polsk riksdag
… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12
Pełny podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia: Logika człowieka
Skrócona wersja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia w definicjach
Szczególne podziękowania dla:
www.śfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macjan - prekursor Algebry Kubusia
www.ateista.pl
Fizyka, Windziarza, Sogorsa i Quebaba - za długą i ciekawą dyskusję
Yrizona
Daggera, Ducha i Fiklita (szczególnie) - za najważniejszą, bo stawiającą kropkę nad „i” dyskusję
Na forum Yrizona zapisano po raz pierwszy ogólne definicje znaczków =>, ~> i ~~>.
Finałowa dyskusja z Fiklitem dzięki której algebra Kubusia przybrała postać końcową:
Dyskusja wszech czasów z Fiklitem
Wstęp:
Algebra Kubusia fenomenalnie zgadza się z teorią bramek logicznych (tu Kubuś jest ekspertem), z nową teorią zbiorów oraz … z NATURALNĄ logiką człowieka!
Podejście do logiki w algebrze Kubusia jest fundamentalnie inne niż u Ziemian. W AK człowiek podlega pod matematykę ścisłą, natomiast w Klasycznym Rachunku Zdań (KRZ) człowiek tworzy matematykę ścisłą. Kubuś przez 7 lat dopasowywał matematykę ścisłą do naturalnej logiki człowieka co udało się z rewelacyjnym skutkiem, natomiast KRZ usiłuje zmusić człowieka do myślenia totalnie sprzecznego z naturalną logiką człowieka. Pranie mózgów z naturalnej logiki człowieka zaczyna się obecnie w I klasie LO. Mam nadzieję że ludzie zaakceptują kiedyś AK i powiedzą STOP, dla dobra naszych dzieci.
Zero jedynkowa definicja operatora w technicznej algebrze Boole’a jest następująca.
Operator logiczny
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje zer i jedynek na wejściach układu.
Formalnie nie jest znana w technice symboliczna definicja operatora logicznego z AK.
Symboliczna definicja operatora logicznego
Operator logiczny to odpowiedź układy na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Jednak wszyscy się tą definicją posługujemy w praktyce, od 5-cio latka po profesora. Definicja symboliczna to także bezpośredni wniosek z algorytmu przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równań algebry Boole’a algorytmem prof. Newelskiego z UWr (uwaga 2.7).
Spis treści
1.0 Notacja
2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
2.1 Operacje na zbiorach
2.2 Właściwości zbiorów
2.3 Diagramy Kubusia
3.0 Operatory logiczne OR i AND
3.1 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych
3.2 Definicja operatora OR
3.3 Definicja operatora AND
3.4 Podsumowanie
4.0 Operatory implikacji i równoważności
4.1 Warunek wystarczający => i implikacja prosta
4.2 Warunek konieczny ~> i implikacja odwrotna
4.3 Równoważność
5.0 Dowody błędności logiki matematycznej Ziemian
5.1 Dowód błędnej budowy operatora OR w logice matematycznej Ziemian
5.2 Przemienność argumentów w implikacji
5.3 Prawa kontrapozycji w implikacji
5.4 Porównanie nowych i starych praw kontrapozycji
1.0 Notacja
Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnego języka mówionego
2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych zapisane w równaniach algebry Boole’a. Algebra Kubusia to techniczna algebra Boole’a zgodna w 100% z teorią i praktyką bramek logicznych, wszelkie prawa algebry Kubusia można dowieść w laboratorium techniki cyfrowej. W algebrze Kubusia zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych potrzebne są wyłącznie po to, aby wygenerować z nich odpowiednie definicje w równaniach algebry Boole’a.
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r
~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1
Stąd:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli p=0 to ~p=1
Odwrotnie też zachodzi, stąd jedno z najważniejszych praw algebry Boole’a niezbędne dla tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
p=0 <=> ~p=1
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.
Znaczenie 0 i 1 w Kubusiowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana
Korzystając z prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
[linki]
gdzie:
* - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń)
Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu:
1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe
0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe
Logika człowieka to równania algebry Kubusia, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Kubusia i odwrotnie.
Maszynowa definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q
Maszynowa definicja operatora logicznego to epoka kamienna, to zatrzymanie czasu na momencie wynalezienia bramek logicznych z zakazem dalszego rozwoju techniki cyfrowej. Oczywiście żaden inżynier nie projektuje czegokolwiek w zerach i jedynkach, żaden programista nie pisze programu komputerowego bezpośrednio w zerach i jedynkach.
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.
Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.
Definicja logiki w algebrze Kubusia = definicja algebry Kubusia:
Logika to przewidywanie przyszłości lub rozwiązywanie nieznanego np. nieznanej przeszłości.
Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy
Matematyka:
Logika to formułowanie i udowadnianie twierdzeń matematycznych
Kubusiowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to:
Operator OR
Definicja operatora OR w zbiorach.
Definicja operatora w równaniach logicznych:
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.
Operator AND
Definicja operatora AND w zbiorach:
Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.
Implikacja prosta:
Diagram implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p=[1,2], q=[1,2,3,4,5,6]
Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Wymuszam p i musi pojawić się q
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Implikacja odwrotna:
Diagram implikacji odwrotnej:
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2]
Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć q
Ogólna definicja znaczka ~~>
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia
p~~>~q
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
Zbiory p i ~q mają część wspólną [3,4,5,6], co wymusza w wyniku 1
Zbiór p nie jest konieczny ~> dla ~q bo zabieram p i nie znika mi ~q
Zostaje:
~q=[7->oo] - siedem do nieskończoności
Równoważność:
Diagram równoważności:
Definicja równoważności w zbiorach
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2,3,4,5,6]
XOR
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
Y = p*~q + ~p*q
p=[1,2], q=[3,4]
Algebra Kubusia to matematyczny opis naszego Wszechświata, w tym nieznanego. Dla potrzeb tej algebry wystarczą nam definicje prostych operacji na zbiorach.
2.1 Operacje na zbiorach
1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]
2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]
3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] - zbiór pusty
2.2 Właściwości zbiorów
Definicja zbioru niepustego
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element
W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką, zdanie prawdziwe
Definicja zbioru pustego
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów
W logice zbiór pusty jest utożsamiany z logicznym zerem, zdanie fałszywe
W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.
od wartości logicznej zbioru!
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.
p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego
Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
Dziedzina: Zbiór liczb naturalnych
p=[1,2,3,4]
~p = [5->oo]
5->oo - zbiór liczb naturalnych od 5 do nieskończoności
p+~p = 1*1 = 1 - zbiór pełny, tu zbiór liczb naturalnych
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do dziedziny zbioru liczb naturalnych
p*~p = 1*1 = 0
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0
Nasz Wszechświat:
P= pies (zbiór jednoelementowy)
Dziedzina: Zbiór wszystkich zwierząt
P - zbiór psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt (kura, wąż, słoń …)
P+~P=1 - zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory P i ~P istnieją (P=1 i ~P=1), zbiór ~P jest dopełnieniem zbioru P do dziedziny zbioru wszystkich zwierząt, stąd w wyniku 1
P*~P=0
Iloczyn logiczny psów i NIE psów jest równy 0, zbiory rozłączne
Właściwości zbioru pustego
1.
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
Suma logiczna zbioru pustego z czymkolwiek jest tym czymkolwiek
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
[] - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p*[] = p*0 = 0
p+[] = p+0 = p
W algebrze Kubusia zbiór pusty [] to po prostu logiczne zero.
2.
Zbiór pusty to także brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zaprzeczenie zbioru pustego to Uniwersum
Uniwersum = wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest galaktyką
Pies to nie galaktyka
P=>~G =1
Zbiory: P*~G = P
Zbiór zwierząt będących galaktyką jest zbiorem pustym
Zaprzeczenie zbioru pustego to Uniwersum, zatem „pies” mieści się w tym zbiorze.
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być galaktyką
P~~>G=0
Zbiory: P*G = 1*0 =0
A i B to definicja warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia, szczegóły wkrótce.
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną.
Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce nie jest żółte
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe
Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
2.3 Diagramy Kubusia
Diagramy Kubusia to zupełnie co innego niż znane matematykom, prymitywne diagramy Venna.
Zobaczmy to na przykładzie spójnika „lub”(+).
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.
W diagramie widzimy tożsamość obszarów:
W: Y = p+q
W1: Y = p*q + p*~q +~p*q
co jest dowodem tożsamości powyższych definicji spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Jak powstały kolorowe obszary opisujące tak szczegółowo definicję spójnika „lub”(+)?
W pierwszej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem:
p*q
To po prostu iloczyn logiczny zbiorów p i q, czyli wspólna część kolorowych obszarów
W drugiej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem:
p*~q
To po prostu iloczyn logiczny zbiorów p i ~q, czyli wspólna część kolorowych obszarów
W trzeciej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem:
~p*q
To po prostu iloczyn logiczny zbiorów ~p i q, czyli wspólna część kolorowych obszarów
3.0 Operatory logiczne OR i AND
Decydująca o wszystkim dyskusja na temat algebry Kubusia zaczęła się od pewnego zakładu i przyciągnięcia z forum matematyka.pl jednego z najlepszych autorytetów ziemskiej logiki z jakim zdarzyło się Kubusiowi dyskutować - Fiklita. Myślę, że jeśli ludzie zauważą AK to będzie to w decydującej części jego zasługą.
W czasie dyskusji Fiklit podał link do wykładów prof. Newelskiego z UWr (uwaga 2.7) dowodząc, że Ziemianie umieją tworzyć równania algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
W równaniach prof. Newelskiego z UWr (uwaga 2.7) wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek na mocy kluczowych praw algebry Boole’a.
Prawa Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0
Dlaczego te prawa są najważniejsze?
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z naturalnej logiki człowieka (równania algebry Boole’a) do tabel zero-jedynkowych i odwrotnie, bez nich matematyczny opis logiki człowieka po prostu nie istnieje.
Dlaczego tych kluczowych praw algebry Boole’a nie ma w żadnym podręczniku ani w Wikipedii?
Oto jest pytanie.
Operatory OR i AND opisują właściwości dwóch zbiorów p i q które mają część wspólną i nie zawierają się jeden w drugim.
Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y
3.1 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych
Fundamentem algorytmu prof. Newelskiego z UWr (uwaga 2.7) są definicje spójników „i”(*) oraz „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.
Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.
Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
[linki]
gdzie:
„*” - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej
Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.
Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika ‘lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1
Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Dowód:
[linki]
Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p (pierwsza kolumna).
Ostatnie dwie kolumny są dowodem poprawności fundamentu algebry Kubusia.
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
[linki]
gdzie:
„+” - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej
Algorytm prof. Newelskiego poznamy na przykładzie operatora OR.
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
[linki]
W algebrze Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa podstawowe i nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera. Kompletny algorytm to zaledwie trzy kroki.
Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki:
1.
Spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
p=0 <=> ~p=1
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1
3.
Stąd na podstawie definicji spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionie mamy końcowe równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Oczywiście równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 powyżej tabeli.
Dokładnie ten sam obszar ABC123 opisuje nagłówek tabeli:
Y=p+q
na mocy definicji spójnika „lub”(+).
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = p+q
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y=Y
stąd równoważna definicja spójnika „lub”(+):
ABC123:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Powyższe równanie opisuje obszar ABC123.
Jeśli je zanegujemy dwustronnie korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
to otrzymamy równanie algebry Boole’a opisujące linię D123!
Algorytm Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki:
ABC123:
Y = p+q = (p*q) + (p*~q) + (~p*q)
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
D123:
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
oczywiście równania ABC123 i D123 nie są tożsame.
W technice układów cyfrowych oznacza to że jeśli zbudujemy układy 1 i 2 w bramkach logicznych i połączymy wyjścia Y i ~Y to zobaczymy kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.
Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe zera:
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
[linki]
Postępujemy identycznie jak wyżej algorytmem prof. Newelskiego
1.
Spis z natury dla wynikowych zer (tu mamy tylko jedno w linii D123):
Y=0 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
p=0 <=>~p=1
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
3.
Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie końcowe opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Oczywiście, negując linię D123 musimy otrzymać definicje spójnika „lub”(+) w równaniu algebry Boole’a opisującą wyłącznie obszar ABC123.
Równanie opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Przejście do logiki przeciwnej (Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Równanie opisujące obszar ABC123:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Nanieśmy nasze równania na definicję operatora OR:
[linki]
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
Wniosek:
Kompletną tabelę zero-jedynkową operatora OR (wszystkie cztery linie) opisuje układ równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (Y) i ujemnej (~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Dopiero to równanie opisuje kompletny operator OR, wszystkie cztery linie!
Y = p+q = ~(~p*~q)
Dowód:
Twierdzenie:
Jeśli w operatorze OR zanegujemy wszystkie zmienne to na podstawie prawa De Morgana musimy otrzymać definicję operatora AND.
Definicja operatora OR:
1.
Y = p+q = ~(~p*~q)
Dowód:
2.
Negujemy zmienne wejściowe p i q:
y = ~p +~q = ~(p*q)
3.
Negujemy wyjście y:
~y = ~(~p+~q) = p*q
Równanie 3 to oczywiście pełna definicja operatora AND w równaniu algebry Boole’a.
Zauważmy że operator AND (3) jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora OR (1).
Zauważmy że równanie:
Y=p+q
nie jest kompletnym opisem operatora OR (opisującym wszystkie cztery linie) bo negujemy zmienne i nie otrzymujemy definicji operatora AND.
~Y=~p+~q
Sensacyjny wniosek!
W równaniu logicznym:
Y=p+q
Znaczek „+” nie jest operatorem logicznym opisującym wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej!
Znaczek „+” to tylko połówka operatora OR (obszar ABC123) a nie cały operator (ABCD123) jak to jest we współczesnej matematyce Ziemian.
cnd
Oczywiście matematycznie zachodzi:
[linki]
gdzie:
## - różne na mocy definicji
… bo w przejściu z operatora OR do operatora AND wyłącznie negowaliśmy zmienne bez zmiany spójników!
Czy ktoś czegoś nie rozumie?
Czy ktoś zamierza obalić genialny algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równoważnych równań algebry Boole’a autorstwa prof. Newelskiego z UWr (uwaga 2.7)
3.2 Definicja operatora OR
Zero-jedynkowa definicja operatora OR z komentarzem prof. Newelskiego:
[linki]
Stąd:
Definicja operatora OR w układzie równań prof. Newelskiego:
I. Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
II. ~Y=~p*~q
Gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka w logice dodatniej (bo Y)
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka w logice ujemnej (bo ~Y)
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) to wyłącznie obszar ABC123 w powyższej tabeli
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Spójnik „i”(*) w logice ujemnej to wyłącznie linia D123 w powyższej tabeli.
Definicja operatora OR w zbiorach.
Definicja operatora w równaniach logicznych:
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.
Symboliczna definicja operatora OR:
[linki]
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p*~q
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
[linki]
Gdzie:
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC456 w powyższej tabeli.
* - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię D789 w powyższej tabeli
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
Operator OR odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC456, bowiem tylko tu widzimy Y=1.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, zaś zero-jedynkową w linii D789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1.
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelą zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD789).
Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
3.3 Definicja operatora AND
Definicja operatora AND z naniesionym komentarzem prof. Newelskiego:
[linki]
Stąd:
Definicja operatora AND w układzie równań prof. Newelskiego:
III. Y=p*q
IV. ~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka w logice dodatniej (bo Y)
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka w logice ujemnej (bo ~Y)
Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) to wyłącznie linia A123 w powyższej tabeli
Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) to wyłącznie obszar BCD123 w powyższej tabeli
Definicja operatora AND w zbiorach:
Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.
Symboliczna definicja operatora AND:
[linki]
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
[linki]
Gdzie:
„*” - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię A456 w powyższej tabeli
„+” - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar BCD789 w powyższej tabeli.
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
Operator AND odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy w linii A123, zaś zero-jedynkową w linii A456, bowiem tylko tu widzimy Y=1.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze BCD123, zaś zero-jedynkową w obszarze BCD789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1.
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD789).
Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej:
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Negujemy wszystkie zmienne otrzymując definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
3.4 Podsumowanie
Definicja operatora OR w układzie równań prof. Newelskiego:
I. Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
II. ~Y=~p*~q
Gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka w logice dodatniej (bo Y)
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka w logice ujemnej (bo ~Y)
Definicja operatora AND w układzie równań prof. Newelskiego:
III. Y=p*q
IV. ~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka w logice dodatniej (bo Y)
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka w logice ujemnej (bo ~Y)
Wnioski
1.
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
2.
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
3.
Spójnik logiczny z naturalnego języka mówionego nie jest operatorem logicznym.
Operator logiczny to zawsze złożenie dwóch niezależnych zdań, I i II w operatorze OR, oraz III i IV w operatorze AND.
4.
Oczywiście matematycznie zachodzi:
[linki]
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Nic co spełnia definicję operatora OR nie ma prawa spełniać jednocześnie definicji operatora AND. Wynika to bezpośrednio z zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych przedstawionych na początku artykułu oraz z algorytmu tworzenia równań logicznych z tabeli zero-jedynkowej metodą prof. Newelskiego z UWr (uwaga 2.7).
Dokładnie to samo mamy w operatorach implikacji prostej, implikacji odwrotnej i równoważności.
4.0 Operatory implikacji i równoważności
Kluczowe w algebrze Kubusia są ogólne definicje znaczków:
=> - warunek wystarczający (100% pewność), spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny (rzucanie monetą), w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia
Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja implikacji prostej wraz z komentarzem:
[linki]
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A i B
Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej wraz z komentarzem:
[linki]
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w C i D
Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja równoważności wraz z komentarzem:
[linki]
Definicja równoważności e równaniu algebry Kubusia:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
=> - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A i B
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w C i D
Oczywiście matematycznie zachodzi:
[linki]
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Na mocy definicji warunek wystarczający => to zupełnie co innego niż którykolwiek z wymienionych operatorów logicznych. Także żaden operator logiczny NIGDY nie może być w żadnym punkcie styczny z jakimkolwiek innym operatorem. Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznych definicji operatorów logicznych przedstawionych wyżej.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji:
Zdanie jest wypowiedziane w logice dodatniej jeśli q nie jest zaprzeczone.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
To jest definicja aksjomatyczna wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej.
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
Stąd definicja równoważna, uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
4.1 Warunek wystarczający => i implikacja prosta
Diagram implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
=> - warunek wystarczający
p=>q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Wymuszam p i musi pojawić się q
gdzie:
p=>q - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A i B niżej
Wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji prostej w oparciu o powyższy diagram:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p GWARANTUJE zajście q.
Wymuszam p i musi pojawić się q
Zbiory:
p=>q = p*q =p
p*q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera się w zbiorze q, co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p~~>~q = p*~q =0
p*~q=1*1 =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Zbiór p nie jest konieczny dla ~q, bo zabieramy p i nie znika nam ~q.
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Wszystko mamy wymalowane na diagramie!
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p~>~q = ~p*~q = ~q
~p*~q =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1), zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q co wymusza w wyniku 1
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q bo zabieramy ~p i znika nam ~q, co doskonale widać na diagramie.
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = 1
~p*q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Zajście ~p nie jest warunkiem koniecznym dla zajścia q, bo zabieramy ~p i nie znika nam q
Zostaje nam część wspólna zbiorów:
p*q=p
stąd:
Symboliczna definicja implikacji prostej:
[linki]
gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
Ogólna definicja znaczka ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd
Kodowanie zero-jedynkowe definicji implikacji prostej:
[linki]
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Operator implikacji prostej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p~>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD789.
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór pies (P) zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L)
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L =P
P=>4L=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0 - bo wszystkie psy mają cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
Zdanie B w zbiorach:
P~~>~4L = P*~4L =0
P~~>~4L =1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1, ~4L=1), lecz są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)
… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Z diagramu doskonale widać co może się wydarzyć, jeśli zwierzę nie będzie psem.
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż, .. miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny) spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L, co doskonale widać na diagramie.
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap
Zabieramy zbiór ~P i znika nam zbiór ~4L, czyli ~P jest konieczne ~> dla ~4L
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
~P~>~4L = P=>4L
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L
~P~>~4L = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~4L=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo koń, słoń, .. miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L
~P~~>4L= 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
Brak warunku koniecznego ~> w zdaniu D można też łatwo udowodnić na drodze czysto matematycznej metodą nie wprost.
Załóżmy że w zdaniu D zachodzi warunek konieczny ~>:
Prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd
4.2 Warunek konieczny ~> i implikacja odwrotna
Diagram implikacji odwrotnej w zbiorach:
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
~> - warunek konieczny
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Zabieram p i musi zniknąć q
Wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji odwrotnej w oparciu o powyższy diagram:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Zbiory:
p~>q = p*q = q
p*q =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera w sobie zbiór q, co wymusza w wyniku 1
Zbiór p jest konieczny ~> dla zbioru q, bo zabieramy zbiór p i znika nam zbiór q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = 1
p*~q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Zbiór p nie jest konieczny dla zbioru ~q bo zabieramy zbiór p i nie znika nam zbiór ~q
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Wszystko mamy wymalowane na diagramie!
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q, zatem zajście ~p wystarcza => dla zajścia ~q
Wymuszamy ~p i musi pojawić się ~q
Zajście ~p GWARANTUJE => zajście ~q
Zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q = ~p
~p*~q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1), zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = 0
~p*q=1*1 =0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
stąd:
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
[linki]
gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Ogólna definicja znaczka ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q)
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałką wektora ~>
Dodatkowo jeśli zbiory p i q są różne:
p#q
to mamy do czynienia z implikacją odwrotną.
Jeśli natomiast zbiory p i q są tożsame:
p=q
to mamy do czynienia z czymś fundamentalnie innym, równoważnością:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Na naszym diagramie widzimy brak tożsamości zbiorów, zatem to jest diagram implikacji odwrotnej.
Definicja warunku koniecznego w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q
Zamiast dowodzić trudny w dowodzeniu warunek konieczny p~>q możemy udowodnić łatwy w dowodzeniu warunek wystarczający ~p=>~q (bo kontrprzykład). Prawdziwość prawej strony tożsamości gwarantuje prawdziwość lewej strony tożsamości.
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q
Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd
Kodowanie zero-jedynkowe definicji implikacji odwrotnej:
[linki]
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Operator implikacji odwrotnej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q):
p~>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD456.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD789.
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie zbiór pies
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną
cnd
Analiza zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies, miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Cztery łapy są konieczne ~> aby być psem
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
Definicja implikacji odwrotnej spełniona bo zbiory 4L i P są różne:
4L#P
Co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P) o definicji:
4L~>P = ~4L=>~P
Zbiory:
4L*P=P
4L*P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń, słoń .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
4L*~P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
stąd:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 bo kura, wąż .. , twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P
Brak czterech łap wystarcza => aby nie być psem
Dodatkowo zbiory ~4L i ~P są różne, co wymusza implikacje prostą w logice ujemnej (bo ~P) o definicji:
~4L=>~P = ~4L~>P
Zbiory:
~4L*~P = ~4L
~4L*~P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P=0 bo każdy pies ma cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C
Zbiory:
~4L*P = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zajścia
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie może zachodzić warunek konieczny ~>
dnia Nie 10:00, 03 Mar 2013, w całości zmieniany 37 razy
4.3 Równoważność
Diagram równoważności:
Definicja równoważności w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
W równoważności zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego p=>q w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q), co jest możliwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q są tożsame.
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Z tożsamości zbiorów p i q wynika:
C.
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q i jest tożsamy ze zbiorem ~q
Wyprowadzenie symbolicznej definicji równoważności w oparciu o powyższy diagram:
W.
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
W.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p GWARANTUJE zajście q.
Wymuszam p i musi pojawić się q
Zbiory:
p=>q = p*q =p =q - bo zbiory p i q są tożsame.
p*q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera się w zbiorze q, co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p~~>~q = p*~q =0
p*~q=1*1 =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Wszystko mamy wymalowane na diagramie!
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p GWARANTUJE zajście ~q.
Wymuszam ~p i musi pojawić się ~q
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q = ~p =~q - bo zbiory ~p i ~q są tożsame
~p*~q =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1), zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q co wymusza w wyniku 1
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q =0
~p*q=1*1 =0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
stąd:
Definicja symboliczna równoważności:
[linki]
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q
Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd
W równoważności kodowanie zero-jedynkowe nie zależy od przyjętego punktu odniesienia.
Obojętne jest, czy za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
p<=>q czy też ~p<=>~q
ponieważ zawsze otrzymamy tabelę zero-jedynkową równoważności.
Symboliczna i zero-jedynkowa definicja równoważności:
[linki]
Udowodnijmy zatem, że ze zdania: "2+2=5" wynika zdanie: "Ja (tzn. Grzesiek Malinowski) jestem papieżem"
Argumentacja przebiega następująco:
-Jeśli 2+2=5, to w takim razie: 4=5
po odjęciu od obu stron "3" otrzymujemy: 1=2
Zatem:
-skoro ja i papież to razem dwie osoby, a 2=1
to
-ja i papież jesteśmy jedną osobą
Zatem:
-ja jestem papieżem
cnd
To jest wariatkowo totalne, większych bredni nasz Wszechświat nie widział
Kubuś
5.1 Dowód błędnej budowy operatora OR w logice matematycznej Ziemian
Ziemianie nie znają rzeczywistej budowy ani jednego operatora logicznego, co pokażemy na przykładzie operatora OR a następnie na przykładzie operatorów implikacji i równoważności.
We „Wstępie do matematyki” prof. Newelskiego z UWr (uwaga 2.7) znajduje się dowód iż matematycy znają algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równoważnych równań logicznych opisujących tą tabelę.
Fundamentem algorytmu prof. Newelskiego z UWr (uwaga 2.7) są definicje spójników „i”(*) oraz „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.
Definicje rodem z technicznej algebry Boole’a spójników „i”(*) i „lub”(+) są następujące.
Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
W swoim algorytmie prof. Newelski musiał skorzystać i korzysta z najważniejszych praw algebry Boole’a:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0
Dlaczego te prawa są najważniejsze?
Bo człowiek w swojej naturalnej logice operuje wyłącznie równaniami algebry Boole’a, nigdy tabelami zero-jedynkowymi. Bez tych praw niemożliwy jest matematyczny opis naturalnej logiki człowieka, bo niemożliwe jest przejście z tabeli zero-jedynkowej do równań logicznych ją opisujących i z powrotem.
Wszelkie prawa logiczne opisane są równaniami algebry Boole’a, nigdy tabelami zero-jedynkowymi.
Wyłącznie w logice symbolicznej (równania algebry Boole’a) mamy dostęp do wszystkich praw logicznych i możemy z nich swobodnie korzystać np. prawo przejścia do logiki ujemnej i z powrotem.
Dlaczego nie ma tych praw w żadnym podręczniku matematyki i Wikipedii?
… oto jest pytanie.
Algorytm prof. Newelskiego poznamy na przykładzie operatora OR.
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
[linki]
W algebrze Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa podstawowe i nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera. Kompletny algorytm to zaledwie trzy kroki.
Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki:
1.
Spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
p=0 <=> ~p=1
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1
3.
Stąd na podstawie definicji spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionie mamy końcowe równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Oczywiście równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 powyżej tabeli.
Dokładnie ten sam obszar ABC123 opisuje nagłówek tabeli:
Y=p+q
na mocy definicji spójnika „lub”(+).
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = p+q
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y=Y
stąd równoważna definicja spójnika „lub”(+):
ABC123:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Powyższe równanie opisuje obszar ABC123.
Jeśli je zanegujemy dwustronnie korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
to otrzymamy równanie algebry Boole’a opisujące linię D123!
Algorytm Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki:
ABC123:
Y = p+q = (p*q) + (p*~q) + (~p*q)
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
D123:
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
oczywiście równania ABC123 i D123 nie są tożsame.
W technice układów cyfrowych oznacza to że jeśli zbudujemy układy 1 i 2 w bramkach logicznych i połączymy wyjścia Y i ~Y to zobaczymy kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.
Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe zera:
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
[linki]
Postępujemy identycznie jak wyżej algorytmem prof. Newelskiego
1.
Spis z natury dla wynikowych zer (tu mamy tylko jedno w linii D123):
Y=0 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
p=0 <=>~p=1
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
3.
Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie końcowe opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Oczywiście, negując linię D123 musimy otrzymać definicje spójnika „lub”(+) w równaniu algebry Boole’a opisującą wyłącznie obszar ABC123.
Równanie opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Przejście do logiki przeciwnej (Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Równanie opisujące obszar ABC123:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Nanieśmy nasze równania na definicję operatora OR:
[linki]
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
Wniosek:
Kompletną tabelę zero-jedynkową operatora OR (wszystkie cztery linie) opisuje układ równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (Y) i ujemnej (~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Dopiero to równanie opisuje kompletny operator OR, wszystkie cztery linie!
Y = p+q = ~(~p*~q)
Dowód:
Twierdzenie:
Jeśli w operatorze OR zanegujemy wszystkie zmienne to na podstawie prawa De Morgana musimy otrzymać definicję operatora AND.
Definicja operatora OR:
1.
Y = p+q = ~(~p*~q)
Dowód:
2.
Negujemy zmienne wejściowe p i q:
y = ~p +~q = ~(p*q)
3.
Negujemy wyjście y:
~y = ~(~p+~q) = p*q
Równanie 3 to oczywiście pełna definicja operatora AND w równaniu algebry Boole’a.
Zauważmy że operator AND (3) jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora OR (1).
Zauważmy że równanie:
Y=p+q
nie jest kompletnym opisem operatora OR (opisującym wszystkie cztery linie) bo negujemy zmienne i nie otrzymujemy definicji operatora AND.
~Y=~p+~q
Sensacyjny wniosek!
W równaniu logicznym:
Y=p+q
Znaczek „+” nie jest operatorem logicznym opisującym wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej!
Znaczek „+” to tylko połówka operatora OR (obszar ABC123) a nie cały operator (ABCD123) jak to jest we współczesnej matematyce Ziemian.
cnd
Oczywiście matematycznie zachodzi:
[linki]
gdzie:
## - różne na mocy definicji
… bo w przejściu z operatora OR do operatora AND wyłącznie negowaliśmy zmienne bez zmiany spójników!
Czy ktoś czegoś nie rozumie?
Czy ktoś zamierza obalić genialny algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równoważnych równań algebry Boole’a autorstwa prof. Newelskiego z UWr (uwaga 2.7)
5.2 Przemienność argumentów w implikacji
Przykro to stwierdzić, ale Ziemianie nie rozumieją nawet banalnego prawa braku przemienności argumentów w implikacji. Wbrew formalnemu dowodowi matematycznemu niżej twierdzą, że w implikacji argumenty mogą być raz przemienne, a innym razem nieprzemienne, co jest oczywistym gwałtem dowodu, gdzie stoi jak wół, iż argumenty w implikacji są zawsze nieprzemienne.
Oczywiście to są katastrofalne skutki nie odróżniania definicji warunku wystarczającego =>:
p=>q
od definicji implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q, z czego wynika ze zbiory p i ~q są rozłączne.
Zdanie A w zbiorach:
p*q =p
Stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=0
Zdanie B w zbiorach:
p*~q=0
p*~q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Wytłuszczonego zastrzeżenia nie ma w definicji warunku wystarczającego =>. Jeśli zbiory p i q są tożsame to mamy do czynienia z równoważnością, czymś fundamentalnie innym niż implikacja, gdzie nie ma miejsca na „rzucanie monetą”, charakterystyczny wyróżnik implikacji zarówno prostej, jak i odwrotnej.
Matematycznie zachodzi:
[linki]
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód formalny braku przemienności argumentów w implikacji:
[linki]
1.
Brak tożsamości kolumn 3 i 4 jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji prostej:
A: p=>q # B: q=>p
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
A: P=>4L=1 # B: 4L=>P=0 bo kontrprzykład: koń
Implikacja prosta prawdziwa po zamianie argumentów musi być fałszywa - patrz prawo wyżej.
Odwrotnie wszystko może się zdarzyć, czyli implikacja prosta fałszywa po zamianie argumentów może być prawdziwa albo fałszywa.
A: 4L=>P=0 bo kontrprzykład: koń # B: P=>4L=1
A: 4L=>~P =0 bo kontrprzykład: koń # B: ~P=>4L =0 bo kontrprzykład: kura
2.
Brak tożsamości kolumn 7 i 8 jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji odwrotnej.
A: p~>q # B: q~>p
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0
A: 4L~>P=1 = ~4L=>~P=1 # B: P~>4L = ~P=>~4L =0 bo kontrprzykład: koń
Implikacja odwrotna prawdziwa po zamianie argumentów musi być fałszywa - patrz prawo wyżej.
Odwrotnie wszystko może się zdarzyć, czyli implikacja odwrotna fałszywa po zamianie argumentów może być prawdziwa albo fałszywa.
P~>4L = ~P=>~4L=0 bo kontrprzykład: koń # 4L~>P = ~4L=>~P=1
4L~>~P = ~4L=>P=0 # ~P~>4L = P=>~4L =0 - twardy fałsz
5.3 Prawa kontrapozycji w implikacji
Aksjomatyczna zero-jedynkowa definicja implikacji prostej z komentarzem:
[linki]
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej z komentarzem:
[linki]
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Równanie ogólne implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W algebrze Kubusia kluczowe są definicje znaczków => i ~>.
Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
Zbiór na podstawie wektora => musi się zawierać w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Weźmy wzorcową implikację prostą:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L
Oczywiście zachodzi prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L
Weźmy wzorcową implikację odwrotną:
AO:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Oczywiście zachodzi prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
CO:
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P
Jeśli przyjmiemy za poprawne definicje znaczków => i ~> w zbiorach (oczywistość!), to konsekwencją tego faktu jest takie a nie inne równanie ogólne implikacji!
A: P=>4L = C: ~P~>~4L ## AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dlaczego?
Bo tylko i wyłącznie w tym przypadku spełnione są definicje znaczków => i ~> po obu stronach znaku ##.
Wynika z tego że w równaniu ogólnym implikacji nie mamy ustalonego sztywnego punktu odniesienia.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi, pomiędzy którymi nie występują żadne tożsamości matematyczne. Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy sobie podstawiać co nam się żywcem podoba.
Z naszego przykładu widać, że jeśli implikacja prosta p=>q jest prawdziwa:
A: P=>4L = C: ~P~>~4L =1
to prawdziwą implikację odwrotną p~>q uzyskamy wtedy i tylko wtedy gdy zamienimy p i q
AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P =1
W równaniu ogólnym implikacji mamy prawo ustalić sztywny punkt odniesienia na zdaniu:
p=>q
albo na zdaniu:
p~>q
1.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: p=>q = ~p~>~q ## B: q~>p = ~q=>~p
Stąd leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
[linki]
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje znak tożsamości.
2.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
p~>q
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: q=>p = ~q~>~p ## B: p~>q = ~p=>~q
Stąd leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
[linki]
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje znak tożsamości.
Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w implikacji wygląda zatem tak:
p=>q ## ~q=>~p
q=>p ## ~p=>~q
Prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji i prawdziwe w równoważności co za chwilę zobaczymy.
Dlaczego nawet w implikacji możemy stosować prawo kontrapozycji?
Aksjomatyczna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Jeśli udowodnimy warunek wystarczający p=>q o definicji:
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0
To mamy prawo założyć, że to jest warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności.
Na podstawie takiego założenia możemy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego => wynikłego z prawa kontrapozycji:
~p=>~q
albo
q=>p
Jeśli udowodnimy którykolwiek z tych warunków to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
Jeśli po udowodnieniu warunku wystarczającego p=>q obalimy warunek wystarczający w drugą stronę:
q=>p = ~p=>~q =0
To warunek wystarczający p=>q może wchodzić w skład definicji implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Dlaczego „może”?
Bo możliwy jest przypadek samodzielnego warunku wystarczającego =>.
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym:
ML=0
Zaprzeczeniem zbioru pustego jest Uniwersum.
Uniwersum = wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka, w tym pies.
Stąd:
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór P zawiera się w zbiorze ~ML
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć milion łap
P~~>ML=0 - nie ma takiego zwierzaka bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym
ML=0
Zdanie B w zbiorach:
P*ML = 1*0 =0
Warunek wystarczający jest spełniony, zachodzi brak tożsamości zbiorów p i q:
P # ~ML
Zatem na mocy definicji to powinna być implikacja prosta.
W implikacji poprawne jest prawo Kubusia:
A: P=>~ML = ~P~>ML
czyli:
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML = 0
bo:
Zbiór zwierząt które mają milion łap jest zbiorem pustym
ML=0
Zdanie C w zbiorach:
~P*ML = 1*0 =0 - zdanie C jest fałszywe
STOP!
Dalej nie musimy analizować, dowiedliśmy iż zdanie A ty tylko i wyłącznie warunek wystarczający => nie wchodzący w skład ani implikacji prostej:
P=>~ML = ~P~>ML=0
ani też w skład równoważności:
P<=>~ML = (P=>~ML)*(~P=>ML) = 1*0 =0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy definicję samodzielnego warunku wystarczającego.
A: P=>~ML
P=1, ~P=0
~ML=1, ML=0
[linki]
Wobec sekwencji w linii C:
0 0 =0
której nie ma ani w operatorach implikacji, ani też w operatorze równoważności analiza zdania D jest bezcelowa.
Wszystko zostało rozstrzygnięte, zdanie A to samodzielny warunek wystarczający =>.
5.4 Porównanie nowych i starych praw kontrapozycji
Równanie ogólne implikacji w algebrze Kubusia z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu:
p=>q
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Odpowiednie równanie w starej logice Ziemian zwanej KRZ:
p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p
Nasz przykład w algebrze Kubusia wygląda tak:
A: P=>4L = C: ~P~>~4L ## AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P
Tata:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L
Synek:
.. a jak zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Tata:
Tu tata nie ma wyjścia i musi odpowiedzieć JEDNOZNACZNIE!
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
W algebrze Kubusia nie możemy odpowiedzieć ani zdaniem AO ani też zdaniem CO, bo mamy matematyczny ZAKAZ.
## - różne na mocy definicji.
Zobaczmy teraz co się dzieje w starej logice Klasyczny Rachunek Zdań.
Nasz przykład w KRZ wygląda tak:
A: P=>4L = C: ~P~>~4L = AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P
Tata:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L
Synek:
.. a jak zwierzę nie jest psem?
Jedyne prawo logiczne akceptowane w KRZ to „prawo” kontrapozycji (błędne w algebrze Kubusia!)
P=>4L = ~4L=>~P
Tata:
CO:
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Synek:
Mama!
Tata zwariował, nie potrafi sensownie odpowiedzieć na pytanie 5-cio latka!
Zauważmy, że z powodu czerwonego znaku tożsamości, na pytanie synka o nie psa, tata może odpowiedzieć aż trzema TOŻSAMYMI matematycznie zdaniami:
C, AO lub CO.
Matematycznie nie jest w stanie odróżnić która odpowiedź jest sensowna w świecie rzeczywistym.
Oczywiście odpowiedzią sensowną, czyli na temat jest wyłącznie zdanie C.
Wniosek:
Stara logika KRZ nie jest matematycznie jednoznaczna. dnia Wto 18:45, 26 Lut 2013, w całości zmieniany 19 razy
..
.......