorów (MTZ)
Część III Duża teoria zbiorów (DTZ)
Część IV Armagedon logiki matematycznej Ziemian
dnia Czw 17:22, 09 Kwi 2015, w całości zmieniany 42 razy
Algebra Kubusia
Podręcznik dla liceum
Część I
Mała teoria zbiorów
Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Algebra Kubusia w przedszkolu 1
2.1 Program komputerowy 2
2.2 Logika matematyczna przedszkolaków 4
3.0 Mała teoria zbiorów 5
3.1 Podstawowe definicje małej teorii zbiorów 7
3.2 Definicja definicji 9
3.3 Definicja minimalna 9
3.4 Podstawowe operacje na zbiorach 10
3.5 Pojęcie rozpoznawalne 12
3.6 Prawa Prosiaczka 13
3.7 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego 18
1.0 Notacja
W tym podręczniku nie będzie klasycznej notacji, ponieważ z założenia jest to publikacja dla gimnazjalistów, którzy z pojęciem „Logika matematyczna” spotykają się po raz pierwszy w życiu. Pisząc „Algebrę Kubusia” starałem się, aby każde nowe pojęcie było poprawnie zdefiniowane, aby czytelnik nigdzie nie napotkał betonowej ściany nie do przeskoczenia.
Jak czytać algebrę Kubusia?
Oczywiście krok po kroku starając się wszystko zrozumieć. Jeśli w trakcie czytania napotkamy na pojęcie niezrozumiałe, to zajrzymy do skorowidzu na końcu podręcznika, gdzie znajdziemy odsyłacz do odpowiedniego wyjaśnienia.
2.0 Algebra Kubusia w przedszkolu
Naturalna logika człowieka musi podlegać pod matematykę ścisłą. Nie jest bowiem możliwe wzajemne porozumienie się dowolnych istot żywych (w tym człowieka) na bazie chaosu, bez jakiejkolwiek matematyki. Także w naszym Wszechświatem musi rządzić matematyka ścisła, inaczej by się po prostu zawalił.
Poczynania wszelkich istot żywych (człowiek nie jest tu wyjątkiem) muszą podlegać pod matematykę ścisłą, z czego wniosek iż najbardziej odpowiednim miejscem do jej poznawania będzie przedszkole. Pewne jest bowiem, że 5-cio latki muszą być naturalnymi ekspertami logiki matematycznej, nazwijmy ją algebrą Kubusia.
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to naturalna logika matematyczna wszystkich 5-cio latków i humanistów.
Wszyscy jesteśmy naturalnymi ekspertami algebry Kubusia.
2.1 Program komputerowy
Program komputerowy, to napisany przez człowieka ciąg rozkazów dla komputera.
Komputer wykonuje te rozkazy (rozkaz po rozkazie) realizując ściśle określony algorytm działania wymyślony przez człowieka.
Zobaczmy na przykładzie czym jest algorytm działania.
Załóżmy, że nagle zapragnęliśmy pójść do kina na film pt. „Seksmisja”. Z gazety codziennej dowiadujemy się, że film wyświetlany jest tylko w dwóch kinach „Relax” i „Skarpa”.
Masz ogólny algorytm działania może być następujący.
Rys. 2.1 Algorytm działania człowieka
Blok funkcjonalny to blok w którym żadnych istotnych decyzji nie podejmujemy, to „program tła”, czyli zwyczajne czynności prowadzące nas do celu jakim jest obejrzenie filmu.
Wykonując powyższy algorytm stajemy się podobni do komputera. Różnica jest zasadnicza. Człowiek może modyfikować powyższy algorytm w trakcie jego wykonywania (np. w przypadku braku biletów pójść do teatru), komputer natomiast wykonuje program ściśle wg algorytmu który wymyślił człowiek. Przeciętny człowiek obserwując dzisiejsze komputery jest zafascynowany ich możliwościami. Widzi że potrafią one pisać, malować, rysować … sterować fabryką bez ludzi itp.
Nie wie natomiast że …
Rys. 2.2 Podstawowe prawo komputerowe
Co to są liczby binarne?
Gdyby nasi przodkowie nie wymyślali cyfr [2,3,4,5,6,7,8,9] a znali tylko cyfry [0,1] to z pewnością znakomicie posługiwalibyśmy się liczbami binarnymi i mielibyśmy naturalny, wspólny z komputerami język. Zapis ogólny liczby binarnej przedstawiono na rysunku.
Przejście z binarnego systemu liczenia na dziesiętny jest banalne.
Z zapisu ogólnego wynika, że istotna jest tu kolejność [b2,b1,b0] cyfr binarnych [0,1] oraz wagi (W) tych cyfr na poszczególnych pozycjach.
b2*W2=b2*4
b1*W1=b1*2
b0*W0=b0*1
Dla b2=1 mamy: b2*4 = 1*4 =4
Dla b2=0 mamy: b2*4 = 0*4 =0
Dla b1=1 mamy: b1*2 = 1*2 =2
Dla b1=0 mamy: b1*2 = 0*2 =0
Dla b0=1 mamy: b0*1 = 1*1 =1
Dla b0=0 mamy: b0*1 = 0*1 =0
Przeliczmy pierwsze osiem liczb binarnych [000-111] na system dziesiętny.
[linki]
Prawda że proste?
W logice matematycznej ani liczby binarne, ani też liczby dziesiętne kompletnie nas nie interesują.
Co nas interesuje w logice?
TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …
2.2 Logika matematyczna przedszkolaków
Spójrzmy na nasz pierwszy w życiu, samodzielnie napisany program komputerowy „Pójście na film Seksmisja”. Logika matematyczna w tym algorytmie to wyłącznie bloki warunkowe w których rozstrzygamy na TAK albo NIE i w zależności od wyniku podejmujemy dalsze działania.
Przykłady logiki matematycznej z przedszkola:
A.
Czy Kubuś jest misiem?
TAK
B.
Czy Prosiaczek jest świnką?
TAK
C.
Czy kura ma cztery łapy?
NIE
D.
Czy może się zdarzyć że są chmury i nie pada?
TAK
E.
Czy może się zdarzyć że nie ma chmur i pada?
NIE
KONIEC!
Dokładnie tym jest logika matematyczna, nie ma w niej nic ponad: TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …
Prawda, że ładna melodia?
https://www.youtube.com/watch?v=Czujclci6uA
W matematyce zachodzi tożsamość:
TAK = prawda (=1)
NIE = fałsz (=0)
Cyferki 1 i 0 znaczą w logice matematycznej:
1 - prawda
0 - fałsz
Uwaga:
Znaczków 0 i 1 nie należy mylić ani z cyframi binarnymi, ani też z cyframi dziesiętnymi, to zupełnie co innego, to prawda (=1) i fałsz (=0).
Wprowadźmy dwa nowe symbole matematyczne:
„~” - symbol przeczenia, słówko NIE w naturalnej logice 5-cio latka
„i”(*) - spójnik „i” w naturalnej logice 5-cio latka
Zakodujmy matematycznie zadania wyżej przy pomocy tych symboli:
A.
Czy Kubuś jest misiem?
K*M =1
Prawdą jest (=1), że Kubuś jest misiem
B.
Czy Prosiaczek jest świnką?
P*S =1
Prawdą jest (=1), że Prosiaczek jest świnką
C.
Czy kura ma cztery łapy?
K*4L =0
Fałszem jest (=0), że kura ma cztery łapy
D.
Czy może się zdarzyć że są chmury i nie pada?
CH*~P =1
Prawdą jest (=1), że może się zdarzyć iż są chmury i nie pada
E.
Czy może się zdarzyć że nie ma chmur i pada?
~CH*P =0
Fałszem jest (=0), że zajdzie zdarzenie nie ma chmur i pada
W ten oto sposób zaliczyliśmy pierwsze w życiu poprawne kodowanie matematycznie zdań z naturalnego języka mówionego.
3.0 Mała teoria zbiorów
Mała teoria zbiorów to dwuelementowa algebra Boole’a gdzie znane są zaledwie trzy znaczki:
„~” - symbol przeczenia, przedrostek NIE w naturalnym języku mówionym
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnego języka mówionego
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego
Matematyczny fundament małej teorii zbiorów (zdarzeń) w zdaniach typu „Jeśli p to q” to zaledwie jedna definicja naturalnego spójnika „może”~~>.
Prawo złotej rybki:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” to tylko i wyłącznie operacje na zbiorach albo na zdarzeniach.
Definicja zdarzenia:
Zdarzenie to zbiór jednoelementowy
Wszystkie możliwe zdarzenia dla dwóch argumentów p i q to:
[linki]
Dla rozstrzygnięcia które z czterech możliwych kombinacji są prawdziwe/fałszywe wystarczy nam kwantyfikator mały, czyli rozstrzygamy tylko i wyłącznie czy sytuacja X jest możliwa/niemożliwa.
Mała teoria zbiorów (MTZ) to tylko i wyłącznie zdania z naturalnym spójnikiem „może”~~>, czyli zdania pod kwantyfikatorem małym.
I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> (kwantyfikatora małego)
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> w zbiorach:
W.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Definicja tożsama z użyciem kwantyfikatora małego:
\/x p(x)*q(x)
Istnieje element zbioru x, który należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)
Przykład:
W.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~~>nie być psem (~P)
4L~~>~P = 4L*~P=1 bo słoń
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
4L=[pies, słoń ..]
~P=[słoń, kura, wąż..]
4L~`>~P = 4L*~P = [pies, słoń ..]*[słoń, kura, wąż..]= [słoń] - istnieje wspólny element 4L i ~P
Prawdą jest (=1), że istnieje zwierzę które ma cztery łapy (4L) i nie jest psem (~P), np. słoń.
W przypadku naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy że znajdziemy jeden element wspólny zbiorów 4L i ~P i już zdanie W jest prawdziwe, nic więcej nie musimy dowodzić.
Zdanie tożsame do W zapisane kwantyfikatorem małym:
W1.
\/x 4L(x) i ~P(x)
Istnieje takie zwierzę x, które należy jednocześnie do zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] i do zbioru zwierząt nie będących psami ~P=[słoń, kura, wąż ..]
4L~~>~P = 4L*~P = [pies, słoń ..]*[słoń, kura, wąż..]= [słoń] - istnieje wspólny element 4L i ~P
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> w zdarzeniach:
W.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q = p*q
Definicja tożsama z użyciem kwantyfikatora małego:
\/x p(x)*q(x)
Możliwe jest (\/x) równoczesne zajście zdarzeń p(x) i q(x)
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest zdarzenie (\/x), „są chmury” (CH=1) i „nie pada (~P=1)
Wystarczy że pokażemy jeden taki przypadek, co kończy dowód prawdziwości zdania W
3.1 Podstawowe definicje małej teorii zbiorów
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe przez człowieka
Definicja dziedziny:
Dziedzina to Uniwersum lub dowolny podzbiór Uniwersum.
Uniwersum to najszersza możliwa dziedzina, to zbiór wszystkich zbiorów.
Człowiek może tworzyć dowolne dziedziny w obszarze Uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.
Dziedzinę możemy ustalać absolutnie dowolnie zawężając Uniwersum do interesującego nas zbioru natomiast z Uniwersum, na mocy definicji nic nie możemy zrobić. Uniwersum jest dynamiczne, może się poszerzać (gdy się uczymy) lub zwężać (gdy czegoś zapominamy) ale dla logiki to bez znaczenia.
W Uniwersum możemy wyróżnić pojęcia konieczne do komunikacji człowieka z człowiekiem których zdrowy człowieka nigdy nie zapomina czyli konkretny język (np. Chiński) plus zbiór pojęć podstawowych oczywistych dla każdego 5-cio latka np. mama, tata, pies, krasnoludek etc.
Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny
Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający co najmniej jeden element
W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką
Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów
W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem
Mała teoria zbiorów odpowiada na pytania:
Czy zbiór X jest niepusty?
lub
Czy zdarzenie X jest możliwe?
Teoria zbiorów:
Czy zbiór X jest niepusty?
Jeśli TAK, to w wyniku stawiamy 1 (zbiór niepusty)
Jeśli NIE, to w wyniku stawiamy 0 (zbiór pusty)
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> być psem
4L~~>P = [4L*P] =1 bo pies
Teoria zdarzeń:
Czy zdarzenie X jest możliwe?
Jeśli TAK, to w wyniku stawiamy 1 (zdarzenie możliwe)
Jeśli NIE, to w wyniku stawiamy 0 (zdarzenie niemożliwe)
Przykład:
Jeśli nie będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = [~CH*P] =[] =0
NIE, takie zdarzenie nie jest możliwe.
Doskonale widać, że nie wychodzimy tu poza dwuelementową algebrę Boole’a, nasze:
TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …
Definicja zdarzenia:
Zdarzenie to zbiór jednoelementowy
W małej teorii zbiorów (MTZ) zbiory mają wartość logiczną.
1 - zbiór niepusty (istnieje = zawiera co najmniej jeden element)
0 - zbiór pusty (nie istnieje = nie zawiera ani jednego elementu)
Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.
Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
4L=[pies, słoń, koń ..]
Gdzie:
4L = nazwa zbioru (zbiór zwierząt z czterema łapami)
[pies, słoń, koń ..] - elementy zbioru o nazwie 4L
Wartość logiczną zbioru (=1) zapisujemy bez nawiasów:
4L=[pies, słoń, koń ..] =1
Znaczenie tożsamości „=” w MTZ:
Pierwsza tożsamość (4L=[pies, słoń, koń ..]) to tożsamość definicyjna, natomiast druga tożsamość (=1) to tożsamość wartościująca, nadająca zbiorowi konkretną wartość logiczną (tu 1)
Definicja zdania prawdziwego w MTZ:
Zdanie „Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q” jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór wynikowy jest niepusty.
p~~>q = [p*q] =1
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to może ~~> mieć cztery łapy (4L)
P~~>4L = [P*4L] =1 bo pies
Zdanie prawdziwe (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..]
Definicja zdania fałszywego w MTZ:
Zdanie „Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q” jest fałszywe (=0) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór wynikowy jest pusty.
p~~>q = [p*q]= []= 0
Przykład:
B.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L)
P~~>~4L = [P*~4L] = [] =0
Zdanie fałszywe (=0) bo zbiór wynikowy P*~4L jest zbiorem pustym.
P=[pies] i ~4L=[kura, wąż ..]
Oczywiście wspólnego elementu tu nie ma, stąd:
P~~>~4L= [P*~4L]= [] =0
Uwaga:
W logice matematycznej musimy pominąć psy kalekie z trzema łapami.
Dlaczego?
Zuzia (lat 5) do Jasia (lat 5).
Jasiu, czy masz pieska?
Jaś:
Tak
Zuzia:
Z faktu że masz pieska wnioskuję, iż twój piesek ma cztery łapy.
Jaś:
NIE!
Nie ma czterech łap bo wilk mu odgryzł jedną łapkę
W tym momencie wnioskowanie Zuzi szlag trafił. Oczywiście wiemy że pies kaleki to też pies, ale z logiki musimy go usunąć z przyczyn podanych w dialogu.
Definicja wnioskowania:
Wnioskowanie to wyciągnięcie wniosków ze znanych faktów.
3.2 Definicja definicji
Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego
Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna
Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając.
Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.
Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw
3.3 Definicja minimalna
Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest kurą?
NIE (K =0)
Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.
Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.
Definicja definicji minimalnej w naszym Wszechświecie:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.
Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka
Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojecie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.
Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1
etc
3.4 Podstawowe operacje na zbiorach
Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.
1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]
2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]
3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]
4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny
W małej teorii zbiorów (MTZ) zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru
„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”
Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Alternatywnie:
~p = D-p = [1,2,3,4]-[1,2] = [3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia
Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]
Definicja dziedziny:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p+~p=1
Iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym, bo zbiory te są rozłączne na mocy definicji
p*~p=0
Dowód na naszym przykładzie:
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0
Na mocy definicji zachodzi:
[] =0 - dowolny zbiór pusty ma wartość logiczną 0
D =1 - dowolny zbiór niepusty ma wartość logiczną równą 1 (w szczególności Dziedzina)
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D (~0=1)
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~D = [] (~1=0)
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Boole’a i Kubusia:
I. ~0=1
II. ~1=0
W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy Uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza Uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.
Dowolne pojęcie dobrze zdefiniowane musi mieć swoją unikalną nazwę zarówno w obrębie wybranej dziedziny jak i w obrębie Uniwersum. W algebrze Kubusia szczególnym przypadkiem zbioru jednoelementowego jest dowolne pojęcie z palety Uniwersum.
Twierdzenie o wartości logicznej „pojęcia”:
Każde pojęcie zrozumiałe przez człowieka, czyli należące do jego Uniwersum ma wartość logiczną jeden.
Przykłady:
[pies] =1
[rower]=1
[miłość] =1
Te pojęcia są jednoznaczne i zrozumiałe w zbiorze Uniwersum każdego człowieka.
3.5 Pojęcie rozpoznawalne
Notacja:
[x] - zbiór niepusty, mający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnych elementów
W małej teorii zbiorów MTZ zbiór pusty [] może zaistnieć wyłącznie jako wynik operacji na zbiorach, co wynika z definicji pojęcia rozpoznawalnego.
Definicja pojęcia rozpoznawalnego:
Pojęcie x jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenia tego pojęcia (~x)
Przykład:
[pies] =1 - wartość logiczna pojęcia pies jest równa 1 bo jest to pojęcie rozpoznawalne w Uniwersum
Przyjmijmy rozsądną dziedzinę dla tego pojęcia:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Bez żadnego trudu jesteśmy w stanie podać definicję wystarczającą tego pojęcia:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P=S*PC
Oczywiście bez problemu rozumiemy pojęcie nie pies (~P):
~P to dowolne zwierzę nie będące psem
Ogólnie:
~P=[ZWZ-pies]
Nie pies to zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa.
Spełniona jest tu definicja dziedziny:
P+~P = [pies]+[ZWZ-pies] = [ZWZ] =1
P*~P = [pies]*[ZWZ-pies] = [] =0
Weźmy teraz pojecie:
Tuptuś =?
Nie ma tego pojęcia w naszym Uniwersum, nie jesteśmy w stanie zdefiniować co to znaczy, z czego wynika że nie wiemy również co to jest NIE tuptuś (~tuptuś).
Oczywiście może się zdarzyć, że ktoś nam wytłumaczy co to jest „tuptuś”. Jeśli to zrozumiemy i zaakceptujemy to wprowadzamy to pojęcie do naszego Uniwersum i od tej pory należy ono do naszego Uniwersum. Często takie nazwy importujemy ze świata dzieci które mówią coś śmiesznego a my to zapamiętujemy i przekazujemy naszym przyjaciołom. Przykładowo ten „tuptuś” to żartobliwa nazwa córeczki mojego przyjaciela, Tygryska, bo miała ubranko z takim napisem.
3.6 Prawa Prosiaczka
Notacja:
p - logika dodatnia bo brak przeczenia „~”
~p - logika ujemna bo jest przeczenie „~”
Prawa Prosiaczka:
I.
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)
Zauważmy, że niezależnie czy jesteśmy w logice dodatniej (p), czy ujemnej (~p) znaczenie zera i jedynki jest identyczne:
1 = prawda
0 = fałsz
W algebrze Kubusia logika zaszyta jest w symbolach (p, ~p) a nie w zerach i jedynkach.
Dowód praw Prosiaczka:
Udajmy się w tym celu do przedszkola, to jest właściwe miejsce dla dowodu poprawności matematycznej praw Prosiaczka (początki nauki języka).
Oznaczmy symbolicznie:
P = [pies] =1
Przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy definicję pojęcia ~P, jako zbioru będącego uzupełnieniem pojęcia „pies” do dziedziny.
~P=[ZWZ-pies] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
W szczególności:
~P = [koza] =1
Scenka:
Tata w ZOO na spacerze ze swoim 3-letnim synkiem, Jasiem.
Jaś pokazuje paluszkiem psa i mówi:
A1.
To jest pies
P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to jest pies (P)
Tata:
… a może to nie pies?
Jaś:
A2.
Fałszem jest że to nie jest pies.
~P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to nie jest pies (~P)
Doskonale widać że zdania A1 i A2 są tożsame:
A1=A2
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)
Następnie Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
Patrz tata!
B1.
To nie jest pies
~P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to nie jest pies (~P)
Tata:
… a może to jednak pies?
B2.
Tata!
Fałszem jest że to jest pies!
P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to jest pies (P)
Doskonale widać że zdania B1 i B2 są tożsame:
B1=B2
Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~P=1) = (P=0)
Matematycznie zachodzi:
A1=A2 # B1=B2
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo P) i ujemnej (bo ~P):
P = ~(~P)
Dowód:
Prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)
Stąd:
1 = ~(0) =1
cnd
Doskonale widać, że prawo Prosiaczka działa w świecie zdeterminowanym, gdzie wszystko jest w 100% wiadome. W świecie zdeterminowanym jeśli Jaś pokazuje psa to nie ma wyboru, musi ustawić symbol P na wartość logiczną 1.
P=1 - prawdą jest (=1) że widzę psa
Jaś nie może tu ustawić:
P=0 - fałszem jest (=0) że widzę psa
W logice symbol P jest stałą symboliczną, której wartości logicznej nie możemy zmienić.
Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa (np. pies) której wartość logiczna jest znana z góry i której to wartości logicznej nie jesteśmy w stanie zmienić.
Sprawdźmy czy prawa Prosiaczka działają także w świecie niezdeterminowanym gdzie nic nie jest z góry przesądzone, czyli nie znamy z góry wartości logicznych zmiennych binarnych. Oczywisty brak determinizmu to zdania w czasie przyszłym.
Oznaczmy symbolicznie:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)
Rozważmy zdanie wypowiedziane:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
A1.
Prawdą będzie (=1) że dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
Zdanie matematycznie tożsame:
A2.
Fałszem będzie (=0) że skłamię (~Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=0 <=> K=1
Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
A=A1=A2
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma)
B: ~Y=~K
stąd mamy:
B.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
B1.
Prawdą będzie (=1) że skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
Zdanie tożsame:
B2.
Fałszem będzie (=0) że dotrzymam słowa (Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=0 <=> ~K=1
Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
B=B1=B2
Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Matematycznie zachodzi:
A=A1=A2 # B=B1=B2
A: Y=K
B: ~Y=~K
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo podwójnego przeczenia:
Y = K = ~(~K)
Mamy tu sytuację fundamentalnie różną niż w przypadku Jasia w ZOO, bo operujemy zmiennymi binarnymi a nie bezwzględnymi zerami i jedynkami.
Doskonale widać że prawa Prosiaczka działają w świecie niezdeterminowanym, gdzie wszystko może się zdarzyć.
I.
W świecie niezdeterminowanym, jeśli wypowiemy zdanie:
W1.
Jutro pójdę do kina
Y=K
To wartość logiczna zmiennych Y i K nie jest nam znana z góry.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to nazwa (np. Y) której wartości logicznej nie znamy z góry
Pojutrze może zajść cokolwiek scenariusz A albo scenariusz B.
Scenariusz A:
A.
Wczoraj byłem w kinie
Y=K
co matematycznie oznacza:
A1.
Prawdą jest (=1) że dotrzymałem słowa bo wczoraj byłem w kinie (K=1)
Y=1 <=> K=1
Zdanie tożsame:
A2.
Fałszem jest (=0) że skłamałem, bo wczoraj byłem w kinie:
Y=0 <=> K=1
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
A=A1=A2
Stąd mamy prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
albo
Pojutrze możemy stwierdzić coś fundamentalnie innego.
Scenariusz B:
B.
Skłamałem (~Y=1) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
B1.
Prawdą jest (=1) że skłamałem (~Y) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1
~Y=1 <=> ~K=1
Zdanie tożsame:
B2.
Fałszem jest (=0) że dotrzymałem słowa (Y) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1)
Y=0 <=> ~K=1
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
B=B1=B2
Stąd mamy prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
II.
W świecie niezdeterminowanym równie dobrze możemy wypowiedzieć zdanie:
W2.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Zadanie domowe:
Wzorując się na zdaniu W1 rozpisać wszystkie możliwe scenariusze przyszłości, scenariusz A albo scenariusz B.
Podsumowując:
Prawa Prosiaczka działają genialnie zarówno w świecie zdeterminowanym, jak i niezdeterminowanym, możemy je zatem stosować w całej logice matematycznej bez żadnych ograniczeń, działają wszędzie.
3.7 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego
Przykład:
Rozważmy zbiór jednoelementowy p:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4] =1 (zbiór pełny)
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]
I.
Prawo redukcji elementów zbioru
Zbiór:
K=[krowa, krowa, krowa …]
Redukujemy do zbioru:
K=[krowa]
bo w logice chodzi o rozpoznawalność obiektu [krowa] a nie o dodawanie czy mnożenie krów.
II.
Zero jedynkowy fundament algebry Kubusia (i Boole’a)
~D=[] - zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []
~[]=D - zaprzeczeniem zbioru pustego [] jest dziedzina D
D=1 - dziedzina
[] =0 - zbiór pusty
stąd mamy:
1=~0
0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] =1 = [1,2,3,4] - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty
III.
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)
Dowód:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
stąd:
p=~(~p)
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]
II.
Fundament algebry Kubusia (i Boole’a):
p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)
III.
Zero to element neutralny w alternatywie (sumie logicznej)
p+0 =p
p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p
Stąd: 0 - element neutralny dla sumy logicznej
p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)
IV.
Jeden to element neutralny w koniunkcji (iloczynie logicznym)
p*1=p
p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p
Stąd: 1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
p*0 = [1,2]*[] =0
V.
Prawa pochłaniania w algebrze Kubusia (i Boole’a):
p+p =p
p*p =p
Dowód na naszym przykładzie:
p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p
p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p
Prawa maszynowe (zero-jedynkowe) w zbiorach.
VI
Suma logiczna (alternatywa) zbiorów:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)
VII
Iloczyn logiczny (koniunkcja) zbiorów:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty) dnia Wto 8:36, 17 Mar 2015, w całości zmieniany 21 razy
Algebra Kubusia
Podręcznik dla liceum
Część II
Operatory logiczne w małej teorii zbiorów (MTZ)
Spis treści
4.0 Operatory logiczne typu „Jeśli p to q” w małej teorii zbiorów (MTZ) 1
4.1 Zero-jedynkowa i symboliczna definicja operatora logicznego 2
4.2 Operator chaosu |~~> 5
4.3 Tworzenie równań logicznych dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej 9
4.4 Operator implikacji prostej |=> 10
4.5 Operator implikacji odwrotnej |~> 12
4.6 Operator równoważności <=> 14
4.0 Operatory logiczne typu „Jeśli p to q” w małej teorii zbiorów (MTZ)
Matematyczny fundament małej teorii zbiorów (zdarzeń) w zdaniach typu „Jeśli p to q” to zaledwie jedna definicja naturalnego spójnika „może”~~>.
Prawo złotej rybki:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” to tylko i wyłącznie operacje na zbiorach albo na zdarzeniach.
Definicja zdarzenia:
Zdarzenie to zbiór jednoelementowy
Wszystkie możliwe zdarzenia dla dwóch argumentów p i q to:
[linki]
Dla rozstrzygnięcia które z czterech możliwych kombinacji są prawdziwe/fałszywe wystarczy nam kwantyfikator mały, czyli rozstrzygamy tylko i wyłącznie czy sytuacja X jest możliwa/niemożliwa.
Duża teoria zbiorów (DTZ) akceptuje małą teorię zbiorów (MTZ) wzbogacając ją o definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> - będzie o tym w kolejnym rozdziale.
Mała teoria zbiorów (MTZ) to tylko i wyłącznie zdania z naturalnym spójnikiem „może”~~>, czyli zdania pod kwantyfikatorem małym.
Matematyczny fundament małej teorii zbiorów (MTZ)
I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> (kwantyfikatora małego)
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> w zbiorach:
W.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Definicja tożsama z użyciem kwantyfikatora małego:
\/x p(x)*q(x)
Istnieje element zbioru x, który należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)
Przykład:
W.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~~>nie być psem (~P)
4L~~>~P = 4L*~P=1 bo słoń
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
4L=[pies, słoń ..]
~P=[słoń, kura, wąż..]
4L~`>~P = 4L*~P = [pies, słoń ..]*[słoń, kura, wąż..]= [słoń] - istnieje wspólny element 4L i ~P
Prawdą jest (=1), że istnieje zwierzę które ma cztery łapy (4L) i nie jest psem (~P), np. słoń.
W przypadku naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy że znajdziemy jeden element wspólny zbiorów 4L i ~P i już zdanie W jest prawdziwe, nic więcej nie musimy dowodzić.
Zdanie tożsame do W zapisane kwantyfikatorem małym:
W1.
\/x 4L(x) i ~P(x)
Istnieje takie zwierzę x, które należy jednocześnie do zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] i do zbioru zwierząt nie będących psami ~P=[słoń, kura, wąż ..]
4L~~>~P = 4L*~P = [pies, słoń ..]*[słoń, kura, wąż..]= [słoń] - istnieje wspólny element 4L i ~P
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> w zdarzeniach:
W.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q = p*q
Definicja tożsama z użyciem kwantyfikatora małego:
\/x p(x)*q(x)
Możliwe jest (\/x) równoczesne zajście zdarzeń p(x) i q(x)
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest zdarzenie (\/x), „są chmury” (CH=1) i „nie pada” (~P=1)
Wystarczy że pokażemy jeden taki przypadek, co kończy dowód prawdziwości zdania W
4.1 Zero-jedynkowa i symboliczna definicja operatora logicznego
Co to jest fizycznie operator zero-jedynkowy?
Robimy mały wypad do laboratorium techniki cyfrowej na studiach elektronicznych.
Definicja operatora zero-jedynkowego:
Operator zero-jedynkowy to układ logiczny o dwóch wejściach p i q i jednym wyjściu Y dający jednoznaczne odpowiedzi na wyjściu Y na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach p i q.
Rys. 4.1 Budowa operatora zero-jedynkowego i symbolicznego w małej teorii zbiorów (zdarzeń)
W bloku operatora może być milion dowolnych układów scalonych , to bez znaczenia, nas to kompletnie nie interesuje. Tabelę prawdy operatora zdejmujemy wymuszając na wejściach p i q wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe, w ilości czterech sztuk, zapisując odpowiedź na wyjściu Y dla każdego wymuszenia.
W technice cyfrowej zwanej TTL cyferki 0 i 1 to po prostu napięcia które łatwo możemy ustawiać na wejściach p i q, stan na wyjściu Y to także łatwo mierzalne napięcie (woltomierzem).
Standard TTL:
0 = 0-0,4V
1 = 2,4-5,0V
Algorytm zdejmowania tabeli prawdy możemy opisać w następujący sposób:
[linki]
W technice cyfrowej wszystkich możliwych kombinacji zero-jedynkowych na wyjściu Y jest 16 (2^4=16). Możliwych jest zatem tylko i wyłącznie szesnaście różnych na mocy definicji operatorów logicznych X. Operator logiczny X to kompletna kolumna wynikowa 3, nigdy jakieś tam wybrane linie.
Zapiszmy powyższą tabelę w tożsamy sposób pokazujący dokładnie co musimy ustawiać na wejściach p i q krok po kroku, aby zdjąć tabelę prawdy nieznanego operatora.
[linki]
A2.
W linii A2 musimy ustawić:
(p=1) i (q=0)
po czym odczytujemy wartość logiczną na wyjściu Y=? (Gdzie: ?= [0,1])
B2.
W linii B2 musimy ustawić:
(p=1) i (q=0)
po czym odczytujemy wartość logiczną na wyjściu Y=? (Gdzie: ?= [0,1])
C2.
W linii C2 musimy ustawić:
(p=0) i (q=0)
po czym odczytujemy wartość logiczną na wyjściu Y=? (Gdzie: ?= [0,1])
D2.
W linii D2 musimy ustawić:
(p=0) i (q=1)
po czym odczytujemy wartość logiczną na wyjściu Y=? (Gdzie: ?= [0,1])
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(q=0) = (~q=1)
Tworzymy kolejną wersję tożsamą naszej tabeli:
[linki]
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je więc usunąć nic nie tracąc na jednoznaczności. Stąd otrzymujemy na wejściach p i q konkretne zdarzenia (zbiory) i możemy badać ich wzajemną korelację na poziomie zdarzeń (zbiorów). Zauważmy, że w tabeli 3 po stronie wejścia p i q mamy same jedynki, w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki. Cała logika została przeniesiona na poziom zdarzeń (zbiorów) p i q.
Stąd mamy:
Symboliczna definicja dowolnego operatora logicznego w spójnikach „i”(*):
[linki]
Twierdzenie Bobra:
W małej teorii zbiorów, w dowolnej linii A4-D4 tabeli symbolicznej wyjście Y przyjmie wartość jeden (=1) wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest zdanie z naturalnym spójnikiem „może~~> (kwantyfikatorem małym ~~>) dla tej linii.
Stąd otrzymujemy końcową tabelę symboliczną dowolnego operatora w małej teorii zbiorów (MTZ).
[linki]
W naturalnej logice człowieka tabela 5 odpowiada na pytania:
A5.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =?
Zdarzenia: Czy możliwe jest jednoczesne zdarzenie p i q?
Zbiory: Czy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny?
B5.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =?
Zdarzenia: Czy możliwe jest jednoczesne zdarzenie p i ~q?
Zbiory: Czy zbiory p i ~q mają co najmniej jeden element wspólny?
C5.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =?
Zdarzenia: Czy możliwe jest jednoczesne zdarzenie ~p i ~q?
Zbiory: Czy zbiory ~p i ~q mają co najmniej jeden element wspólny?
D5.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =?
Zdarzenia: Czy możliwe jest jednoczesne zdarzenie ~p i q?
Zbiory: Czy zbiory ~p i q mają co najmniej jeden element wspólny?
Zobaczmy jak działa mała teoria zbiorów (zdarzeń) na kluczowych przykładach.
4.2 Operator chaosu |~~>
Definicja operatora chaosu w zbiorach.
Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy także do zbioru q
Definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się => w drugim
Definicja tożsama:
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie jest podzbiorem => drugiego.
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)
gdzie:
p~~>q =1 - prawdą jest (=1), że istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q
p=>q=0 - fałszem jest (=0), że zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Prawo Prosiaczka:
~(p=>q)=1
~(p=>q) =1 - prawdą jest (=1), że zbiór p nie jest podzbiorem zbioru q
~(q=>p) =1 - prawdą jest (=1), że zbiór q nie jest podzbiorem zbioru p
Klasyka operatora chaosu:
W.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Analiza powyższego zdania na mocy małej teorii zbiorów (zdarzeń) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Na mocy definicji naturalnego spójnika „może” ~~> (kwantyfikatora małego), wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9…24..] i już zdanie A jest prawdziwe.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
Definicja parametrów formalnych:
Parametry formalne to nazwy symboliczne którymi operujemy w logice matematycznej nie związane z konkretnym przykładem
W logice zwyczajowo są to literki p, q i Y
Definicja parametrów aktualnych:
Parametry aktualne to nazwy symboliczne związane z analizowanym zdaniem, podstawiamy je w miejsce parametrów formalnych.
Przejdźmy z naszym przykładem na parametry formalne podstawiając:
p=P8
q=P3
Zbudujmy w zapisie formalnym tabelę symboliczną i zero-jedynkową dla naszej analizy symbolicznej:
[linki]
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tej tabeli:
Y=p|~~>q
W małej teorii zbiorów (MTZ) opisuje on zawsze tylko i wyłącznie wynikowe jedynki (Y=1) w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka w odniesieniu do powyższego punktu odniesienia to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~p=0)
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z zapisu symbolicznego do tabeli zero-jedynkowej.
Najprostszy algorytm uzyskania tabeli zero-jedynkowej z analizy symbolicznej:
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli zero-jedynkowej występuje zgodność poziomów logicznych to wpisujemy 1, inaczej wpisujemy 0.
Przykład:
Pozycja D6:
~p(D1) # p(W6)
stąd na pozycji D6 wpisujemy 0
Pozycja D7:
q(D2)=q(W7)
Stąd na pozycji D7 wpisujemy 1
itd.
Tabela ABCD678 to zero-jedynkowa definicja operatora chaosu. Symboliczna definicja operatora chaosu w małej teorii zbiorów (MTZ) to obszar ABCD12345.
Zauważmy, że zdanie A to tylko pierwsze zdanie w zero-jedynkowej definicji operatora chaosu.
Operator chaosu |~~> to jedyne w logice zdanie zawsze prawdziwe p~~>q, czyli prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q kodowanych naturalnym spójnikiem „może”~~> (kwantyfikatorem małym), w naszym przykładzie p=P8 i q=P3.
Definicja zdania zawsze prawdziwego
Zdanie zawsze prawdziwe to zdanie z naturalnym spójnikiem „może” ~~> (kwantyfikatorem małym) prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q
Prawo przejścia z operatora chaosu |~~> do spójników „lub”(+) i „i”(*):
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Dowód:
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy w tabeli ABCD345:
Y=1 <=> A: p*q=1 lub B: p*~q=1 lub C: ~p*~q=1 lub D: ~p*q=1
Prawda (=1) jest w logice matematycznej domyślna, możemy więc pominąć jedynki nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd otrzymujemy równanie algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki w tabeli ABCD345:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Zaprzeczeniem operatora chaosu jest operator śmierci, legalny operator algebry Boole’a.
[linki]
Operator śmierci to zbiór pusty (lub zdarzenie niemożliwe) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~> (kwantyfikatorem małym).
Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem, gdzie nie ma ani czasu, ani materii, nie ma niczego charakterystycznego dla naszego Wszechświata.
Operator śmierci to także stan mózgu człowieka (także innej istoty żywej) po jego śmierci, który już nic nie postrzega, nic nie analizuje, nie podejmuje żadnych decyzji związanych z naszym Wszechświatem.
4.3 Tworzenie równań logicznych dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
Rozważmy tabelę zero-jedynkową opisującą operator chaosu.
[linki]
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tej tabeli:
Y=p|~~>q
W małej teorii zbiorów (MTZ) opisuje on zawsze tylko i wyłącznie wynikowe jedynki (Y=1) w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawo śfinii:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje tylko i wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Algorytm tworzenia równania algebry Boole’a opisującego operator chaosu:
Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy w tabeli zero-jedynkowej ABCD678:
K1: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
K2: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Krok 3
Prawda (=1) jest w logice matematycznej domyślna, możemy więc pominąć jedynki nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd otrzymujemy równanie algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki w tabeli ABCD345:
K3: Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
K2: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Wniosek z prawa śfinii:
W dowolnym równaniu algebry Boole’a (K3 wyżej) utworzonym na podstawie konkretnej tabeli zero-jedynkowej wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do stanu neutralnego, do logicznych jedynek, w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna której wartości logicznej nie znamy
Przykład:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
co matematycznie oznacza:
(P8=1) ~~>(~P3=1) <=> (P8=1) i (~P3=1)
Symbole P8 i ~P3 to w równaniu B zmienne binarne których wartości logicznych nie znamy.
Rzeczywiste wartości logiczne zmiennych P8 i ~P3 poznamy dopiero po wylosowaniu konkretnej liczby naturalnej.
Przykład:
P8=[8,16,24 ..]
~P3 = [1,2..4,5,6,7,8..10,11..22,23..25..]
Wylosowana liczba: 8
P8(8) =1 - liczba 8 jest w zbiorze P8
~P3(8) =1 - liczba 8 jest w zbiorze ~P3
Stąd zdanie B dla liczby 8 jest prawdziwe:
P8(8)~~>~P3(8) = P8(8)*~P3(8) =1*1 =1 bo 8
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że liczba 8 należy jednocześnie do zbiorów P8 i ~P3
Wylosowana liczba: 24
P8(24) =1 - liczba 24 jest w zbiorze P8
~P3(24)=0 - nie ma liczby 24 w zbiorze ~P3
Stąd zdanie B dla liczby 24 jest fałszywe:
P8(24)~~>~P3(24) = P8(24)*~P3(24) =1*0 =0
czytamy:
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> (kwantyfikatora małego) nie jest tu spełniona bo:
Fałszem jest (=0) że liczba 24 należy jednocześnie do zbiorów P8 i ~P3
Zadanie domowe:
Dane jest zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =P8*P3 =1 bo 24
Analiza skrócona przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z naturalnym spójnikiem „może” ~~>:
[linki]
Udowodnij, że dla liczby 8 prawdziwe jest wyłącznie zdanie B, natomiast wszystkie pozostałe zdania (A, C i D) są fałszywe.
4.4 Operator implikacji prostej |=>
Klasyka implikacji prostej:
W.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => na to, aby było pochmurno.
Padanie deszczu gwarantuje => istnienie chmur.
Mała teoria zbiorów jest ślepa, nie widzi w zdaniu W warunku wystarczającego =>.
Można jednak przy jej pomocy udowodnić iż nasze zdanie W wchodzi w skład zero-jedynkowej definicji operatora implikacji prostej |=>.
Jedyne co możemy zrobić w małej teorii zdarzeń (zbiorów) to przeanalizować nasze zdanie przez wszystkie możliwe przeczenia z użyciem naturalnego spójnika „może” ~~> (kwantyfikatora małego).
A.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - zdarzenie możliwe
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - zdarzenie niemożliwe
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
~P~~>~CH = ~P*~CH =1 - zdarzenie możliwe
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - zdarzenie możliwe
Przejdźmy z naszym przykładem na parametry formalne podstawiając:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Zbudujmy w zapisie formalnym tabelę symboliczną i zero-jedynkową dla naszej analizy symbolicznej:
[linki]
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tej tabeli:
Y=p|=>q
W małej teorii zbiorów (MTZ) opisuje on zawsze tylko i wyłącznie wynikowe jedynki (Y=1) w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka w odniesieniu do powyższego punktu odniesienia to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~p=0)
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z zapisu symbolicznego do tabeli zero-jedynkowej.
Najprostszy algorytm uzyskania tabeli zero-jedynkowej z analizy symbolicznej:
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli zero-jedynkowej występuje zgodność poziomów logicznych to wpisujemy 1, inaczej wpisujemy 0.
Przykład:
Pozycja D6:
~p(D1) # p(W6)
stąd na pozycji D6 wpisujemy 0
Pozycja D7:
q(D2)=q(W7)
Stąd na pozycji D7 wpisujemy 1
itd.
W logice matematycznej tabela ABCD678 to zero-jedynkowa definicja implikacji prostej |=>.
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej |=> w malej teorii zbiorów (MTZ) to obszar ABCD12345.
Nasze zdanie wypowiedziane:
W: p=>q
to tylko i wyłącznie pierwsza linia tabeli zero-jedynkowej.
Zobaczymy to w dużej teorii zbiorów (DTZ) za chwilę, bowiem mała teoria zbiorów jest ślepa i tego oczywistego faktu nie widzi.
Zauważmy, że operator implikacji prostej |=> w małej teorii zbiorów pokazuje poprawnie które zdarzenia w przyszłości mają szansę wystąpić:
Y=(p|=>q) =1
Zapisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy w tabeli symbolicznej:
Y=(p|=>q) =1 <=> A: p*q=1 lub C:~p*~q =1 lub D: ~p*q =1
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Y = (p|=>q) = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Stąd mamy formalne prawo przejścia z operatora implikacji prostej |=> do tej samej implikacji wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p|=>q) = p*q + ~p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
(P|=>CH) = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Wszystkie możliwe zdarzenia jakie w przyszłości mają prawo wystąpić opisuje prawa strona tożsamości.
Jedyne zdarzenie które nie ma prawa w przyszłości wystąpić to oczywiście zdarzenie:
B: P*~CH =0 - zdarzenie niemożliwe (pada i nie ma chmur)
Definicja zdania zawsze prawdziwego:
Zdanie zawsze prawdziwe to zdanie z naturalnym spójnikiem „może” ~~> (kwantyfikatorem małym) prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q
W myśl tej definicji zdanie wypowiedziane W: P=>CH nie jest zdaniem zawsze prawdziwym, bo fałszywe jest zdanie B, będące częścią operatora implikacji prostej |=>.
4.5 Operator implikacji odwrotnej |~>
Klasyka implikacji odwrotnej:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla zaistnienia opadów, bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padało
Stąd mamy matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i warunkiem wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Mała teoria zbiorów (MTZ) jest ślepa, nie widzi w zdaniu W warunku koniecznego ~>.
Można jednak przy jej pomocy udowodnić iż nasze zdanie A wchodzi w skład zero-jedynkowej definicji operatora implikacji odwrotnej |~>.
Jedyne co możemy zrobić w małej teorii zdarzeń (zbiorów) to przeanalizować nasze zdanie przez wszystkie możliwe przeczenia z użyciem naturalnego spójnika „może” ~~>.
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1 - zdarzenie możliwe
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1 - zdarzenie możliwe
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> nie padać
~CH~~>~P = ~CH*~P =1 - zdarzenie możliwe
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - zdarzenie niemożliwe
Przejdźmy z naszym przykładem na parametry formalne podstawiając:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Zbudujmy w zapisie formalnym tabelę symboliczną i zero-jedynkową dla naszej analizy symbolicznej:
[linki]
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tej tabeli:
Y=p|~>q
W małej teorii zbiorów (MTZ) opisuje on zawsze tylko i wyłącznie wynikowe jedynki (Y=1) w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka w odniesieniu do powyższego punktu odniesienia to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~p=0)
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z zapisu symbolicznego do tabeli zero-jedynkowej.
Najprostszy algorytm uzyskania tabeli zero-jedynkowej z analizy symbolicznej:
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli zero-jedynkowej występuje zgodność poziomów logicznych to wpisujemy 1, inaczej wpisujemy 0.
Przykład:
Pozycja D6:
~p(D1) # p(W6)
stąd na pozycji D6 wpisujemy 0
Pozycja D7:
q(D2)=q(W7)
Stąd na pozycji D7 wpisujemy 1
itd.
W logice matematycznej tabela ABCD678 to zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej |~>.
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej |~> w malej teorii zbiorów to obszar ABCD12345.
Nasze zdanie wypowiedziane:
W: p~>q
to tylko i wyłącznie pierwsza linia tabeli zero-jedynkowej.
Zobaczymy to w dużej teorii zbiorów za chwilę, bowiem mała teoria zbiorów jest ślepa i tego oczywistego faktu nie widzi.
Zauważmy, że operator implikacji odwrotnej |~> w małej teorii zbiorów pokazuje poprawnie które zdarzenia w przyszłości mają szansę wystąpić:
Y=(p|~>q) =1
Zapisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy w tabeli symbolicznej:
Y=(p|~>q) =1 <=> A: p*q=1 lub B:p*~q =1 lub C: ~p*~q =1
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Y = (p|~>q) = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
Stąd mamy formalne prawo przejścia z operatora implikacji odwrotnej |~> do tej samej implikacji wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p|~>q) = p*q + p*~q + ~p*~q
Nasz przykład:
(CH|~>P) = A: CH*P + B: CH*~P + C: ~CH*~P
Wszystkie możliwe zdarzenia jakie w przyszłości mają prawo wystąpić opisuje prawa strona tożsamości.
Jedyne zdarzenie które nie ma prawa w przyszłości wystąpić to oczywiście zdarzenie:
D: ~CH*P =0 - zdarzenie niemożliwe (nie ma chmur i pada)
Definicja zdania zawsze prawdziwego:
Zdanie zawsze prawdziwe to zdanie z naturalnym spójnikiem „może” ~~> (kwantyfikatorem małym) prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q.
W myśl tej definicji zdanie wypowiedziane W: CH~>P nie jest zdaniem zawsze prawdziwym, bo fałszywe jest zdanie D, będące częścią operatora implikacji odwrotnej |~>.
4.6 Operator równoważności <=>
Klasyka równoważności <=>:
W.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Równoważność to dwa warunki wystarczające => prawdziwe:
(TP=>SK=1) i (~TP=>~SK =1)
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => na to, aby zachodziła suma w nim kwadratów.
Trójkąt prostokątny gwarantuje => zachodzenie sumy kwadratów
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nie prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => na to, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów.
Trójkąt nie prostokątny gwarantuje => brak sumy kwadratów
Mała teoria zbiorów (MTZ) jest ślepa, nie widzi w zdaniu W ani warunku wystarczającego TP=>SK, ani też warunku wystarczającego => ~TP=>~SK.
Można jednak przy jej pomocy udowodnić iż oba te warunki wystarczające => wchodzą w skład operatora równoważności.
Jedyne co możemy zrobić w małej teorii zbiorów (zdarzeń) to przeanalizować nasz warunek wystarczający TP=>SK przez wszystkie możliwe przeczenia z użyciem naturalnego spójnika „może” ~~>.
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK = TP*SK =1
Wystarczy że pokażemy jeden trójkąt prostokątny w którym zachodzi suma kwadratów i już zdanie A z naturalnym spójnikiem „może” ~~> (pod kwantyfikatorem małym) jest prawdziwe.
Oczywistym jest że w tym przypadku zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK = TP*~SK =0 - bo zbiory TP i ~SK są rozłączne
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest tu fałszywe.
\/x TP(x)*~SK(x) =0
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Wystarczy że pokażemy jeden trójkąt nie prostokątny w którym nie zachodzi suma kwadratów i już zdanie C z naturalnym spójnikiem „może” ~~> (pod kwantyfikatorem małym) jest prawdziwe.
Oczywistym jest że w tym przypadku zachodzi tożsamość zbiorów ~TP=~SK
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK = ~TP*SK =0 - bo zbiory ~TP i SK są rozłączne
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest tu fałszywe.
\/x ~TP(x)*SK(x) =0
Przejdźmy z naszym przykładem na parametry formalne podstawiając:
p=TP (trójkąt prostokątny)
q=SK (suma kwadratów)
Zbudujmy w zapisie formalnym tabelę symboliczną i zero-jedynkową dla naszej analizy symbolicznej:
[linki]
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tej tabeli:
Y=p<=>q
W małej teorii zbiorów (MTZ) opisuje on zawsze tylko i wyłącznie wynikowe jedynki (Y=1) w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka w odniesieniu do powyższego punktu odniesienia to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~p=0)
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z zapisu symbolicznego do tabeli zero-jedynkowej.
Najprostszy algorytm uzyskania tabeli zero-jedynkowej z analizy symbolicznej:
Jeśli na dowolnej pozycji tabeli zero-jedynkowej występuje zgodność poziomów logicznych to wpisujemy 1, inaczej wpisujemy 0.
Przykład:
Pozycja D6:
~p(D1) # p(W6)
stąd na pozycji D6 wpisujemy 0
Pozycja D7:
q(D2)=q(W7)
Stąd na pozycji D7 wpisujemy 1
itd.
W logice matematycznej tabela ABCD678 to zero-jedynkowa definicja równoważności <=>.
Symboliczna definicja równoważności w malej teorii zbiorów (MTZ) to obszar ABCD12345.
Nasz warunek wystarczający A:
A: TP=>SK
to tylko i wyłącznie pierwsza linia tabeli zero-jedynkowej równoważności.
Natomiast warunek wystarczający C:
C: ~TP=>~SK
to tylko i wyłącznie trzecia linia tabeli zero-jedynkowej równoważności.
Zobaczymy to w dużej teorii zbiorów (DTZ) za chwilę, bowiem mała teoria zbiorów (MTZ) jest ślepa i tego oczywistego faktu nie widzi.
Zauważmy, że operator równoważności <=> w małej teorii zbiorów pokazuje poprawnie które zdarzenia w przyszłości mają szansę wystąpić:
Y=(p<=>q) =1
Zapisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy w tabeli symbolicznej:
Y=(p<=>q) =1 <=> A: p*q=1 lub C: ~p*~q =1
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Y = (p<=>q) = A: p*q + C: ~p*~q
Stąd mamy formalne prawo przejścia z operatora równoważności <=> do równoważności wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p<=>q) = p*q + ~p*~q
Nasz przykład:
(TP<=>SK) = A: TP*SK + C: ~TP*~SK
co matematycznie oznacza:
(TP<=>SK)=1 <=> A: TP*SK=1 lub C: ~TP*~SK =1
Wszystkie możliwe zdarzenia jakie w przyszłości mają prawo wystąpić opisuje prawa strona tożsamości.
Zdarzenia które nie mają prawa w przyszłości wystąpić to oczywiście zdarzenia:
B: TP*~SK =0
i
D: ~TP*SK =0
Definicja zdania zawsze prawdziwego:
Zdanie zawsze prawdziwe to zdanie z naturalnym spójnikiem „może” ~~> (kwantyfikatorem małym) prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q
W myśl tej definicji zdanie wypowiedziane W: TP<=>SK nie jest zdaniem zawsze prawdziwym, bo fałszywe są zdania B i D, będące częścią operatora równoważności. dnia Wto 8:37, 17 Mar 2015, w całości zmieniany 8 razy